Familles libres génératrices
http://math.univ-lille1.fr/~doeraene/svsem4/bases.pdf
Cours de mathématiques - Exo7
Le nombre de vecteurs dans une base s'appelle la dimension et nous verrons comment calculer la dimension des espaces et des sous-espaces. 1. Famille libre. 1.1.
Chapitre 4. Base et génératrice
générateur (ou une famille génératrice) de Rn si tout autre vecteur de Rn s'exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système. Comment répondre :.
MyPrepa
Si U est une famille à 1 élément et que cet élément est non nul alors U est libre. RAPPEL DE COURS. Familles libres
Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
I – Familles libres génératrices
1. Famille libre
un résultat du cours ou un contre-exemple : (1) Une famille de p ? n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n est génératrice.
3 Familles génératrices libres
http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours4.pdf
XXI Applications linéaires et familles de vecteurs
22 sept. 2021 le cours sur la décomposition en élément simple on obtient une famille génératrice de C(X) en regroupant les familles.
Espaces vectoriels
les vecteurs 1 = (11
Sommaire 1. Familles de vecteurs
?juj. Exemple : Dans [X] (Xn)n? est aussi une famille génératrice. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://
Chapitre 4 Base et génératrice - univ-angersfr
§5 famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel • Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur Et n’importe quel vecteur ~v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur On a D =h~vi • Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs Et
Familles libres génératrices bases
Une famille de vecteurs de Eforme une base de Esi elle est à la fois libre et génératrice Dé nition 9 Remarque Là encore une telle famille n'existe pas toujours mais on verra par la suite que c'est le cas sous de bonnes hypothèses sur l'espace vectoriel Exemple 4 La famille (e 1;e 2) avec e 1 = (1;0) et e 2 = (0;1) est une base de
Exo7 - Cours de mathématiques
FAMILLE GÉNÉRATRICE 5 2 Famille génératrice Soit E un espace vectoriel sur un corps K 2 1 Dé?nition Dé?nition 3 Soient v1 vp des vecteurs de E La famille fv1 vpgest une famille génératrice de l’espace vectoriel E si tout vecteur de E est une combinaison linéaire des vecteurs v1 vp Ce qui peut s’écrire aussi :
Familles libres génératrices bases - univ-lillefr
corps K est dite génératrice lorsque tout vecteur ~v ? V est combili de ses vec-teurs Par exemple la famille {(111)(123)} n’est pas génératrice de R3 car on a vu plus haut que (124) (entre autres) n’est pas combili de ces vecteurs Par contre {(111)(123)(124)} est génératrice car étant donné un vecteur 1
Chapitre IV Bases et dimension d’un espace vectoriel
Définition de famille génératrice On dit qu’une famille ? de est génératrice de si =???? (?) i e tout vecteur ? de est combinaison linéaire d’éléments de ? Définition de base Une famille ? de est une base de si et seulement si ? est libre et génératrice de 2 Bases et coordonnées
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Cette famille est bien génératrice de F (ii) Soit (e 1;:::;e n) une famille libre de E Il faut montrer que la famille (u(e 1);:::;u(e n)) est une famille libre de F Pour cela considérons une combinaison linéaire nulle de ces éléments : 0 F = 1u(e 1)+ + nu(e n) = u( 1e 1 + + ne n); toujours par linéarité de u Autrement dit 1e 1
Comment savoir si une famille est génératrice?
Si on retire à une famille génératrice un vecture qui est combili des autres vecteurs de cette famille, elle reste génératrice. Lemme 8 Une famille est liée si et seulement si elle contient un vecteur qui est combili des autres vecteurs de cette famille.
Quelle est la différence entre le nombre d’éléments de n’importe quelle famille libre et la famille génératrice?
On a ainsi montré que le nombre d’éléments de n’importe quelle famille libre est inférieur ou égal au nombre d’éléments de n’importe quelle famille génératrice. En particulier le nombre d’éléments de n’importe quelle famille libre est inférieur ou égal à n (qui est le nombre d’éléments d’une base, donc famille génératrice).
Comment calculer la génératrice d'un vecteur?
Par contre {(1,1,1),(1,2,3),(1,2,4)} est génératrice car étant donné un vecteur 1 quelconque(a,b,c) ? R3,onpeuttrouverdescoe?cient?,µ,? telsque(a,b,c) = ?(1,1,1)+µ(1,2,3)+?(1,2,4).
Quelle est la différence entre une base et un générateur?
Une base a exactement nvecteurs. Tout système libre se complète (facilement) en une base. De tout système générateur on peut constituer une base (avecou sans combinaison linéaires). Ainsi, dans R2, deux vecteurs quelconques non co-linéairesconstituent une base. Exemples.
1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Chapitre IV
vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteursDans ce chapitre ܧ
I Familles libres, génératrices, bases
1. Définitions
Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire - Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.Définition de famille génératrice
Définition de base
Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ
2. Bases et coordonnées
Démonstration :
2 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soit ݒԦܧא
3. Exemples
composantes ݔ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.
Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ forment une base du plan engendré par ces
deux vecteurs.3 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
- Թ défini par une équation vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲRemarque
vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le et pas 100 ! déterminé par ݊ͳ coefficients. - Une famille de 3 vecteurs de Թ (cf. cours)4. La ndimension finie
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : ܧ est de dimension finie si ܧ génératrice finie.4 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
5. Propriétés clés
Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.
Propriété 1 : Soit ࣠ une famille libre de ܧ. Alors la famille ࣠ᇱൌ࣠
et seulement si ݒԦܸב݁ܿ Propriété 2 : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ Alors ࣠ est liée si et seulement si il existe un vecteur ݒԦאgénératrice. Autrement dit, si et seulement si ݒԦא࣠ tel que ݒԦܸא݁ܿ
כSi ߣ non tous nuls. כ Si ߣ tel que ߣ5 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
ce qui est en fait un élément de ܸ݁ܿ6. Deux méthodes de construction de bases
Théorème d
espace vectoriel de dimension finie). Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 :Théorème de la base incomplète
Soit ܧ
famille génératrice de ܧ. Il faut compléter ࣠ en une base de ܧ de la propriété 1 :՜Si oui, on garde ࣠.
כ On recommence pour tous les autres vecteurs de ܩCe qui veut dire que ࣠ est libre et génératrice de ܧ, -à-dire est une base de ܧ
Exemple : Plan vectoriel. Cf. cours.
6 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
II algèbre de cette année !1. Définitions
Théorème fondamental : dimension et cardinal des basesSoit ܧ
Alors toutes les bases de ܧ
dimension de ܧ et se note ܧ. On a de plus ܧExemples :
- Les espaces vectoriels de dimension ͳ sont les droites vectorielles. Les espaces vectoriels de dimension ʹ sont les plans vectoriels, etc.Intuitivement, on peut dire que la dimension ܧ
dont dépend un vecteur de ܧ : ԹଷǡԹସ ou Թଵ.Lemme clé
Soit ܧ un espace vectoriel engendré par ݊ vecteurs. Alors toute famille libre de ܧ cardinal inférieur ou égal à ݊.Lemme clé ֜
Démonstration du lemme : On procède par récurrence sur ݊. va montrer que ݊ implique que ࣠ est liée.՜ Si ߣ
7 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
՜ Si ߣ
On regarde le cas ܧ engendré par ݊ vecteurs : ܧൌܸ݁ܿOn a donc ܧൌܧ
(S) ൝݊െͳ vecteurs. Comme ܽܿ
(i.e. toute famille libre de E est de cardinal inférieur ou égal à ݊െͳ).՜ Sinon, il existe au moins un ߣ ߣ
ఒభ. On jecte dans les lignes suivantes du système (S). On trouve que2. Conséquences importantes
Théorème
Soit ܧ
est une base de ܧii) Toute famille génératrice de ܧ a au moins ܧ éléments. Si une famille génératrice de ܧ
a exactement ܧ ܧCorollaire utile
࣠ de ܧ8 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Problème : montrer que ࣠ est génératrice. Soit ݒԦ un vecteur quelconque de ܧ. La famille ࣠ . On a donc, par la propriété clé 1, ݒԦܸא݁ܿ࣠ est donc génératrice (de tout ݒԦܧא). ࣠ étant génératrice de ܧ ܧ
Démonstration ii) : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ avec ܧ : ࣠ génératrice avec ܧ sinon on peut extraire une sous famille qui est une base de ܧPropriété de la croissance de la dimension
Soit ܧ un ev de dim finie et ܨ un sev de ܧ i) ܨ de dimension finie et ܨܧ ii) Si de plus ܨൌܧ alors ܨൌܧ - Il y a une in : les droites vectorielles. - Il y a une in : les plans vectoriels. - on 3 : Թଷ lui-même.Démonstration i) :
- Si ܨ automatiquement ܧ݊). Montrons que ܮ est une base de ܨ
Soit ݒԦܨא quelconque. On considère ܮᇱൌܮ3. Rang des systèmes de vecteurs
9 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
dimension de ܸ݁ܿ Attention de ne pas confondre le rang et le ! Le cardinal est une notion plus abstraite basée sur la dimension.Proposition :
Démonstration i) : ܸ݁ܿ
࣠ est donc une base de ܸ݁ܿ Problème : Donner le rang de ࣠ en fonction de ܽ - Si ܽ libre et à 3 éléments. - Si ܽ10 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
III utilité des notions abstraite
vectoriel, de base et de dimension1. Le problème
cherche une fonction ݂ aussi simple et régulière que possible dont le graphe passe par ces -à-dire telle queOn cherche une fonction interpolatrice ܲ
possible. Analyse : Le problème est linéaire par rapport à ܲSi on a ൝
et ൝ et אߣAlors ൝
11 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Synthèse : On pose
On a une solution du problème général en posant interpolateur de Lagrange. On a Théorème 1 : unique polynôme de degré inférieur ou égal àSoit ܧ
Démonstration du TH1 en utilisant le TH2 :
faut montrer que ܲ ge.Démonstration du TH2 :
libre.12 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soient ߣǡߣଵǡǥǡߣିଵ tels que ߣܲߣଵܲଵڮߣିଵܲ
Alors, ݔאԹǡߣߣଵݔڮߣ Ce qui montre que ߣൌߣଵൌڮൌߣOn a donc ܧ
On pose ܧൌᇱ. ܧ
Vérifions. On a pour tout ݊א
Un exemple célèbre : ܽൌܾൌͳ֜ Problème : On veut les formules explicites ֜ Idée : On cherche des suites solution sous la forme ݑൌݎ avec ݎא caractéristique. - Si ߂ - Si ߂ en exo).13 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème
tout ݊אԳ, on ait ݑൌߣଵݎଵߣ Conditions nécessaires : ൜ߣଵߣE est n espace vectoriel, il est donc stable par la loi +) avec ݓൌͲ et ݓଵൌͲ.
La preuve pour le cas ߂
On doit donc avoir ݑൌߣ
avec ൝On trouve ݑൌଵ
(est un entier !)Pour n assez grand, ݑ ଵ
On peut donner la croissance de la suite de Fibonacci. On a :՜ ». Elle représentait alors
une " proportion parfaite » (voir Wikipédia pour plus ).14 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
IV Supplémentaire, somme directe
1. Définitions
ܨܩ de deux sous espaces vectoriels de ܧ Définitions de somme directe et de supplémentaire1) On dit que deux sous espaces vectoriels ܨ et ܩ de ܧ
ݒԦൌݔԦݕԦ avec ݔԦܨאݕԦܩא2) Dans ce cas, on dit que ܩ est un supplémentaire de ܨ dans ܧ. On le note ܧൌܩْܨ
Premier exemple dans Թ:
Proposition : On a ܧൌ֞ܩْܨ൜ܧൌܨܩDémonstration :
(֜) : On suppose ܧൌܧ֜ܩْܨൌܨܩ. Soit ݒԦܩתܨא
Alors il existe forcément ݔԦܨאǡݕԦܩא décomposition ?2. Constructions et critères
Théorème
Tout sous espace vectoriel ܧ ܨ
supplémentaire dans ܧ F G15 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration :
Remarque importante sur la preuve
Cette démonstration montre comment fabriquer des supplémentaires : en complétant une base de ܧ ܨ. En particulier, tout sev ܨ de Թ possède un supplémentaire ܩparticulièrement simple : engendrés par certains vecteurs de la base canonique de Թ, i.e. du
type ܩൌܸ݁ܿPar exemple, tout plan ܲ
à la fois !
Théorème : critère de somme directe
Soit ܧ un espace vectoriel de dimension finie, ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧLemme : Soient ܨ et ܧ ܩ
F G16 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration du : Caractérisation de ܧൌܩْܨOn a ܧൌܩْܨ
Démonstration du lemme :
- 1er point à faire en exercice.Exemples :
- Dans Թଷ : une droite ܦ et un plan ܲ sont en somme directe ssi ܦתܲ sont supplémentaires dans Թସ.3. La formule de Grassmann
Pour conclure, on
17 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème de Grassmann :
Soient ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧ Illustration : Si ܨܩܧ alors ܩתܨExemples :
- Deux plans vectoriels de Թଷ se coupent toujours au moins suivant une droite : facile - Deux sous-espaces de dimension 3 dans Թସ contiennent au moins un plan : moins facile à voir !Démonstration géométrique :
Soit ܸ un supplémentaire de ܩתܨ dans ܩOn montre que ܨܩൌْܸܨ
- Soit ݒԦܸתܨא. Alors ݒԦܩתܨא car ܩؿܸOn a donc ܨܩൌْܸܨ
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