[PDF] Maths 310 Calcul Différentiel 1 Notations 2 Applications différentiables

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UFR de MathématiquesLicence sciences et technologies

Université de Lille 1Année 2008/2009

Maths 310Calcul Différentiel

Exercices

1 Notations

La différentielle d"une applicationfen un pointaest notéeDf(a).

Le jacobien defenaest notéJacaf.

2 Applications différentiables

2.1 Applications différentiables

Exercice 2.1.

Soitfune applicationfdeEdansFespaces vectoriels normés de dimension finie. On rappelle les implications suivantes : six02E, "fde classeC1enx0")"fdifférentiable en x

0")"fcontinue enx0". On sait de même que "fdifférentiable enx0")"fadmet des dérivées

partielles enx0" montrer que les réciproques sont fausses en général en s"inspirant de : f(x) =8 >:x 2sin1 x +y2sin1 y sixy6= 0 x 2sin1 x siy= 0 y 2sin1 y six= 0

0 en (0;0)

ou de f(x) =( xy2 x

2+y2si (x;y)6= (0;0)

0 si (x;y) = (0;0)

Exercice 2.2.1.

Soitfune application deEdansFespaces vectoriels normés et supposons directionuexiste , i.e.limh!01 h ¡f(a+hu)¡f(a)¢et l"exprimer à l"aide deDf(a). 2. On considèref:R2!Rdéfinie parf(0;0) = 0et, si(x;y)6= (0;0),f(x;y) =x3y x

4+y2. Montrer

quefest dérivable en(0;0)dans toutes les directions, mais quefn"est pas différentiable en (0;0).

Exercice 2.3.

Soitg:R!Rune application de classeC2etF:R2!Rdéfinie par

F(x;y) =g(x)¡g(y)

x¡ysix6=y; F(x;x) =g0(x): Montrer queFest de classeC1en tout point deR2et calculer sa différentielle.

Exercice 2.4.

SoitEnl"espace des polynômes de degré·n. Etudier la différentiabilité des applicationsP7!R1

0(P3(t)¡P2(t))dtetP7!P0¡P2.

1

Exercice 2.5.

SoitHun espace préhilbertien surR, etf(x) =jjxjjdeHdansR; montrer quef

est différentiable en tout point deHnf0g, et calculer sa différentielle. (indic. étudier directement

jjx+hjjou considérer la fonction composéex! jjxjj2!p jjxjj2.) Décrire le noyau KerDf(x)en toutx6= 0.

Exercice 2.6.

Soita2Rnetf:Rnnfag !Rndéfinie parf(x) =a¡x

jjx¡ajj2. 1.

DéterminerDf(x)pour toutx2Rnnfag.

2.

Montrer queDf(x):h=Sh

jjx¡ajj2oùSest la symétrie orthogonale d"axex¡a. Que peut-on dire de la transformationDf(x)deRn?

Exercice 2.7.

Soitfune application différentiable deR2dans lui-même, propre (i.e.jjf(x)jjtend vers1quandjjxjj ! 1), telle que pour toutx2R2Df(x)soit injective. On va montrer quef est surjective. Soita2R2etg(x) =jjf(x)¡ajj2; 1.

DéterminerDg(x).

2. Montrer quegatteint sa borne inférieure en un pointx0deR2, et queDg(x0) = 0; en déduire le résultat.

Exercice 2.8.

Soit, dansRn,Fun sous-espace fermé, et soitf:Rn!Rdéfinie parf(x) = d(x;F). On rappelle quefest1-lipschitzienne, et que pour chaquexil existey2Ftel que f(x) =d(x;y). 1. On suppose quefest différentiable enx =2F. Montrer quejjDf(x)jjL(Rn;R)·1. 2. On considère la fonction':t2[0;1]!f((1¡t)x+ty); en calculant'0(0)de deux façons, montrer queDf(x):x¡y jjx¡yjj= 1etjjDf(x)jjL(Rn;R)= 1. 3.

En déduire queyest unique.

Exercice 2.9.

SoitBune application bilinéaire deE£FdansG, oùE;F;Gsont des evn de dimension finie. 1. CalculerDB(a)sa différentielle en un pointa= (a1;a2)deE£F. 2. En déduire, pourfetgdeux applications différentiables deIintervalle deRdansR3, la différentielle det!f(t)^g(t)et det! hf(t);g(t)ien toutt2I. 3. Application : SoitAun opérateur deRntel queAx?xpour toutx; montrer queetAest une isométrie pour tout réelt. (Dérivert! jjetAxjj2.)

Exercice 2.10.

SoitEun espace vectoriel de dimension fini etL(E)l"espace des endomorphismes linéaires continus deE. 1. SoitA2 L(E); montrer que l"application':t2R!etAest différentiable et déterminer sa différientielle. 2. On suppose que la norme deEest associée au produit scalaireh¢;¢i. Soitx2E. Montrer que l"application© :t! hetAx;etAxiest dérivable et calculer sa dérivée. 3. On suppose queAest antisymétrique. Montrer que pour toutt,etAest unitaire.

Exercice 2.11.

SoitEetFdeux evn surC. Une application deEdansFC-linéaire estR-linéaire, mais la réciproque est fausse. 1. Soit':E!Fune applicationR-linéaire. Montrer que'estC-linéaire si et seulement si'(ix) =i'(x)pour toutx2E. En déduire les applications deR2dansR2qui sont

C-linéaires.

SoitUun ouvert deEetf:U!F. On supposefR-différentiable ena2U. Il est clair que festC-différentiable enasi et seulement siDf(a)estC-linéaire. 2 2. Sif:C!Cs"écritf(z) =u(z) +iv(z) =f(x+iy)avecuetvréelles, qu"on identifie à f(x;y) = (u(x;y);v(x;y)), traduire à l"aide de a) "festC-différentiable ena=®+i¯". En quels points les applications deCdansCsont-ellesC-différentiables :f1(z) =ex;f2(z) = jzj2;f3(z) =ex¡iy? 3. (extrait de septembre 99) SoitUun ouvert deCet soitf:U!C C-différentiable ena= ®+i¯2U, telle quef(a)6= 0. Montrer que sig=jfjestC-différentiable ena=®+i¯2U, alorsDf(a) = 0.

Exercice 2.12.

Soit® >0. Étudier la différientiabilité à l"origine de l"applicationf:R2!Rqui est définie parf(0;0) = 0et par f(x;y) =jxyj® p x

2+ 3y2si(x;y)6= (0;0):

Exercice 2.13.

Soitf:R2!Rdéfinie par

f(x;y) =xy2 x

2+y2si(x;y)6= (0;0)

etf(0;0) = 0. Montrer quefest continue surR2, que pour toutu2R2nf0g@f @u (0;0)existe, mais quefn"est pas différentiable en(0;0).

Exercice 2.14.

SoitX=C([0;1])muni de la norme uniforme et soitfune application deC1(R;R). On noteFl"application'7!f±'deXdansX. Montrer que pour chaque'2X,DF(')est l"opérateur linéaire de multiplication parf0±'dansX:

DF(')¢(h) =hf0±' ;

et queDFest continue.

Exercice 2.15.

SoitFl"algèbre des matrices carrésp£pmunie d"une norme. 1. Soitf:F !Rl"application qui associe à une matriceAson déterminantf(A) =det(A). Montrer qu"elle est différentiable et déterminerDf. 2. Pourn¸1, on considère l"application'n(A) =AndeFdansF. Montrer qu"elle est différentiable en toute matriceA2 F. 3. On désigne parUl"ensemble des matrices inversibles deF. Montrer queUest un ouvert de Fet calculer la différentielle de l"applicationA7!A¡1deUdansU.

Exercice 2.16.1.

Que peut-on dire de la différentiabilité de l"applicationf:R2!Rdéfinie parf(x1;x2) =kxk1= max(jx1j;jx2j)? 2. Généraliser ceci àf:F !R,f(x) =kxk1, avecF=RnouFl"ensemble des suites convergentes vers zero.

Exercice 2.17.

Soitf:R2!Rl"applicationx= (x1;x2)7! kxk1=jx1j+jx2j. Est-ce qu"elle est différentiable? Considérons maintenantl1l"espace des suites réelles muni de la normekxk1=P1 j=1jxjj. 1. Montrer que pour toute forme linéaire continueLsurl1il existe une suite bornée®= (®1;®2;::::)telle que

L(x) =1X

j=1® jxj: 3 2. Montrer que la normek:k1:l1!Rn"est pas différentiable en aucun point del1(raisonner par l"absurde en utilisant (1)).

Exercice 2.18.

Dans un espace normé(F;N), on considére l"applicationx7!N(x). Rappeler que, lorsque cette applicationNest différentiable enx2 F, alors

DN(x)¢(h) = limt!01

t (N(x+th)¡N(x)): En déduire queNn"est pas différentiable en02 F. SupposonsNdifférentiable enx2 F, alors justifier queNl"est aussi en¸x, où¸ >0, et queDN(x) =DN(¸x).

En considérant la dérivée en¸= 1de l"application¸7!N(¸x), montrer queDN(x)¢(x) =N(x)

et en déduirekjDN(x)kj= 1.

Exercice 2.19.

SoitEun espace vectoriel réel muni d"un produit scalaire(x;y)7!< x;y >et de la norme associéekxk=< x;x >1 2 . Soituun endomorphisme continu deEque l"on suppose symétrique, i.e. < u(x);y >=< x;u(y)> pour tout x;y2 E: 1. Montrer que l"applicationx2 E 7!< u(x);x >est différentiable surEet calculer sa différen- tielle. L"applicationx7! kxk2est donc différentiable. 2. On définit une application':E n f0g !Ren posant'(x) = . Établir qu"il s"agit d"une application différentiable. Calculer ensuiteD'. Montrer que, pour un élément non nul a2 E, on aD'(a) = 0si et seulement siaest vecteur propre deu.

2.2 Théorème des accroissements finis

Exercice 2.20.1.

Soitfune application réelle continue et dérivable sur]a;b[telle quef0(x) ait une limite quandxSoitfune application continue et dérivable sur un intervalleI½R, et de dérivée croissante;

montrer quefest convexe surIi.e.f((1¡t)x+ty)·(1¡t)f(x) +tf(y)pour tousx < y deIett2[0;1]. (Poserz= (1¡t)x+tyet appliquer les AF à[x;z]puis[z;y].)

Exercice 2.21.1.

Montrer que l"identité des accroissements finis n"est pas vraie pour les fonc- tions vectorielles en considérantf(x) =eix. 2. Sifest une fonction continue sur[a;b]et dérivable sur]a;b[, on a vu quef0(]a;b[)est connexe. Montrer que ceci est faux pour les fonctions vectorielles en considérantf(x) = (x2cos(1 x );x2sin(1 x

Exercice 2.22.

SoitE=C([0;1];Rn)et soitFun sous-espace vectoriel deEconstitué de fonctions différentiables, telles que jjDf(x)jj ·M;8x2[0;1];8f2F;jjfjj ·1

oùMest une constante fixée à l"avance. Montrer que la boule unité deFest compacte; que peut-on

dire deF?

Exercice 2.23.

[partiel du 5 décembre 1999] Soitf:R2!R2définie parf(x;y) = (x2¡y;x2+y2) etg=f±f. 1.

Montrer quefetgsont de classeC1.

4 2. Calculer en tout point(x;y)2R2la matrice jacobienne defnotéeJac(x;y)f; calculer la matrice jacobienne degau point(0;0)notéeJac(0;0)g. 3. Montrer qu"il existe½ >0tel que pour tout(x;y)2 B

½((0;0))(la boule fermée de centre

(0;0)et de rayon½) on ajjJac(x;y)gjj ·1 2 4. Montrer que la fonctiongadmet un unique point fixe dans B

½((0;0)).

Exercice 2.24.

On considère l"applicationF:R2!R2définie parF(x;y) = (cosx¡siny;sinx¡ cosy); on noteF(k)l"applicationFcomposéek-fois 1.

Montrer quejjDF(x;y)jj ·p

2pour tout(x;y).

2. En déduire que la suite récurrente définie parx0;y0et pourn¸1 x n+1=1 2 (cosxn¡sinyn); yn+1=1 2 (sinxn¡cosyn) converge pour tout(x0;y0). Quelle est sa limite?

Exercice 2.25.

Soitfune application différentiable de]a;b[½RdansRn; on suppose qu"il existe k >0tel que jjDf(x)jj ·kjjf(x)jj;8x2]a;b[: Montrer que sifs"annule en un pointx02]a;b[,fest identiquement nulle dans]a;b[(montrer que

E=fx2]a;b[ ;f(x) = 0gest ouvert).

Exercice 2.26.

SoitEun espace vectoriel de dimension fini (ou même un espace de Banach), Uun ouvert deEetfune application différentiable deUdansRtelle que l"on aitjjDf(x)jj · kjf(x)j;8x2U. Montrer que pourxassez voisin dea2U, jf(x)j ·ekjjx¡ajjjf(a)j: Indication :considérer l"applicationt2[0;1]!f(a+t(x¡a))).

Exercice 2.27.

On considère l"applicationF:R2!R2définie par

F(x;y) = (x2+y2;y2):

Soit =fp2R2; limk!1Fk(p) = (0;0)goùF(k)est l"applicationFcomposéek-fois avec elle-même. 1.

Vérifier quep2si et seulement siF(p)2.

2.

Montrer qu"il existe± >0tel quekJacpFk<1

2 sikpk< ±. En déduire que(0;0)est dans l"intérieur depuis queest un ouvert. 3. Utiliser l"homogénéité deFpour montrer queest connexe.

Exercice 2.28.

SoientE;Fdes espaces normés,un ouvert deEetf: !Fune application continue. 1. Soitaun point de. Sifest différentiable dansnfaget si l"applicationx2nfag 7!Df(x) admet une limiteT2 L(E;F)quandxtend versadans, montrer quefest différentiable au pointaet queDf(a) =T(appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction g:x7!f(x)¡T(x)). 2. Supposonsfdifférentiable dans. Montrer queDf: ! L(E;F)est continue ena2si et seulement si, pour tout" >0, il existe± >0tel que kf(a+h)¡f(a+k)¡Df(a)(h¡k)k ·"kh¡kksikhk< ± etkkk< ± : 5 3. Supposons maintenant qu"il existe une application continuex27!Tx2 L(E;F)telle que pour toutx2et touth2E lim t!0;t6=0f(x+th)¡f(x) t =Tx(h): Montrer quefest de classeC1et queDf(x) =Txpour toutx2. (on pourra considérer la fonctiong(t) =f(x+th)¡tTx(h)).

Exercice 2.29.

SoientE;Fdes espaces de Banach,un ouvert connexe deEetfn: !Fune suite d"applications différentiables. On suppose que cette suite vérifie : 1.

Il existex02tel que(fn(x0))converge dansF.

2. La suite(Dfn)converge uniformément sur toute boule ferméeBF(a;r)½. Alors, montrer que(fn)converge uniformément sur toute boule fermée deet que, sif(x) = limquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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