CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR PDF

Exercice 1. Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2 est différentiable dans R2. Calculer

Applications différentiables

Montrer que F est de classe C1 en tout point de R2 et calculer sa différentielle. Correction ?. [002505]. Exercice 4. Soit En l'espace des polynômes de degré

Exercices corrigés de calcul différentiel

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Exercices FPV - Semaine 2

Différentiabilité (ou dérivabilité) des fonctions de plusieurs variables réelles `a valeurs 2 Exercices avec Corrigés. 2.1 Exercice 1. Enoncé :.

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CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR

3. Différentiabilité. Exercice 3.1. On suppose que (x y) ?? f(x

Calcul différentiel et optimisation : Exercices

Différentiabilité : calcul des dérivées premières. Exercice 1. Montrer que la fonction f : R ? R3t ?? (et

CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES

Corrigés des exercices du Chapitre 5 b) Exemple de fonctions non différentiable en un point mais continue et admettant en ce point toutes ses.

Maths 310 Calcul Différentiel 1 Notations 2 Applications différentiables

Montrer que la fonction g admet un unique point fixe dans B?((0 0)). Exercice 2.24. On considère l'application F : R2 ? R2 définie par F(x

MP23 Calcul différentiel

Jun 5 2014 4 Dérivabilité et différentiabilité

Exo7 - Exercices de mathématiques

1 On suppose que f est différentiable en x 2= F Montrer que jjDf(x)jj L(Rn;R) 61 2 On considère la fonction j :t 2[0;1]!f((1 t)x+ty); en calculant j0(0) de deux façons montrer que Df(x): x y jjx yjj =1 et jjDf(x)jj L(Rn;R) =1 3 En déduire que y est unique Correction H [002508] Exercice 7

Calcul différentiel - A retenir - Unisciel

La fonction est continue dans R2 {(00)} Pour étudier la continuité au point(00) onconsidèrelarestrictiondefàladroitey= x: f(xx) = 1 2x qui ne tend pas vers 0 = f(00) lorsque x?0 Donc la fonction n’est pas continue au point(00) •Dérivabilité Onsedemandesilafonctionadmettouteslesdérivéespartielles Si(xy) 6= (00) : ?f

Exo7 - Exercices de mathématiques

Fonctions dérivables 1 Calculs Exercice 1 Déterminer a;b2R de manière à ce que la fonction f dé?nie sur R + par : f(x)= p x si 0 6x 61 et f(x)=ax2 +bx+1 si x >1 soit dérivable sur R + Indication H Correction H Vidéo [000699] Exercice 2 Soit f : R 2! R dé?nie par f(x)=x sin 1 x Montrer que f est prolongeable par continuité en 0

Exercices corrig´es de calcul di?´erentiel

Ce document contient donc un certain nombre d’exercices corrig´es avec les rappels de cours n´ecessaires Il est possible de couvrir tout ceci avec des´etudiants de troisi`eme ann´ee d’universit´e sur un semestre en trois heures de Travaux Dirig´es par semaine 1 Fonctions di?´erentiables formule de la moyenne 1 1 Rappel

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comme en g eom etrie Il s’agit d’ etendre en dimension quelconque la notion de fonction d erivable etudi ee en L1 Elle est d’ailleurs d ej a introduite et bri evement etudi ee en L2 dans le cours de Fonctions de Plusieurs Variables Elle est etudi ee de fa?con beaucoup plus syst ematique en L3 2 Celle de sous-vari et e di erentiable

Est-ce que la fonction est différentiable en ?

Si est différentiable en , il y a unicité du développement limité d'ordre en . Si la fonction est différentiable en , alors est continue en . Si est une base de , est différentiable en si et seulement si toutes ses coordonnées le sont. Alors : . Si , la fonction est différentiable en si et seulement si est dérivable en .

Quelle est l’utilité de la fonction différentielle ?

En effet, le corps humain est conducteur de courant électrique. Une personne qui touche un matériau sous tension, va alors être parcourue par ce courant électrique. Si on croise cette information avec le principe de fonctionnement de la fonction différentielle, on peut comprendre l’utilité.

Comment calculer la différentielle de f f ?

Justifer que f f est de classe C1 C 1 et déterminer la différentielle de f f en tout M ?Mn(R) M ? M n ( R) . Soit ?: GLn(R)? GLn(R),M ?M ?1 ?: G L n ( R) ? G L n ( R), M ? M ? 1 . Démontrer que ? ? est différentiable en In I n et calculer sa différentielle en ce point.

Comment montrer que f f et G sont différentiables en tout vecteur ?

Justifier que f f et g g sont différentiables en tout vecteur (x,y)? R2 ( x, y) ? R 2, puis écrire la matrice jacobienne de f f et celle de g g en (x,y) ( x, y) . en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes. Exercice 4 - Différentiable? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE

2012-2013

Michèle Audin1. Espaces vectoriels normés

Exercice 1.1(Manhattan). Une ville est quadrillée par une famille de rues rectilignes numérotées et une

famille orthogonale d"avenues rectilignes numérotées. Montrer que, dans des coordonnées(x,y)asso-

ciées à des axes parallèles à ces directions, la distance à parcourir pour aller du point de coordonnées

(a,b)(sur laa-ième rue et lab-ième avenue) au point de coordonnées(a?,b?)est??a-a???+??b-b???.

DansR2, on considère

?(x,y)?1=|x|+|y|. Montrer que c"est une norme. Dessiner sa boule unité.

Exercice 1.2(Les parallélogrammes sont des boules). On considère un parallélogramme (non aplati) de

2centré à l"origine. Montrer qu"il existe une norme surR2dont ce parallélogramme est la boule

unité.

Exercice 1.3(Norme et convexité). Montrer qu"on peut, dans la définition d"une norme sur l"espace

vectorielE, remplacer la troisième propriété (inégalité triangulaire) par la suivante :

Exercice 1.4(Les normes?·?p). Soitp >0. Pourx= (x1,...,xn)?Rn, on pose ?x?p=? n? i=1|xi|p?1/p,?x?∞= sup (1) On suppose d"abord quen= 2. Dessiner l"ensembleB p=? dans chacun des cas oùp= 1/2,1,3/2,2,3,∞. p?B q. (3) La bouleB

1/2dansR2est-elle convexe? Montrer que, plus généralement,?·?pn"estpasune

norme surRnquandp <1. (4) On fixex?Rn. Montrer que?x?ptend vers?x?∞quandptend vers l"infini (ce qui justifie la notation). (5) On suppose maintenant quep≥1. Montrer quexi?→xp iest une fonction convexe sur]0,+∞[, puis quex?→ ?x?p

pest une fonction convexe surRn. Montrer que?·?pest une norme surRn.Ces exercices sont inspirés du livre [1] et des archives qu"ont bien voulu me transmettre Myriam Ounaies et Ilia Itenberg,

que je remercie. Merci à Jérôme Poineau pour son aide.

2MICHÈLE AUDIN

défini par1p +1q = 1. (1) Montrer que l"on a, pour tousa,b?R: +|b|qq (c"est l"inégalité de Young). (2) En déduire que l"on a, pour tous réelsa1,...,an,b1,...,bn: ?????n i=1a ibi? n? i=1|ai|p?

1/p?n?

i=1|bi|q? 1/q (3) Montrer (à nouveau) que?·?psatisfait à l"inégalité triangulaire.

Exercice 1.6(Retour sur l"équivalence des normes). Il est démontré dans le cours que toutes les normes

surRnsont équivalentes. C"est le cas en particulier des normes?·?pconsidérées dans l"exercice 1.4,

qui sont équivalentes entre elles, ce qui veut dire que, pour tousp,q?[1,+∞], il existe une constante

positiveC(p,q)telle que

Le but de cet exercice est de déterminer la plus petite constanteCp,qvérifiant cette inégalité.

(1) Dessiner la boule (1)B ∞(0,1)(dansR2), ainsi, sur la même figure, que la plus petite (resp. la plus grande) bouleB p(0,r)la contenant (resp. qu"elle contient). (4) Montrer que C p,q=n1q -1p pourp≥q.

Exercice 1.7. (1) Montrer que la formule

N(x) = sup

t?R? ???x

1+tx21 +t2?

définit bien une applicationN:R2→Ret que c"est une norme surR2. (2) Montrer queN(x) =12 (?x

21+x22+|x1|).

(3) Dessiner la boule unité de la normeN. (4) Comparer la normeNà la norme euclidienne deR2.

Exercice 1.8(Norme d"une matrice). On définit, sur l"espaceMn(R)des matrices carréesn×nà coef-

ficients réels, ?A?= sup (1) Montrer que?·?est une norme surMn(R). (2) Les coefficients d"une matriceAsont notésai,j. Montrer que ?A?= sup j=1|ai,j|. Exercice 1.9(En dimension infinie, suites). On fixe unp≥1. SoitEl"ensemble des suitesx= (xn)n?N de nombres réels telles que la série n=0|xn|pest convergente.(1) ParB p(x,r), on désigne la boule fermée de centrexet de rayonrpour la norme?·?p.

EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL3

(1) Montrer queE, avec l"addition des suites et leur multiplication par les nombres réels, est un espace vectoriel. (2) Pourx?E, on pose ?x?p=? n=0|xn|p?1/p.

Montrer que?·?pest une norme surE.

Exercice 1.10(En dimension infinie, fonctions continues). SoitEl"espace vectoriel des fonctions conti-

nues de[0,1]dansR. Pourf?E, on pose : ?f?1=? 1

0|f(t)|dt,?f?∞= sup

t?[0,1]|f(t)|. (1) Montrer que?·?1et?·?∞sont des normes surE. (2) Montrer que (3) Montrer que ces deux normes ne sont pourtant pas équivalentes.

Exercice 1.11. SoitEl"espace vectoriel des suites réelles(xn)n?Nnulles à partir d"un certain rang,

c"est-à-dire telles qu"il existe un entier?(qui dépend de la suite considérée) tel que tous lesxpavec

p > ?sont nuls. Pourx= (xn)n?N?E, on pose ?x?1=+∞? n=0|xn|. (1) Montrer que?·?1est une norme surE. (2) Montrer que l"espace vectoriel norméEn"est pas complet.

2. Applications linéaires continues

Exercice 2.1. On notex·yle produit scalaire des vecteursxetydeRn. On fixe un vecteura?Rn et on considère l"application f:Rn---→R x?---→a·x (1) Montrer quefest linéaire et continue. la valeur absolue). Exercice 2.2. On considère l"espace vectorielEdes fonctions continues de[0,1]dansR. On le munit

de la norme?·?1(comme définie dans l"exercice 1.10). On considère l"applicationP:E→Equi, à

toute fonction continuefassocie sa primitive qui s"annule en0. Montrer quePest un endomorphisme continu et calculer sa norme. Exercice 2.3. SoientE,FetGtrois espaces vectoriels normés. On munitE×Fde la norme ?(x,y)?= sup(?x?,?y?).

SoitB:E×F→Gune application bilinéaire.

(1) Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (a) L"applicationBest continue. (b) L"applicationBest continue en(0,0). (c) Il existe une constanteM≥0telle que (2) On suppose queEetFsont de dimension finie. Montrer que toutes les applications bilinéaires sont continues.

4MICHÈLE AUDIN

(3) Dans le cas général, on appelleL2(E×F,G)l"ensemble des applications bilinéaires continues

deE×FdansG. Montrer que c"est un espace vectoriel, que ?B?= sup est une norme sur cet espace, et qu"on a

3. Différentiabilité

Exercice 3.1. On suppose que(x,y)?→f(x,y)est différentiable (deR2dansR). Dériver la fonction

u(x) =f(x,-x)et calculer la différentielle de l"applicationg(x,y) =f(y,x).

Exercice 3.2. Écrire la différentielle d"une application constante, d"une application linéaire, d"une ap-

plication quadratique surRn. Exercice 3.3. SoitUun ouvert d"un espace vectoriel norméE, soitFun espace vectoriel normé, et soitf:E→Fune application différentiable. On fixea?Uetv?E. On demande de calculer la dérivée de t?---→f(a+tv) ent= 0. Exercice 3.4. On reprend les notations de l"exercice 2.3. On suppose queE,FetGsont de dimension

finie. Montrer que toute application bilinéaire est différentiable et calculer sa différentielle.

Exercice 3.5. Soientf:R→Retg:R2→Rdeux applications différentiables. Montrer que l"application h:R2---→R (x,y)?---→f(x+g(x,y)) est différentiable et calculer sa différentielle en chaque point. Exercice 3.6. SoitEl"espace des matrices carréesn×n. On fixe une matriceM?E. On considère l"application f:E---→E

A?---→AMA.

Montrer qu"elle est différentiable en tout point et calculer sa différentielle. Exercice 3.7. SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie. L"espaceL(E)des endomorphismes deEest muni de la norme ?L?= sup

Soitkun entier≥1. Montrer que l"applicationL?→Lk(deL(E)dans lui-même) est différentiable et

calculer sa différentielle. Exercice 3.8. Soientf:R→Retg:R2→Rdeux applications différentiables. Montrer que l"application h:R2---→R (x,y)?---→f(xy2g(x,y)) est différentiable et calculer sa différentielle en chaque point.

EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL5

Exercice 3.9. On considère deux applications différentiables g:R3---→R2 (x,y,z)?---→(g1(x,y,z),g2(x,y,z)) etf:R→R. Montrer que l"application h:R3---→R2 (x,y,z)?---→(f(g1(x,y,z)g2(x,y,z)),g1(x,y,z) +f(g2(x,y,z))) est différentiable et calculer sa différentielle en chaque point. Exercice 3.10. On considère l"applicationf:R2→Rdéfinie par f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si(x,y)?= 0,

0sinon.

Calculer ses dérivées partielles. Sont-elles continues? L"applicationfest-elle différentiable en(0,0)?

Mêmes questions avec l"applicationg:R2→Rdéfinie par g(x,y) =? ?xy 2x

2+y2si(x,y)?= 0,

0sinon.

Exercice 3.11(Différentielle de l"inverse). L"espaceMn(R)des matricesn×nréelles est muni d"une

norme " opératorielle (2)». On appelleIdla matrice identité. (1) Montrer que, si?H?<1, la matriceId-Hest inversible, et qu"on a : (Id-H)-1=∞? k=0Hk. (2) Montrer que, pour toute matrice inversibleA, le groupeGL(n;R)des matrices inversibles contient une boule ouverte centrée enA, et en déduire que c"est un ouvert deMn(R). (3) Montrer que l"applicationf: GL(n;R)→GL(n;R)définie parf(A) =A-1est différentiable enIdet calculer sa différentielle. (4) Montrer qu"elle est différentiable enApour toutAet calculer sa différentielle. Exercice 3.12. On considère les applicationsfetgdéfinies par f:R2---→R3g:R3---→R2 (x,y)?---→(x2y,xy,xy3) (x,y,z)?---→(x+y+z,xyz)

Calculer

-la matrice jacobienne defena, -la matrice jacobienne degenf(a), -la matrice jacobienne deg◦fena. Exercice 3.13(Applications homogènes). SoientEetFdeux espaces vectoriels normés de dimension finie, soitαun nombre réel, et soitUun ouvert deEtel que x?Uett >0?tx?U. On dit qu"une application différentiablef:U→Fest homogène de degréαsi ?x?U,?t >0, f(tx) =tαf(x). On dit qu"elle vérifie l"identité d"Euler si ?x?U,(df)x(x) =αf(x).(2) C"est-à-dire, une norme?·?étant fixée surRn, ?A?= sup ?x?=1?Ax?.

6MICHÈLE AUDIN

On montre dans la suite que ces deux propriétés sont équivalentes. (1) On suppose quefest homogène de degréα. (a) Soitxun point deU. On définit ?:]0,+∞[---→F t?---→f(tx). Montrer que?est différentiable sur]0,+∞[et calculer??(t)(pour toutt). (b) Montrer quefvérifie l"identité d"Euler. (2) On suppose, réciproquement, quefvérifie l"identité d"Euler. (a) Soitxun point deU. On définit

ψ:]0,+∞[---→F

t?---→1t

αf(tx).

Montrer queψest différentiable sur]0,+∞[et calculerψ?(t)(pour toutt). (b) Montrer quefest homogène de degréα. Exercice 3.14. Soitfl"application définie surR2- {0}par f(x,y) =?xx

2+y2,yx

2+y2? Déterminerf◦fet montrer quefest un difféomorphisme de classeC1deR2- {0}dans lui-même. Exercice 3.15. On munitR2de la nome euclidienne et l"espace des matrices carrées2×2de la norme habituelle (comme dans l"exercice 1.8). On considère la matrice

A=?a b

b-a? , a,b?R.

Montrer que?A?=⎷a

2+b2. On considère l"applicationfde l"exercice 3.14. Calculer la matrice

jacobienne defet montrer que, pour tout(x,y)?R2- {0}, on a ???(df)(x,y)???=1x 2+y2. Montrer que l"application linéaire(df)(x,y)conserve les angles dansR2. Exercice 3.16. SoientUun ouvert connexe d"un espace vectoriel norméEde dimension finie,Fun

autre espace vectoriel normé de dimension finie, etf:U→Fune application différentiable en tout

point deU. Montrer quefest lipschitzienne si et seulement si l"applicationx?→(df)xest bornée surU. Exercice 3.17. SoientEetFdeux espaces vectoriels normés de dimension finie, et soitUun ouvert

connexe deE. SoientL:E→Fune application linéaire etf:E→Fune application différentiable

surEtelle que ?x?U,(df)x=L.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Est-ce que la fonction est différentiable en ?

Quelle est l’utilité de la fonction différentielle ?

Comment calculer la différentielle de f f ?

Comment montrer que f f et G sont différentiables en tout vecteur ?

CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE

2012-2013

Michèle Audin1. Espaces vectoriels normés

DansR2, on considère

2centré à l"origine. Montrer qu"il existe une norme surR2dont ce parallélogramme est la boule

1/2dansR2est-elle convexe? Montrer que, plus généralement,?·?pn"estpasune

2MICHÈLE AUDIN

1/p?n?

Exercice 1.7. (1) Montrer que la formule

N(x) = sup

1+tx21 +t2?

21+x22+|x1|).

EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL3

Montrer que?·?pest une norme surE.

0|f(t)|dt,?f?∞= sup

2. Applications linéaires continues

SoitB:E×F→Gune application bilinéaire.

4MICHÈLE AUDIN

3. Différentiabilité

A?---→AMA.

EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL5

2+y2si(x,y)?= 0,

0sinon.

2+y2si(x,y)?= 0,

0sinon.

Calculer

6MICHÈLE AUDIN

ψ:]0,+∞[---→F

αf(tx).

2+y2,yx

A=?a b

Montrer que?A?=⎷a

2+b2. On considère l"applicationfde l"exercice 3.14. Calculer la matrice