[PDF] Calcul différentiel et optimisation : Exercices

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Université Paris Dauphine

S4 MIDO

Année 2017-2018

Calcul différentiel et optimisation :

Exercices

Responsables :

Amic Frouvelle

frouvelle@ceremade.dauphine.fr bureau C610

Nejla Nouaili

nouaili@ceremade.dauphine.fr bureau B618 bis 3

1.Topologie deRn

Exercice 1

Soitx2Rn. Montrer les inégalités

1pn kxk1 kxk2 kxk1; kxk1 kxk1nkxk1; kxk1 kxk2pnkxk1: Montrer que ces inégalités sont saturées pour au moins un certainx2Rn. Pourn= 2, représenter graphiquement la boule unité de ces trois normes.

Exercice 2

Montrer les identités suivantes pour la normek k2: kx+yk22+kxyk22= 2kxk22+ 2kyk22(parallélogramme); hx;yi=14 kx+yk2214 kxyk22(polarisation); hx;yi= 0) kx+yk2=kxk22+kyk22(Pythagore); oùh;idésigne le produit scalaire usuel dansRn.

Exercice 3

Soientkkaetkkbdeux normes surRn, et soientBaetBbleurs boules unité respectives.

Montrer que

B aBb, kxkb kxka8x2Rn:

Exercice 4

Montrer que les fonctions suivantes sont des normes surR2et représenter les boules unité correspondantes : f

1(x;y) = max(jx+yj;jx2yj);

f

2(x;y) = sup

t2[0;1]jx+tyj; f

3(x;y) =Z

1 0 jx+tyjdt: où(x;y)2R2.

Exercice 5

Deux normes différentes surRnpeuvent-elles avoir la même boule unité?

Exercice 6

Soit un sous-ensembleBRntel que

(1)Best fermé borné, (2)Best convexe : six;y2B, alorstx+ (1t)y2Bpour toutt2[0;1], 4 (3)x2B, x2B, (4)0est un point intérieur deB.

Montrer queN(x) = inffa >0 :xa

2Bgest une norme surRnet admetBcomme boule

unité fermée.

Exercice 7

On dit qu"un ensembleARnest dense dansRnsiadh(A) =Rn. (1) SoitxdansRntel quehx;yi= 0pour toutydansRn. Montrer quex= 0. (2) SoitARnun ensemble dense, et soitxdansRntels quehx;yi= 0pour touty dansA. Montrer quex= 0. (3) Montrer quekxk2= sup y2Rn;kyk=1hx;yi= sup y2Rn;kyk1hx;yi:

Exercice 8

Soit(un)nune suite réelle convergente, de limiteu. Montrer que l"ensemblefun;n2Ng [ fugest un fermé borné deR.

Exercice 9

SoitAun ensemble deRnmuni de la normek:k. PourxdansRnon noted(x;A) = infa2Akxakla distance dexàA. (1) Montrer quejd(x;A)d(y;A)j kxykpour tousxetydansRn. (2) SiAest fermé etx =2A, montrer qued(x;A)>0. (3) SiAest fermé, montrer qu"il existeadansAtel qued(x;A) =kxak. (4) Dans le cas oùn= 1etA=fx2Q; x2<2g, calculerd(2;A). Existe-t-iladansA tel qued(2;A) =k2ak?

Exercice 10

Soit le sous-ensemble deR

A=[ p2Z;q2N pq 12 jpj+q;pq +12 jpj+q Montrer queAest ouvert et dense dansR. Est-ce queRA? Soit maintenant B=[ p2Z;q2N pq 12 jpj+q;pq +12 jpj+q

Est-ce queRB?

Exercice 11

IdentifionsR4à l"espace des matrices réelles22. Montrer que l"ensemble des matrices inversibles est ouvert et dense dansR4. 5

Exercice 12

Déterminer l"adhérence des ensembles suivants

A=f(x;y)2R2:y= sin(1=x);x6= 0g;

B=fx2R:x= 1=npour un certainn2Ng;

C=f(x;y;z)2R3:x2+y2+z21;x6= 0g:

Exercice 13

Montrer que siAetBsont des ouverts deRntels queA\B=?, alorsadh(A)\B=?, mais en généraladh(A)\adh(B)6=?.

Exercice 14

Construire un ensembleARtel que les cinq ensembles suivants soient tous distincts :

A;adh(A);int(A);adh(int(A));int(adh(A)):

Exercice 15

Soit une applicationfdeRndansRtelle que, pour touta >0, l"ensemblefx2Rn: jf(x)j> agest fini. Montrer que l"ensemblefx2Rn:f(x) = 0gest dense dansRn.

Exercice 16

Le bord@Ad"un ensembleARnse définit par@A= adh(A)=int(A). Montrer que (1)@(A) =@(Ac), (2)@(adh(A))@A,@(int(A))@Aet que les inclusions sont strictes en général, (3)@(A[B)@A[@Bet que l"inclusion est stricte en général.

Exercice 17

Donner un sous-ensemble deRinfini fermé borné qui soit aussi un sous-ensemble deQ.

2.Continuité

Exercice 1

Etudier la continuité des fonctions suivantes surR2: f

1(x;y) =(x+y)2x

2+y2; f2(x;y) =x3+y3x

2+y2; f3(x;y) =4xyx2y2x

2+y2; f

4(x;y) =jx+yjpx

2+y2; f5(x;y) =xsinxx

2+y2; f6(x;y) =xyx

2+y4; f

7(x;y) = (x2+y2)sin1px

2+y2 pour(x;y)6= (0;0), etfi(0;0) = 0 (i= 1;:::;7). 6

Exercice 2

On définit la fonctionf:R2!Rparf(x;y) =xy2x

2+y4si(x;y)6= (0;0)etf(0;0) = 0.

(1) Montrer que la restriction defà toute droite passant par(0;0)est continue en(0;0). (2) Montrer quefn"est pas continue en(0;0).

Exercice 3

Soitfla fonction définie surf(x;y)2R2;x6=ygparf(x;y) =sinxsinyxy:Montrer que l"on peut définirf(x;x)pourx2Rde sorte que la fonctionfainsi prolongée soit continue surR2.

Exercice 4

Soientfetgdeux applications deRdansR, ethl"application deR2dansRdéfinie par h(x;y) =f(x)+g(y)pour tout(x;y)2R2. On supposehcontinue en(x0;y0). L"application fest-elle continue enx0? L"applicationgest-elle continue eny0?

Exercice 5

Soitfune application deRndansR.

(1) Montrer que, sifest continue, l"ensembleA=f(x;y)2Rn+1:y=f(x)gest un fermé deRn+1. (2) Cet ensemble peut-il être borné dansRn+1? (3) Est-il vrai que, siAest fermé, alorsfest continue?

Exercice 6

SoitARn. Montrer queAest fermé si et seulement s"il existe une application continue fdeRndansRtelle queA=fx2Rn:f(x) = 0g. Indication : considérer la distance d(x;A) = infa2Akxak.

Exercice 7

Soit une applicationfdeRndansRm.

(1) Montrer quefest continue si et seulement sif(adh(A))adh(f(A))pour tout ARn. (2) En déduire que, sifest continue, l"image d"un ensemble dense dansRnest dense dansf(Rn)Rm.

Exercice 8

SoitAetBdeux fermés non vides et disjoints deRn, muni d"une normekk. On définit une applicationf:Rn!Ren posantf(x) =d(x;A)d(x;B)oùd(x;E) = inffkxyk;y2 Eg. Montrer quefest continue et en déduire qu"il existe deux ouverts disjointsUetV tels queAUetBV. 7

Exercice 9

Montrer que l"ensemblef(x1;;xn)2Rn:xi0pour tout1in;Pn i=1xi= 1gest un fermé borné deRn.

Exercice 10

Un polynôme de degré 3 en une variable s"écritP(x) =ax3+bx2+cx+doùa6= 0. On peut donc identifier l"ensemble de ces polynômes au domaine

P=f(a;b;c;d)2R4:a6= 0g:

Soitfl"application dePdansRqui associe à chaque polynôme de degré3sa plus grande racine réelle. L"applicationfest-elle continue surP?

Exercice 11

(1) Etablir que la plus grande valeur propremaxd"une matricennsymétriqueAest donnée par max= maxRn3x6=0hx;Axihx;xi (on admet que les matrices symétriques sont diagonalisables par un changement de base orthogonal). (2) On identifieRn(n+1)=2à l"espace des matrices symétriquesnn. On définit une applicationf:Rn(n+1)=2!Rqui associe à chaque matrice symétrique sa plus grande valeur propre. L"applicationfest-elle partout continue?

Exercice 12

(1) Trouver les fonctions continues deRndansRqui satisfont f(x+y) =f(x) +f(y)8x;y2Rn: Indication : montrer d"abord que pour tout rationnelr, on af(rx) =rf(x). (2) Trouver les fonctions continues surRqui satisfontg(x+y) =g(x)g(y)pour tout x;y2R. (3) Application : montrer qu"une norme surRndérive d"un produit scalaire si et seulement si elle satisfait l"identité du parallélogramme (voir l"exercice 2 du chapitre 1). 8

3.Différentiabilité : calcul des dérivées premières

Exercice 1

Montrer que la fonctionf:R!R3;t7!(et;sint;cost)est dérivable surRet calculer sa dérivée.

Exercice 2

Soient les fonctions deR2dansRdéfinies par

f(x;y) =xy( >0; >0); g(x;y) =xy; h(x;y) = exp(xy)ln(1 +x2+y2); k(x;y) =ysin(xy)p1x2y2: Le domaine defest l"ensemble]0;+1[2, le domaine degest]0;+1[R, et les domaines de hetksont les plus grands sous-ensembles deR2(au sens de l"inclusion) où les expressions algébriques qui définissenthetkont un sens. Montrer que les domaines de ces fonctions sont des ouverts, que ces fonctions sont différentiables sur leurs domaines, et calculer leurs gradients.

Exercice 3

Pour les fonctionsfsuivantes surR2, déterminer la courbe de niveauadef, puis calculer la tangente à la courbe de niveau defau pointM: f(x;y) =x4+y48x2y2; a= 2; M= (p2;p2); f(x;y) =xyx+yxy ; a= 1eta= 2; M= (2;2); f(x;y) = min(x;y); a= 3; M= (4;3):

Exercice 4

Soit =(x1;x2;:::;xn)2Rn:8i2 f1;2;:::;ng;xi>0:

(1) Montrer queest ouvert. (2) On considère les fonctions suivantes sur le domaine: f(x1;x2;:::;xn) =x1+x1=2

2++x1=i

i++x1=nn; g(x1;x2;:::;xn) =x1x22x33:::xii:::xnn: Montrer que ces fonctions sont différentiables suret calculer leurs gradients.

Exercice 5

On considère l"applicationfdéfinie par :

f(x;y;z) =lnpx

2+y2+z2;xyexp(z);x2+y3+ 4z:

9 (1) Déterminer le domaine de définition def(c"est-à-dire le plus grand domaine sur lequel l"expression algébrique qui définitfa un sens) et montrer que c"est un ouvert deR3. (2) Montrer quefest différentiable sur son domaine et calculer sa matrice jacobienne en tout point du domaine. (3) La norme d"une application linéaireAse définit parsupx6=0kAxk=kxk. Calculer la norme deJf(x)enx= (1;1;0)pourR3muni de la normek:k1puis de la norme k:k1.

Exercice 6

Calculer le gradient de l"application

f:R+R7!R;(;x)7!Z +1 1 e(zx)2dz:

Exercice 7

La loidépend de deux paramètres >0et >0, et a pour fonction de densité f(x;;) =x1exZ(;)1fx>0g; oùZ(;)est un facteur de normalisation. (1) Calculer la dépendence endeZ(;). (2) Par dérivation par rapport à, calculer la moyenne et la variance de la distribution en fonction deet.

Exercice 8

On identifieRn2à l"espace des matrices réllesnn. (1) Calculer la diffŕentielle de l"applicationA7!dét(A)en la matrice nulle, puis en l"identité. (2) Montrer que l"ensemble des matrices inversibles est ouvert. Calculer la différentielle de l"applicationA7!A1sur cet ouvert.

Exercice 9

(1) Soit une application différentiablef:R!R, et soit une application différentiable :R2!R. Montrer que l"applicationu=f:R2!Rrésout l"équation @@y (x;y)@u@x (x;y)@@x (x;y)@u@y (x;y) = 0: (2) Etant donné une application différentiableg:R!R, trouver une solutionude l"équation@u@x (x;y) + sinx@u@y (x;y) = 0 telle queu(0;y) =g(y)pour touty2R. 10

Exercice 10

Les coordonnées polaires sont définies par l"application :U=R+];[7!R2;(r;)7!(rsin;rcos): (1) Calculer la jacobienne deen tout point deU. (2) Calculer la jacobienne de la réciproque de(où:U7!(U)). (3) Soitfune fonction réelle de classeC1sur(U). Exprimer le gradient defen fonctions des dérivées partielles def.

4.Différentiabilité : autres exercices sur les dérivées premières

Exercice 1

(1) Montrer qu"une norme surRnn"est pas différentiable en0. (2) Montrer que la normekk2est différentiable en dehors de0et calculer son gradient. (3) Les normesk k1etk k1sont-elles différentiables en dehors de l"origine?

Exercice 2

Soitfune fonction homogène de degré2RsurRn, c"est-à-dire une fonction telle que f(x) =f(x)pour tout >0et toutx2Rn. (1) Calculer la dérivée de!f(x)de deux façons différentes pour obtenir l"identité nX i=1x i@xif(x) =f(x)8x2Rn: (2) Montrer qu"une fonction de classeC1homogène de degré 1 est linéaire (de façon générale, les fonctions homogènes de classeCnsont des polynômes de degrén).

Exercice 3

Soitg; hetk:R2!Rles fonctions définies par

g(x;y) =x+y; h(x;y) =x+y2; k(x;y) =x2+y: (1) Dans chacun des cas suivants déterminer, si elle existe, une fonctionfdifférentiable surR2telle que @f@x =g;@f@y =h;@f@x =g;@f@y =k;@f@x =h;@f@y =k: (2) Discuter, dans les cas d"existence, l"eventuelle unicité : si l"on trouve deux telles fonctionsf1etf2, que peut-on dire def1f2?

Exercice 4

Pour06=v2Rn, la dérivée directionnelleDvf(x)d"une fonctionf:Rn!Renxest définie parDvf(x) = limh!0(f(x+hv)f(x))=h. 11 (1) Sifest différentiable enx, montrer queDvf(x) =df(x)v=hrf(x);vi. (2) Montrer que la fonctionf:R2!Rdéfinie par f(x;y) =xy2x

2+y2pour(x;y)6= (0;0)etf(0;0) = 0

est continue en(0;0), admet des dérivées directionnelles pour toutven(0;0), mais n"est pas différentiable en(0;0).

Exercice 5

Soitf(x;y) = (x2+y4)1=3.

(1) Montrer quefest définie surR2et de classeC1surR2nf(0;0)g. Calculer les dérivées partielles premières defen un point(x;y)6= (0;0). (2) La fonctionfadmet-elle des dérivées partielles au point(0;0)?

Exercice 6

Soitg:R!Rune application de classeC2. Soitf:R2!Rdéfinie par f(x;y) =g(x)g(y)xysix6=y; f(x;x) =g0(x): Montrer quefest différentiable surR2et calculer sa différentielle.

Exercice 7

Soitf:R2!R. On suppose quefadmet des dérivés partielles en tout point et qu"il existeM >0tel que @f@x (x;y)M;@f@y (x;y)M8(x;y)2R2:

Montrer qu"alorsfest continue surR2.

Exercice 8

Soit une fonctionfdifférentiable sur un ouvert connexeUR2. On suppose que@f@x (x;y) =

0pour tout(x;y)2U. Peut-on en conclure quefne dépend pas dex?

12

5.Différentiabilité : dérivées secondes et développements limités

Exercice 1

Soitfla fonction définie surR2par

f(x;y) =xyx2y2x

2+y2si(x;y)6= (0;0)etf(0;0) = 0:

Montrer que les dérivées partielles secondes @2f@x@y (0;0)et@2f@y@x (0;0)existent et calculer leur valeur. Quelle conclusion peut-on en tirer?

Exercice 2

SoitAla matrice

A=0 2 1 2 (1) Donner un exemple, s"il existe, de fonction différentiablef:R2!R2dontAest la différentielle en0. (2) Donner un exemple, s"il existe, de fonction deux fois différentiablef:R2!Rde matrice hessienneAen0. (3) Donner un exemple, s"il existe, de fonction deux fois différentiablef:R2!Rde matrice hessienneA+ATen0.

Exercice 3

Ecrire le développement de Taylor d"ordre2en(0;0)des fonctions deR2dansRdéfinies par f(x;y) = ln(1 + 2x+ 3y); g(x;y) =x2eyyex; h(x;y) = cos(tan(x+ siny)):

Exercice 4

Soit la fonctionf:R2!Rdéfinie parf(x;y) = sin(x+y)cos(xy)ex+y+ 2: (1) Montrer quefest de classeC2surR2et déterminer le plus petit entierptel qu"il existe une dérivée partielle d"ordrepdefen(0;0)non nulle. (2) Ecrire le développement de Taylor defen(0;0)jusqu"à l"ordrepinclus. (3) Déterminer la limite éventuelle lim (x;y)!(0;0)f(x;y)( px

2+y2)p:

13

Exercice 5

Soit une fonction continue:R!R, et soient les applicationsh:R2!Retg:R!R définies par h(x;y) =Z x 0 sin(yt)(t)dt; g(x) =h(x;x): Donner une expression de la dérivée deg, et montrer quegrésout l"équationg00+g=.

6.Convexité

Exercice 1

Les sous-ensembles deR2suivants sont-ils convexes? E

1=f(x;y)2R2:xy0g;

E

2=f(x;y)2R2:x2+y2x+y+ 1=4<0g;

E

3=f(x;y)2R2:x+ 2y+ 1<0ouy0g;

E

4=f(x;y)2R2:x2+y26x+ 4y+ 9<0et2< x+y2g:

Exercice 2

Pour les fonctions suivantes deR2dansR, étudier la convexité locale au point demandé : f(x;y) =x22xy2enM= (3;2); g(x;y) =x2eyyexenM= (0;0); h(x;y) =ytanx+xtanyenM= (0;0):

Exercice 3

Montrer que les fonctionsfetgdéfinies surR2parf(x;y) =x4+y4etg(x;y) = (xy)2 sont convexes surR2, mais queh=fgn"est ni convexe ni concave surR2.

Exercice 4

Une fonction affine surRnest une fonction de la formef(x) =ha;xi+b, pour un certain a2Rnet un certainb2R. (1) Montrer que, sigest une fonction convexe sur un intervalleIR, et sifest affine surRn, alorsgfest convexe sur tout convexeURntel quef(U)I. (2) Déterminer le domaine de la fonctionhdéfinie parh(x;y) = ln(x+3y1), montrer qu"il est convexe, et étudier la convexité deh.

Exercice 5

Soit la fonctionfdéfinie par

f(x;y) =1xyx+y: 14 (1) Déterminer le domaine def, montrer que ses composantes connexes sont convexes et étudier la convexité defsur chacune d"elles. (2) Etudier sur son domaine, la convexité degdéfinie par g(x;y) =1xyx+yln(x+y):

Exercice 6

(1) Montrer que, sigest une fonction convexe et croissante sur un intervalleIR, et si fest convexe sur un convexeURntel quef(U)I, alorsgfest convexe surI. (2) Montrer que la fonctionhdéfinie par h(x;y) =exp(5x2xy+y2)x 2y est convexe sur le domaineD=f(x;y)2R2:x >0;y >0g. Indication : utiliser le logarithme.

Exercice 7

Montrer que l"application(x1;:::;xn)7!(Pn

i=1jxijp)1=pest une norme surRnpour tout p1.

Exercice 8

Montrer que, pour tout(x1;:::;xn)2(R+)n, on a

x

1++xnn

(x1:::xn)1=n:

Exercice 9

SoitUun convexe non vide deRnmuni de la normek k:Pourx2Rn, on notedU(x) = inffkxuk:u2Ugla distance dexàU. Montrer que les fonctionsdUetd2Usont convexes surRn.

Exercice 10

Soit une application continuef:Rn!R. Montrer que si, pour toutx;y2Rn, fx+y2 f(x) +f(y)2 alorsfest convexe. Indication : procéder récursivement en coupant chaque fois un segment en deux parties égales. 15

7.Optimisation libre

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