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XXI Applications linéaires et familles de vecteurs

30 août 2023

XXI - APPLICATIONS LINÉAIRES ET FAMILLES DE VECTEURSDans tout ce chapitre,K=RouC. L"important est queKsoit un corps, mais le programme se limite àK=RouC.

1 Applications linéaires.

SoientE1etE2deuxK-ev (K=RouC).

1.1 Définitions.Définition 1.1.1.

On appelleapplication linéaire(oumorphisme

d"espaces vectoriels) deE1dansE2toute applica- tion?:E1→E2vérifiant ?(x,y)?E21,?(λ,μ)?K2 ?(λx+μy) =λ?(x) +μ?(y).(1)

Autrement dit, l"image d"une combinaison li-

néaire est la combinaison linéaire des images : une application linéaire préserve les combinaisons linéaires.

L"ensemble des applications linéaires deE1

dansE2est notéL(E1,E2).

Une application linéaire deE1dans

E1est appeléendomorphisme. On note

L(E1,E1) =L(E1).

Une application linéaire bijective est ap-

peléeisomorphisme. L"ensemble des iso- morphismes deE1dansE2est noté

GL(E1,E2).

Unautomorphismeest un endomorphisme

qui est aussi un isomorphisme, on note

GL(E1) =GL(E1,E1)l"ensemble des au-

tomorphismes deE1, appelégroupe linéaire.

•Une application linéaire deE1dansKest

uneforme linéaire.

Remarque 1.1.2.

Une application linéaire?deE1dansE2est un

morphismede groupesde(E1,+)dans(E2,+), avec une propriété supplémentaire vis-à-vis de la loi externe.

Remarque 1.1.3.

La propriété fondamentale des applications

linéaires se généralise aux combinaisons li- néaires d"un nombre quelconque de vecteurs : si alorsf? n? k=1λ ixi? =n? k=1λ if(xi). De manière plus générale, pour toute famille (xi)i?Iet toute famille à support fini(λi)i?I, on a f?? i?Iλ ixi? i?Iλ if(xi)

Remarque 1.1.4(Très utile en pratique).

La propriété fondamentale des applications li- néaires (1) est équivalente à ?(x,y)?E21,?λ?K ?(λx+y) =λ?(x) +?(y)(2) ainsi qu"à ?(x,y)?E21,?(x+y) =?(x) +?(y) et?(λ,x)?K×E1,?(λx) =λ?(x). La démonstration est analogue à celle pour les sev.

Exemple 1.1.5.

Soitu?R3. Alors?:R3→R

v?→u·vest une forme linéaire (on dit que le produit scalaire est linéaire à droite).

SoitA?Mn,p(K). Alors?:

Mq,n(K)→Mq,p(K)

B?→BAest linéaire (on

dit que le produit matriciel est linéaire à gauche).

Exemple 1.1.6.

:R3→R3 (x,y,z)?→(3x+y,2z,x-y+z)est un endomorphisme.

Remarque 1.1.7.

Toute application polynomiale (en plusieurs va-

riables) faisant intervenir des termes de degrés différents de 1 n"est pas linéaire. 2 XXI - APPLICATIONS LINÉAIRES ET FAMILLES DE VECTEURS

Exemple 1.1.8.

?:R2→R (x,y)?→xyn"est pas une application linéaire, idem avecx2et3x+ 2y+ 2.

Exemple 1.1.9.

On note?N(R)l"ensemble des suites réelles conver- gentes, c"est un sev deRN, et l"application?: ?N(R)→R (un)?→limn→+∞unest une forme linéaire.

Exemple 1.1.10.

La dérivation, l"intégration sur un segment sont des opérations linéaires (en fonction de la fonction dérivée, de l"intégrande).

Exemple 1.1.11.

SoitE=F(R,R)eta?R.

L"applicationeva:E→R

f?→f(a)est une forme linéaire appeléeévaluation ena.

Remarque 1.1.12(Notations multiplicatives).

Dans le cas des endomorphismes, on notera sou-

ventuvpour signifieru◦v.

De même, on notera souvent

u k=u◦ ··· ◦u???? kfois, oùk?N, avec la conventionu0= IdE.Proposition 1.1.13.

Si??L(E1,E2), alors?(0E1) = 0E2.

Démonstration.

Comme pour les morphismes de groupes :?(0E1) =

?(0E1+ 0E1) =?(0E1) +?(0E1). Montrons enfin un théorème central, qui per- met de caractériser bon nombre d"applications linéaires.Théorème 1.1.14.

SoitE,FdeuxK-ev, soitE1,E2deux sev supplé-

mentaires deE(i.e.E=E1?E2).

Soitf1?L(E1,F)etf2?L(E2,F).

Alors, il existe une uniquef?L(E,F)telle

quef|E1=f1etf|E2=f2.Démonstration.

On raisonne par analyse-synthèse.

Analyse.

Soitf?L(E,F)telle quef|E1=f1etf|E2=

f2, soitx?E,x1?E1etx2?E2vérifiantx=x1+x2. Alors f(x) =f(x1) +f(x2) =f1(x1) +f2(x2).

Synthèse.

Soitx?E, soitx1?E1etx2?E2vérifiant

x=x1+x2. On posef(x) =f1(x1)+f2(x2). Tout d"abord, par définition et par linéarité def2, f(x1) =f(x1+ 0E) =f1(x1) +f2(0E) =f1(x1).

Ainsi,f|E1=f1. De même,f|E2=f2.

Vérifions donc la linéarité def. Soitx,y?E,x1,y1?E1 etx2,y2?E2vérifiantx=x1+x2ety=y1+y2. Soit

λ,μ?K. Alors

λx+μy=λx1+μy1????

?E1+λx2+μy2???? ?E2, donc par définition f(λx+μy) =f1(λx1+μy1) +f2(λx2+μy2).

Par linéarité def1et def2, on a donc

f(λx+μy) =λf1(x1) +μf1(y1) +λf2(x2) +μf2(y2) =λf(x) +μf(y).

Ainsi,fest linéaire.Exemple 1.1.15.

AvecE=F=R3, considérons le planPd"équa-

tionx+y+z= 0et la droiteD=Vect( (1 1 1) ). On montre aisément queR3=P?D.

On peut donc considérer l"endomorphismefde

Ecaractérisé par

-?u?P,f(u) =u; -?u?D,f(u) =-u.?

1.2 Opérations sur les applications

linéaires. Dans toute la suite,E1,E2etE3sont desK-ev.Théorème 1.2.1.1.L (E1,E2)est un sev de (F(E1,E2),+,·). 2.

Sif?L(E1,E2)etg?L(E2,E3), alors

g◦f?L(E1,E3). 3 XXI - APPLICATIONS LINÉAIRES ET FAMILLES DE VECTEURS 3.

Soit f?L(E1,E2). Alors les applications

?:?L(E2,E3)-→L(E1,E3) g?-→g◦f et

ψ:?L(E3,E1)-→L(E3,E2)

g?-→f◦g sont linéaires.

Démonstration.

Élémentaire.Remarque 1.2.2.Ces résultats montrent, avecE1=E2=E3, que (L(E1),+,◦)est un anneau.

En général, cet anneau n"est pas commuta-

tif.

Exemple 1.2.3.

On poseE1=C+∞(R,R): c"est un sev de

F(R,R)(le montrer). On note

?:E1→E1 f?→f?etψ:E1→E1 f?→?R→R x?→xf(x)

On constate alors queψ◦??=?◦ψ.

1.3 Noyau et image.Théorème 1.3.1.

Soit??L(E1,E2),Aun sev deE1etBun sev

deE2. 1.

L"image directe deApar?est un sev deE2.

2.L"image réciproque deBpar?est un sev de

E1.

Démonstration.1.

On a bien?(A)?E2ainsi que

0E2??(A), car?(0E1) = 0E2et0E1?A.

Soit(y1,y2)??(A)2, soitλ?Ket soit(x1,x2)?A2

vérifianty1=?(x1)ety2=?(x2). Alors, commeA est un sev deE1, on ax1+λx2?Aet donc, par linéarité de?, on ay1+λy2=?(x1) +λ?(x2) = ?(x1+λx2)??(A). Ainsi,?(A)est un sev deE2.2.

On a bien?-1(B)?E1ainsi que0E1??-1(B), car

?(0E1) = 0E2et0E2?B.

Soit(x1,x2)??-1(B)2,λ?K. Alors,?(x1)?B

et?(x2)?Bet, par linéarité de?,?(x1+λx2) = ?(x1) +λ?(x2)?B, carBest un sev deE2. Ainsi, x1+λx2??-1(B)et donc?-1(B)est un sev deE1.Définition 1.3.2.

Soit??L(E1,E2).

1.

On appellenoyaude?notéKer?, l"ensemble

{x?E1|?(x) = 0E2} 2.

On appelleimagede?et on noteIm?, l"en-

semble{?(x)|x?E1}.

Remarque 1.3.3.

Le théorème 1.3.1 assure ainsi queKer?etIm?

sont des sev.

Remarque 1.3.4.

Pour montrer qu"un ensemble est muni d"une

structure d"ev, on essaiera TOUJOURS de l"iden- tifier comme noyau ou image d"une application linéaire. Sinon, on essaiera de l"identifier directe- ment comme sev. d"un ev. de référence. Rappel : on ne revient JAMAIS à la définition générale d"un ev.Théorème 1.3.5.

Soit??L(E1,E2).

1.? est injective si et seulement siKer?={0}.

2.?est surjective si et seulement siIm?=E2.

Démonstration.1.Deux méthodes : refaire comme la démo analogue pour les morphismes de groupes, ou utiliser directement ce théorème : on choisit la deuxième méthode. Il suffit alors remarquer queKer? est le même que l"on adopte le point de vue "groupe» ou le point de vue "espace vectoriel». On peut aussi refaire la première méthode pour s"en- traîner.Remarque 1.3.6.

Les calculs de noyaux et d"images se ramènent

souvent à des résolutions de systèmes linéaires. 4 XXI - APPLICATIONS LINÉAIRES ET FAMILLES DE VECTEURS

Exemple 1.3.7.

DéterminerKer?etIm?, avec

???R

3-→R3(

(x y z) (x+ 2y+ 5z -y-z -x+y-2z)

Exemple 1.3.8.Soit?:RR→RR

f?→f×sin. On montre que?est linéaire, puis que?n"est pas injective, en trouvant une fonctionfnon nulle dansKer?. Par exemple f(x) = 0six?= 0etf(0) = 1.

On montre enfin queψ=?|C0(R)est injective, en

montrant que son noyau est réduit à{0}. On peut maintenant unifier les résultats sur les structures des solutions de nombreux problèmes linéaires étudiés auparavant (systèmes linéaires, équations différentielles linéaires).Proposition 1.3.9.

Soitf?L(E1,E2)eta?E2. Alorsf-1({a})est

soit vide, soit un sea deE1de directionKerf.

Remarque 1.3.10.

f -1 ({a})est l"ensemble des solutions de l"équa- tionsf(x) =a, avecx?E1.

Démonstration.

Reprendre chaque preuve effectuée lorsque l"on a rencontré ce type de structure de solution.Exemple 1.3.11. L"ensemble des suites réelles(un)ninNvérifiant pour toutn?N,un+2= 3un+1-2un-4est le sea de directionVect((2n)n?N,1)et passant par (4n)n?N.

Remarque 1.3.12.

On retrouve ainsi que l"ensemble des solutions

d"un système linéaire est soit vide soit un sea.

1.4 Isomorphismes.

Un isomorphisme transporte la structure d"ev,

comme pour les groupes.

Dire queE1etE2sont isomorphes ne

signifie pas que toute application linéaire deE1 dansE2est un isomorphisme. On peut donner un exemple :f:R2→R2,(x,y)?→(x,0).Théorème 1.4.1.

Soit??L(E1,E2).

1.

Si ?est un isomorphisme, alors?-1aussi.

2.

Une composée d"isomorphismes est un iso-

morphisme : si??GL(E1,E2)etψ?

GL(E2,E3), alorsψ◦??GL(E1,E3).

3. (GL(E1),◦)est un groupe appelégroupe linéaire(groupe des automorphismes).

Démonstration.1.

Soit(y1,y2)?E22, soitλ?Ket

?-1(y2). On a alors, par linéarité de?,?(x1+λx2) = ?(x1) +λ?(x2) =y1+λy2, donc?-1(y1+λy2) = ?-1(y1) +λ?-1(y2). Ainsi,?-1est linéaire. 2. On a déjà vu queψ◦?est bijective et linéaire : c"est fini ! 3.

Montrons que c"est un sous-groupe du groupe des

permutations deE1:(SE1,◦). L"application identité est bijective et linéaire, doncIdE1?GL(E1). Les deux résultats précédents montrent queGL(E1)est stable par passage à l"inverse et composition, ce qui permet de conclure.Remarque 1.4.2.

Notation : Sin?N?,GL(Kn)est notéGLn(K).

Exemple 1.4.3.

?:R2→R2 (x,y)?→(x-y,x+ 2y)?GL2(R)

On résout le système?(x,y) = (a,b), et cela

montre que?est bijective, et donne l"expression de?-1.

Remarque 1.4.4.

GL (E)ayant une structure de groupe, on utilise les notations multiplicatives usuelles. 5 XXI - APPLICATIONS LINÉAIRES ET FAMILLES DE VECTEURSNotamment, siuest un automorphisme deE et sik?N, on note u -k= (uk)-1= (u-1)k=u-1◦ ··· ◦u-1???? kfois.

2 Familles de vecteurs.

Dans cette partie, sauf mention expresse du

contraire,Idésigne un ensemble et(xi)i?Iune famille de vecteurs deEindexée par cet ensemble.Définition 2.0.1. Étant donné deux familles de vecteurs(xi)i?Iet (yj)j?J, on note(xi)i?I?(yj)j?Jleur concaténa- tion.

Remarque 2.0.2.

Ce n"est pas une notation officielle et nous ne dé- finirons pas formellement cette notion. On pourra aussi utiliser le symbole n? i=1 pour écrire la conca- ténation denfamilles de vecteurs deE.

Exemple 2.0.3.

(x1,x2,x3)?(y1,y2) = (x1,x2,x3,y1,y2).

2.1 Image du sous-espace vectoriel

engendré par une famille de vecteurs. On utilisera beaucoup le résultat suivant.Proposition 2.1.1.

SoitEetFdeux espaces vectoriels. Soit(xi)i?I

une famille de vecteurs d"un espace vectorielEet f:L(E,F). Alors l"image directe du sous-espace deEengendré par la famille(xi)i?Iest le sous- espace deFengendré par la famille(f(xi))i?I: f ?Vect?(xi)i?I??= Vect?(f(xi))i?I?

Démonstration.

PosonsV=Vect?(xi)i?I?.f(V)est un sous-espace vecto- riel deF. CommeVcontient tous lesxipouri?I,f(V) contient tous lesf(xi)pouri?I. Donc il contient le sous- espace engendré par lesf(xi):Vect?(f(xi))i?I??f(V). Réciproquement, soityun élément def(V).yest l"image d"un élémentxdeV. Alorsxest une combinaison linéaire? i?Iλixi(où la famille(λi)i?I)est à support fini), donc on a y=f(x) =f?? i?Iλ ixi? i?Iλ if(xi) ?Vect?(f(xi))i?I?

Doncf(V)?Vect?(f(xi))i?I?.Exemple 2.1.2.

Soit?:R3[X]→R2[X]

P?→P?-XP??. DonnerIm?.

2.2 Sev engendré par une famille finie.

Dans cette sous-partie, on s"intéressera exclu- sivement au cas oùI= [[1,n]]. La famille(xi)i?Iest donc len-uplet(x1,...,xn).Proposition 2.2.1. Vect (x1,...,xn) =Imψoùψest l"application linéaire deKndansE

ψ:Kn→E

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