Familles libres génératrices
http://math.univ-lille1.fr/~doeraene/svsem4/bases.pdf
Cours de mathématiques - Exo7
Le nombre de vecteurs dans une base s'appelle la dimension et nous verrons comment calculer la dimension des espaces et des sous-espaces. 1. Famille libre. 1.1.
Chapitre 4. Base et génératrice
générateur (ou une famille génératrice) de Rn si tout autre vecteur de Rn s'exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système. Comment répondre :.
MyPrepa
Si U est une famille à 1 élément et que cet élément est non nul alors U est libre. RAPPEL DE COURS. Familles libres
Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
I – Familles libres génératrices
1. Famille libre
un résultat du cours ou un contre-exemple : (1) Une famille de p ? n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n est génératrice.
3 Familles génératrices libres
http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours4.pdf
XXI Applications linéaires et familles de vecteurs
22 sept. 2021 le cours sur la décomposition en élément simple on obtient une famille génératrice de C(X) en regroupant les familles.
Espaces vectoriels
les vecteurs 1 = (11
Sommaire 1. Familles de vecteurs
?juj. Exemple : Dans [X] (Xn)n? est aussi une famille génératrice. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://
Chapitre 4 Base et génératrice - univ-angersfr
§5 famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel • Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur Et n’importe quel vecteur ~v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur On a D =h~vi • Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs Et
Familles libres génératrices bases
Une famille de vecteurs de Eforme une base de Esi elle est à la fois libre et génératrice Dé nition 9 Remarque Là encore une telle famille n'existe pas toujours mais on verra par la suite que c'est le cas sous de bonnes hypothèses sur l'espace vectoriel Exemple 4 La famille (e 1;e 2) avec e 1 = (1;0) et e 2 = (0;1) est une base de
Exo7 - Cours de mathématiques
FAMILLE GÉNÉRATRICE 5 2 Famille génératrice Soit E un espace vectoriel sur un corps K 2 1 Dé?nition Dé?nition 3 Soient v1 vp des vecteurs de E La famille fv1 vpgest une famille génératrice de l’espace vectoriel E si tout vecteur de E est une combinaison linéaire des vecteurs v1 vp Ce qui peut s’écrire aussi :
Familles libres génératrices bases - univ-lillefr
corps K est dite génératrice lorsque tout vecteur ~v ? V est combili de ses vec-teurs Par exemple la famille {(111)(123)} n’est pas génératrice de R3 car on a vu plus haut que (124) (entre autres) n’est pas combili de ces vecteurs Par contre {(111)(123)(124)} est génératrice car étant donné un vecteur 1
Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel
Définition de famille génératrice On dit qu’une famille ? de est génératrice de si =???? (?) i e tout vecteur ? de est combinaison linéaire d’éléments de ? Définition de base Une famille ? de est une base de si et seulement si ? est libre et génératrice de 2 Bases et coordonnées
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Cette famille est bien génératrice de F (ii) Soit (e 1;:::;e n) une famille libre de E Il faut montrer que la famille (u(e 1);:::;u(e n)) est une famille libre de F Pour cela considérons une combinaison linéaire nulle de ces éléments : 0 F = 1u(e 1)+ + nu(e n) = u( 1e 1 + + ne n); toujours par linéarité de u Autrement dit 1e 1
Comment savoir si une famille est génératrice?
Si on retire à une famille génératrice un vecture qui est combili des autres vecteurs de cette famille, elle reste génératrice. Lemme 8 Une famille est liée si et seulement si elle contient un vecteur qui est combili des autres vecteurs de cette famille.
Quelle est la différence entre le nombre d’éléments de n’importe quelle famille libre et la famille génératrice?
On a ainsi montré que le nombre d’éléments de n’importe quelle famille libre est inférieur ou égal au nombre d’éléments de n’importe quelle famille génératrice. En particulier le nombre d’éléments de n’importe quelle famille libre est inférieur ou égal à n (qui est le nombre d’éléments d’une base, donc famille génératrice).
Comment calculer la génératrice d'un vecteur?
Par contre {(1,1,1),(1,2,3),(1,2,4)} est génératrice car étant donné un vecteur 1 quelconque(a,b,c) ? R3,onpeuttrouverdescoe?cient?,µ,? telsque(a,b,c) = ?(1,1,1)+µ(1,2,3)+?(1,2,4).
Quelle est la différence entre une base et un générateur?
Une base a exactement nvecteurs. Tout système libre se complète (facilement) en une base. De tout système générateur on peut constituer une base (avecou sans combinaison linéaires). Ainsi, dans R2, deux vecteurs quelconques non co-linéairesconstituent une base. Exemples.
Chapitre6Espaces vectoriels
Remarque
Attention!Les espaces vectoriels sont séparés en deux parties dans le programme. Une "introduction
aux espaces vectoriels" est d"abord traitée en cours, puis plus tard dans l"année sont ajoutés des "Com-
pléments sur les espaces vectoriels" avec notamment la notion d"espace vectoriel de dimension finie. Par
soucis de cohérence, nous avons souhaité mettre tous ces points dans le même chapitre. Chaque question
ou méthode faisant partie de ces "Compléments sur les espaces vectoriels" abordés plus tard au cours
de la 1ère année est accompagnée du symbole?. Si vous n"avez pas encore étudié ces compléments, ne
vous attardez donc pas sur ces questions et méthodes.Dans tout le chapitre,KdésigneRouC.
6.1. Sous-espaces vectoriels
Question 1Comment montrer qu"un espaceFest un sous-espacevectoriel d"un espace vectorielE?Méthode 1
En montrant les 3 points définissant un sous-espace vectoriel Kn,K[X],Kn[X],Mn,p(K),F(I,R) (l"ensemble des fonctions deI(I?RouI?N) dansR) sont des espaces vectoriels.
Fest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si :1.Fest inclus dansE
2. 0E?Fi.e.Fest non vide
3.?α?K,?(u,v)?F2,(αu+v)?F
RAPPEL DE COURS
Cette méthode sera le plus souvent utilisée pour montrer queFest un sous-espace vectoriel deE. C"est un classique.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceExtrait d"ESSEC 2015
SoitE=C0([0,1],R) l"ensemble des fonctions continues sur [0,1] et à valeurs dansR. Soitqune fonction continue sur [0,1] et à valeurs dansR, on noteF(q) l"ensemble défini par :F(q) ={f? C2([0,1],R),?t?[0,1], f??(t) =q(t)f(t)}Montrer queF(q) est un sous-espace vectoriel deE.
CorrigéF(q)?E
Soitf= 0E?t?[0,1],f??(t) = 0 =q(t)f(t)
Doncf?F(q) etF(q)?=∅.
Soientα?Ret (f,g)?(F(q))2. On poseh=αf+g. On a :?t?[0,1]h??(t) =αf??(t)+g??(t) =αq(t)f(t)+q(t)g(t) =q(t)(αf+g)(t) =q(t)h(t)D"où?t?[0,1],h??(t) =q(t)h(t)
Donch?F(q) i.e.αf+g?F(q).
AinsiF(q) est un sous-espace vectoriel deE
1 Méthode 2En montrant queF= vect(U)oùUest une famille de vecteurs deESoientEunK-espace vectoriel et (u1,u2,...,up)?Ep.
On appelle sous-espace vectoriel engendré par la famille (u1,u2,...,up) et on note vect(u1,u2,...,up) l"ensemble des combinaisons linéaires de la famille (u1,u2,...,up).On a : vect(u1,...,up) =?
p? i=1λ iui,(λ1,...,λp)?Kp? vect(u1,...,up) est un sous-espace vectoriel deE.RAPPEL DE COURS
Pour montrer qu"un ensembleFest un sous-espace vectoriel d"un espace vectorielE, on peutchercher à exprimerFsous forme d"un vect d"éléments deE. L"interêt de cette méthode est
de pouvoir ensuite facilement trouver une base.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceSoitF={P?R4[X], P(-1) =P(0) =P(1) = 0}
Montrer queFest un sous-espace vectoriel deR4[X].
CorrigéF={P?R4[X]/ P(-1) =P(0) =P(1) = 0}
={(X-1)X(X+ 1)(aX+b),(a,b)?R2}={(X3-X)(aX+b),(a,b)?R2} ={a(X4-X2) +b(X3-X),(a,b)?R2}= vect(X4-X2,X3-X)DoncFest un sous-espace vectoriel deR4[X]
Question 2Comment montrer qu"un espaceFn"est pas un sous-espace vectoriel d"un espace vectorielE?Méthode
En montrant qu"un des 3 points définissant un sous-espace vectoriel n"estpas vérifié Pour montrer qu"une partieFdeEn"est pas un sous-espace vectoriel deEon peut :Montrer que 0En"appartient pas àF
Trouverλ?Ketu?Ftel queλun"appartient pas àF. TrouveruetvdansFtel queu+vn"appartient pas àF.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceExtrait d"ESCP 2004On noteEl"ensemble des fonctionsfdeRdansRpour lesquelles il existe une suite réelle
s= (sn)n?N?, dite adaptée àf, telle que :?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+k n? =snf(nx)1. Montrer que les fonctions constantes appartiennent àE.
2. SoitAla fonction deRdansRqui àxassociex-1
2. Établir queAest un élément de
E.3.Econstitue-t-il un sous-espace vectoriel deF(R,R)?
Corrigé1. Soitfune fonction constante deRdansR. Alors?c?R,?x?R, f(x) =cet ainsi : ?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+k n? =n-1? k=0c=n×c=n×f(nx) Donc en posant?n?N?, sn=n, on a bien l"existence d"une suite (sn)n?N?telle que :Sous-espaces vectoriels2
?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+kn? =sn×f(nx)Doncf?E.
Donc le fonctions constantes appartiennent àE.
2.?n?N?,?x?R,
n-1? k=0A? x+k n? =n-1? k=0? x+kn-12? =n-1? k=0? x-12? +1nn-1? k=0k =n? x-1 2? +1n×n(n-1)2=nx-n2+n-12=nx-12 = 1×A(nx) Donc en posant?n?N?, sn= 1, on a bien l"existence d"une suite (sn)n?N?telle que : ?n?N?,?x?R,n-1? k=0A? x+x n? =sn×A(nx)DoncA?E
3. NotonsB→x?→12. Supposons queA+B?E.
Alors il existe un suite (sn)n?N?telle que :?n?N?,?x?R,n-1? k=0? x+k n? =sn×nxEn particulier, pourx= 0 :?n?N,n-1?
k=0? 0 +k n? =sn×n×0 = 0Donc?n?N?,1
nn-1? k=0k= 0 i.e.1n×(n-1)×n2= 0D"où?n?N?, n-1 = 0. On a une contradiction.
DoncA+B /?E, orA?EetB?E.
AinsiEn"est pas un sous-espace vectoriel deF ?(R,R) Question 3Comment montrer une égalité d"espaces vectoriels?Méthode 1
Par double inclusion
Il s"agit d"une méthode à utiliser principalement lorsque les espaces sont définis de manière
abstraite et non totalement explicite. On utilisera alors les méthodes classiques pour montrer une double inclusion.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceSoitn≥2. SoitA? Mn(R). SoitR[A] le sous-espace vectoriel deMn(R) défini parR[A] ={P(A), P?R[X]}(Par exemple :A3+ 4A?R[A])
Zdésigne un polynôme annulateur non nul deAet de degré minimal, (on notedle degré deZ).1. Pour tout polynômePdeR[X], montrer qu"il existe un unique couple (Q,R) de poly-
nômes deR[X] tel que :P=ZQ+Ret deg(R)< d.2. En déduire queR[A] = vect(In,A,...,Ad-1)
Corrigé1. SoitP?R[X]. Par division euclidienne : Il existe un unique couple de polynôme (Q,R) tel queP=ZQ+Ravec deg(R)On a alors :P(A) =Z(A)Q(A) +R(A) =R(A)
Sous-espaces vectoriels3
DoncP(A) =R(A) carZ(A) = 0M(R).
De plus, deg(R)< d, doncR(A)?vect(In,A,...,Ad-1)
On a donc :P(A)?vect(In,A,...,Ad-1)
DoncR[A]?vect(In,A1,...,Ad-1)
Ainsi,R[A] = vect(In,A,...,Ad-1)
Méthode 2?Par inclusion et égalité de dimensions SoientAetBdes espaces vectoriels de dimension finie.SiA?Bet dim(A) = dim(B) alorsA=B.
RAPPEL DE COURS
Cette méthode est très fréquemment utilisée lorsqu"on a déjà démontré (ou alors qu"on est
capable de le faire facilement) que les dimensions des deux espaces sont égales. Il suffit alors de montrer la plus simple des deux inclusions.POINT MÉTHODOLOGIQUE
Exercice?On considère les vecteurs deR3suivants :u= (1,-1,1), v= (0,-1,2), w= (1,-2,3)SoientG={(x,y,z)?R3, x+ 2y+z= 0}etF= vect(u,v,w)
On admet queGest un sous-espace vectoriel deR3.
Montrer queF=G.
CorrigéOn remarque queu+v=w.
On aF= vect(u,v,w) = vect(u,v,u+v) = vect(u,v)
Oruetvne sont pas colinéaires donc : (u,v) est une base deFet dim(F) = 2 G={(x,y,z)?R3, x=-2y-z}={(-2y-z,y,z) (y,z)?R2} ={y(-2,1,0) +z(-1,0,1),(y,z)?R2}DoncG= vect((-2,1,0),(-1,0,1))
Or (-2,1,0) et (-1,0,1) ne sont pas colinéaires donc forment une famille libre deG. D"où ((-2,1,0),(-1,0,1)) est une base deG, dim(G) = 2 Si (e1,...,er) est une base deFalors :F?G?? ?i??1,r?, ei?GRAPPEL DE COURS
F= vect(u,v) et (u,v) est une base deF.
Or?1 + 2×(-1) + 1 = 0 doncu?G
0 + 2×(-1) + 2 = 0 doncv?G
AinsiF?G
Comme dim(F) = dim(G) = 2 etF?G, on aF=G
6.2. Familles libres, génératrices et bases
Question 1Comment montrer qu"une familleUest libre?Méthode 1
SiUcomprend un unique élémentu, en montrant queu?= 0 SiUest une famille à 1 élément et que cet élément est non nul, alorsUest libre.RAPPEL DE COURS
Familles libres, génératrices et bases4
Lorsqu"on est en présence d"une famille de cardinal 1, il suffit d"appliquer littéralement lerappel de cours précédent pour justifier la liberté de la famille.
POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceJustifier que la famille ((2,5)) est une famille libre deR2 Corrigé(2,5)?= (0,0) donc (2,5) est une famille libre deR2. Méthode 2SiUest une famille à 2 élementsuetv, en montrant queuetvsont noncolinéaires SoitU= (u,v) une famille à deux éléments. uetvsont non colinéaires??Uest libre.RAPPEL DE COURS
Lorsqu"on est en présence d"une famille de cardinal 2, il suffit d"appliquer littéralement le rappel de cours précédent pour justifier la liberté de la famille.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceJustifier que la famille ((1,2,3),(0,1,1)) est libre. Corrigé(1,2,3) et (0,1,1) sont non colinéaires.Donc la famille ((1,2,3),(0,1,1)) est libre
Méthode 3En utilisant la définition d"une famille libreSoitEunK-espace vectoriel et (u1,u2,...,up)?Ep.
((u1,u2,...,up) est une famille libre) si et seulement si (?(α1,α2,...,αp)?Kp, α1u1+α2u2+
...+αpup= 0E?α1=α2=...=αp= 0)RAPPEL DE COURS
Revenir à cette méthode doit vraiment être une constante dans votre raisonnement lorsquela famille comporte 3 éléments ou plus. On revient à la définition de la liberté et on cherche
à montrer l"implication rappelée ci-dessus pour conclure sur la liberté de la famille.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceSoitu= (1,1,1), v= (1,2,0) etw= (1,1,0) des éléments deR3. Montrer que (u,v,w) est une famille libre.CorrigéSoit (a,b,c)?R3tel quea u+b v+c w= 0
Alors?
?a+b+c= 0 a+ 2b+c= 0 a= 0??? ?b+c= 02b+c= 0
a= 0??a=b=c= 0Ainsi (u,v,w) est une famille libre
Familles libres, génératrices et bases5
Méthode 4S"il s"agit de polynômes, en montrant que c"est une famille de polynômesnon nuls échelonnés en degré
Toute famille de polynômes non nuls échelonnés en degré est une famille libre.RAPPEL DE COURS
Lorsqu"on est en présence d"une famille de polynômes non nuls, le réflexe doit être de vérifier
si ces polynômes sont échelonnés en degré. Si c"est le cas, il est important de préciser qu"ils
sont tous non nuls.Si les polynômes ne sont pas échelonnés en degré, il faut utiliser la méthode précédente.
POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceExtrait d"HEC 2013
Soitn?N?. Pour toutx?Retk?N, on pose :x=?
?k i=1(x+i-1) sik≥1 1 sik= 0
On associe aux fonctions polynomialesx?→xCorrigé?k??1,n?,deg(X) = deg(k?
i=1(X+i-1)) =k De plus, deg(X<0>) = 0 carX<0>= 1.
Ainsi, la famille (X<0>,X<1>,...,XDonc (X<0>,X<1>,...,X) est une famille libre
Méthode 5En utilisant le lien entre application injective et familles libres Remarque
Cette méthode nécessite la connaissance du chapitre sur les applications linéaires. Si vous ne l"avez pas encore abordé, ne vous y attardez pas.SoientEetFdes espaces vectoriels.
Soit (u1,u2,...,un) une famille libre deE. Soitf? L(E,F). (finjective)?((f(u1),f(u2),...,f(un)) est libre).RAPPEL DE COURS
On peut penser à utiliser la propriété ci-dessus pour montrer qu"une famille est libre lorsque
l"on peut exploiter une application linéairefinjective.POINT MÉTHODOLOGIQUE
Soit (M1,...,Mp) une famille libre deMn(R).
Montrer que (
tM1,...,tMp) est une famille libre deMn(R).Familles libres, génératrices et bases6
CorrigéNotonsfl"application deMn(R) dansMn(R) qui àMassocietM. D"après le cours,f est linéaire. De plus, soitMune matrice deMn(R) telle quef(M) = 0. Alors tM= 0 doncM= 0. Donc Ker(f)? {0Mn(R)}. Comme 0Mn(R)?Ker(f), on a :Ker(f) ={0Mn(R)}et doncfest injective.
Or (M1,...,Mp) est libre. Donc (f(M1),...,f(Mp)) est libre.Donc (
tM1,...,tMp) est une famille libre deMn(R) Question 2Comment montrer qu"une familleUest liée i.e. n"estpas libre?Méthode 1
En montrant que la famille comporte le vecteur nul Si une famille comporte le vecteur nul alors c"est une famille liée, i.e. non libre.RAPPEL DE COURS
Si on parvient à identifier un vecteur nul alors on peut être assuré que toute famille contenant
ce vecteur est liée.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceSoitfune fonction continue et positive sur [0,1] telle que? 1 0 f(t)dt= 0. Montrer que (x?→x, x?→ex+ 1, f) est une famille liée. Corrigéfest continue et à valeurs positives sur [0,1].Comme,?
1 0 f(t)dt= 0, par théorème?t?[0,1],f(t) = 0 Donc (x?→x, x?→ex+ 1, f) est une famille liée Méthode 2SiUest une famille à 2 élémentsuetv, en montrant queuetvsontcolinéaires Lorsque la famille est de cardinal 2, il suffit de montrer que les vecteurs sont colinéaires pour justifier qu"elle est liée.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceJustifier que la famille ((1,2,3),(4,8,12)) est liée. Corrigé(4,8,12) = 4(1,2,3) donc la famille est liéeFamilles libres, génératrices et bases7
Méthode 3En montrant qu"un des vecteurs de la famille s"exprime comme combi-naison linéaire des autres
Une famille à deux éléments ou plus est liée si et seulement si un des vecteurs de la famille
peut s"exprimer comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.RAPPEL DE COURS
Si on parvient à exprimer un des vecteurs d"une famille comme combinaison linéaire des autres vecteurs de cette famille alors cette famille est liée.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceMontrer que la famille ((X,2X-5,5X-5)) est liée.CorrigéOn a : 5X-5 = 2X-5 + 3×X
Donc ((X,2X-5,5X-5)) est une famille liée deR[X]Méthode 4?En montrant que la famille comprend un nombre d"éléments stric-tement supérieur à la dimension de l"espace vectoriel auquel ils appar-tiennent
SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn?N?.
Soit (u1,u2,...,up) une famille d"éléments deE.RAPPEL DE COURS
Si la famille d"un espace vectorielEde dimension finie comprend un nombre d"éléments strictement supérieur à la dimension deE, alors on peut conclure que la famille est liée.POINT MÉTHODOLOGIQUE
Exercice?SoitA? Mn(R). Montrer que la famille (Ak)k??0,n2?est liée. Corrigé(Ak)k??0,n2?est une famille den2+ 1 vecteurs deMn(R). Comme dim(Mn(R)) =n2< n2+ 1, cette famille n"est pas libre, i.e. (Ak)k??0,n2?est une famille liée Question 3Comment montrer qu"une familleUest génératrice d"unespace vectoriel?Méthode 1
En utilisant la définition d"une famille génératriceSoitEunK-espace vectoriel.
Une famille (u1,u2,...,up) d"éléments deEest une famille génératrice deE?? ?x?E,?(λ1,...,λp)?Kp,x=p?
i=1λ iui SiE= vect(u1,u2,...,up), alors (u1,u2,...,up) est une famille génératrice deE.RAPPEL DE COURS
Familles libres, génératrices et bases8
Pour montrer queUest une famille génératrice deE, on prend unxquelconque dansEet on cherche à l"exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Si on a montré précédemment queEest égal à vect(U), on peut directement conclure queUest génératrice deE.
POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceSoitP1=X2+ 2X+ 1, P2=X2+X+ 1 etP3=X2+X.
(P1,P2,P3) est-elle une famille génératrice deR2[X]? CorrigéSoitP?R2[X].?!(a0,a1,a2)?R3, P=a0+a1X+a2X2 Supposons qu"il existe (α,β,γ)?R3tel que : P=αP1+βP2+γP3=α(X2+ 2X+ 1) +β(X2+X+ 1) +γ(X2+X) =αX2+ 2αX+α+βX2+βX+β+γX2+γX Par identification des coefficients, on a alors :?a0=α+β a1= 2α+β+γ
a2=α+β+γ???
β=a0-α
-a1+ 2α+β+γ+a2-α-β-γ= 0 a2-α-β-γ= 0
β=a0-α
α=a1-a2γ=a2-α-β???
β=a0-a1+a2α=a1-a2γ=-a0+a2
Ainsi,?(α,β,γ)?R3, P=αP1+βP2+γP3 D"où, (P1,P2,P3) est une famille génératrice deR2[X]. Méthode 2En utilisant le lien entre application surjective et famille génératriceRemarque
Cette méthode nécessite la connaissance du chapitre sur les applications linéaires. Si vous ne l"avez pas encore abordé, ne vous y attardez pas.SoientEetFdes espaces vectoriels. Soitf? L(E,F).
Soit (u1,u2,...,un) une famille génératrice deE. fsurjective?((f(u1),f(u2),...,f(un)) est génératrice deFRAPPEL DE COURS
On peut penser à utiliser la propriété ci-dessus lorsque l"on connaît une famille génératrice
et qu"on peut faire entrer en jeu une application surjective pour transformer cette famille en une autre famille génératrice.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceSoit (n,p)?(N?)2avecn≥p. Soit (P1,...,Pn) une famille génératrice deRp[X]. Montrer
que (P?1,...,P?n) est une famille génératrice deRp-1[X] CorrigéNotonsfl"application deRp[X] dansRp-1[X] qui àPassocief(P) =P?. fest linéaire par linéarité de la dérivation.SoitQ?Rp-1[X].
NotonsQ=p-1?
k=0a kXk. Posons alorsP=p? k=1a k-1 kXkOn af(P) =P?=p?
k=1a k-1 k×kXk-1=p? k=1a k-1Xk-1=p-1? k=0a kXk=QDoncQadmet un antécédent parf.
Familles libres, génératrices et bases9
Doncfest une application linéaire surjective.
Or (P1,...,Pn) une famille génératrice deRp[X]. Donc (f(P1),...,f(Pn)) une famille génératrice deRp-1[X]. Ainsi (P?1,...,P?n) est une famille génératrice deRp-1[X] Question 4Comment montrer qu"une familleUn"est pas généra-trice d"un espace vectorielE?Méthode 1
En trouvant un vecteur deEqui ne puisse pas être exprimé commecombinaison linéaire des vecteurs de cette famille
Il faut trouver un contre-exemple à la définition d"une famille génératrice, c"est-à-dire un
vecteur de l"espace vectoriel qui ne puisse être exprimé comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. La méthode du contre-exemple doit toujours être rapide, si on ne trouve pas le contre- exemple rapidement, il ne faut pas hésiter à sauter la question.POINT MÉTHODOLOGIQUE
Exercice((2,1),(6,3)) est-elle une famille génératrice deR2? CorrigéCherchons (α,β)?R2tel que (4,3) =α(2,1) +β(6,3)?4 = 2α+ 6β3 =α+ 3β=??α= 3-3β
4 = 6-6β+ 6β?α= 3-3β
4 = 6On a une contradiction.
(4,3) ne peut donc pas s"exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. D"où ((2,1),(6,3)) n"est pas une famille génératrice deR2Méthode 2?En montrant que la famille a un nombre d"éléments strictement infé-rieur à la dimension de l"espace vectoriel
SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn?N?.
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