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Dimensionnement

des structures

Antoine Legay

2016-2017

Cnam-Paris

Table des matières

I Poutre et torseur de cohésion• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1 I.1 Introduction au dimensionnement des structures1

I.1.1 Modéle mécanique2

I.2 Modèle de poutre3

I.3 Poutre dans son environnement5

I.4 Torseur de cohésion6

I.4.1 Définition6

I.4.2 Détermination7

I.4.3 Classification des sollicitations8

II Sollicitations simples sur les poutres• • • • • • • • • • • • • • • •9

II.1 Traction9

II.1.1 Torseur de cohésion9

II.1.2 Contrainte normale10

II.1.3 Allongement, déformation et déplacement10

II.1.4 Relation contrainte-déformation12

II.1.5 Relation entre effort normal et chargement12

II.2 Torsion13

II.2.1 Torseur de cohésion13

II.2.2 Moment quadratique polaire de section14

II.2.3 Contrainte tangentielle14

II.2.4 Déformation et rotation des sections15

II.2.5 Relation contrainte-déformation16

II.2.6 Relation entre moment de torsion et chargement16

II.3 Flexion17

II.3.1 Torseur de cohésion17

II.3.2 Moment quadratique de section18

ii

II.3.3 Contrainte normale18

II.3.4 Déformation21

II.3.5 Déplacement21

II.3.6 Relation contrainte-déformation21

II.3.7 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement22

III Calcul de treillis• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •25

III.1 Hypothèses et critère de dimensionnement25

III.1.1 Hypothèses sur les liaisons25

III.1.2 Règles de construction d"un treillis26

III.1.3 Critère de dimensionnement28

III.2 Méthode des noeuds28

III.3 Flambage des poutres droites28

III.3.1 Introduction28

III.3.2 Charge critique de flambage d"une poutre droite29

III.3.3 Élancement et rayon de giration31

III.3.4 Critère de dimensionnement32

III.3.5 Autres conditions aux limites33

IV Contraintes et déformations• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •35

IV.1 Introduction35

IV.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimensionnelles36 IV.2.1 Opérateur des contraintes et des déformations38

IV.2.2 Théorème de superposition39

IV.3 Problème plan39

IV.3.1 Hypothèses39

IV.3.2 Etat de contraintes planes40

IV.3.3 Expressions des contraintes subies par un carré non aligné avecxety41 IV.3.4 Expressions des déformations d"un carré non aligné avecxety43 IV.3.5 Relation entre les contraintes et les déformations d"un carré non aligné avecxety44

IV.3.6 Directions principales44

IV.3.7 Cercle de Mohr des contraintes45

V Critères de dimensionnement• • • • • • • • • • • • • • • • • • •49

V.1 Objectifs49

V.2 Matériaux ductiles : critère de Tresca49 V.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises51 V.4 Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises52

V.5 Fatigue des matériaux52

VI Enveloppes minces• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •55

VI.1 Action d"un fluide au repos sur un solide55

VI.2 Application à un réservoir cylindrique56

VII Initiation au calcul éléments finis• • • • • • • • • • • • • • • • •59

VII.1 Étude de l"élément de barre59

VII.1.1 Équilibre de l"élément barre59

VII.1.2 Exemple d"application60

VII.1.3 Remarques sur la méthode des éléments finis61 iii

VII.2 Étude de deux barres61

VII.2.1 Assemblage des matrices de rigidité élémentaires61

VII.2.2 Mise en oeuvre pratique63

VII.3 Élément barre pour le calcul des treillis64 VII.4 Élément de poutre pour le calcul des portiques65

VIII Moyens expérimentaux• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •67

VIII.1 Jauges de déformation67

VIII.1.1 Principe67

VIII.1.2 Pont de Wheatstone68

VIII.1.3 Utilisation du boîtier70

VIII.1.4 Différents montages71

VIII.1.5 Capteurs à jauges72

VIII.1.6 Exploitation d"une rosette de 3 jauges à 45o73

VIII.2 Photoélasticité74

VIII.2.1 Principes74

VIII.2.2 Mise en équation77

VIII.2.3 Réseaux de courbes caractéristiques79

I — Poutre et torseur de cohésion

I.1Introduction au dimensionnement des structuresDimensionnement des structuresUne structure est un assemblage intelligent d"éléments et de matériaux afin d"assurer une

fonction. La figure I.1 montre par exemple la structure en balsa d"un avion d"aéromodélisme permettant d"assurer la forme de la voilure portante, ainsique la structure d"un pylône électrique qui permet de maintenir les lignes électriques àune certaine hauteur. Le but du dimensionnement est de déterminer les formes, dimensions, matériaux afin de satisfaire la fonction demandée dans toutes les conditionsde vie de la structure. Par exemple

la structure en balsa de l"avion d"aéromodélisme doit résister aux efforts aérodynamiques

Figure I.1- Exemples de structures : structure en balsa d"un avion d"aéromodélisme, pylône

électrique

2Poutre et torseur de cohésion

Figure I.2- Problème réel : dimensionnement des pieds d"une table.

en vol, la structure du pylône électrique doit résister à desvents forts et des surcharges de

neige et de verglas. Deux principales méthodes existent pour dimensionner une structure : - Méthode non prédictive"essai-erreur" : on construitun prototyperéel (ou une maquette

à échelle réduite), puis on le teste en condition réelle; cette méthode a l"avantage de

ne faire appel à aucune connaissance a priori de la mécaniquemais est coûteuse.

- Méthode prédictive : on fait un modèle mécanique "virtuel"basé sur des équations ma-

thématiques, puis on le teste; cette méthode est moins coûteuse, mais a l"inconvénient de faire appel à des connaissances de mécanique et de mathématiques.

C"est cette deuxième méthode qui est développée dans ce cours. On se limite au dimension-

nement des structures en statique et en élasticité linéaire.

Problème réel

Le problème réel fait intervenir (Fig. I.2) : - Une structure, comprenant des incertitudes sur sa géométrie et son matériau; - Des liaisons avec l"extérieur, souvent assez mal maîtrisées; - Des efforts appliqués, parfois assez complexes.

Lors de la phase de conception, la solution réelle de ce problème n"est pas accessible (dépla-

cements, contraintes, ...). Une fois la structure fabriquée et placée dans son environnement, la solution est partiellement accessible par des mesures (jauges de déformation, photoélas- ticité,... ).

I.1.1Modéle mécaniqueAfin de trouver une solution approchée du problème réel, on utilise un modèle mathématique

du problème réel. Les modèles généralement utilisés en mécanique sont : - le modèle de poutre, - le modèle de plaque,

I.2 Modèle de poutre3

a) poutre b) coque c) tridimensionnel1 variable

2 variables 3 variables

Figure I.3- Trois modèles du pied de table.

- le modèle de coque, - le modèle plan en contraintes planes, - le modèle plan en déformations planes, - le modèle axisymétrique, - le modèle tri-dimensionnel. Pour l"exemple précédent d"un pied de table, on peut par exemple choisir : - Le modèle de poutre (Fig. I.3 a) : - hypothèse cinématique de poutre - 1 variable le long de l"axe de la poutre décrit le problème - encastrement de type poutre - torseurs d"efforts équivalents - Le modèle de coque (Fig. I.3 b) : - hypothèse cinématique de coque - 2 variables sur la surface moyenne de la coque décrivent le problème - encastrement de type coque - torseurs d"efforts équivalents distribués - Le modèle tri-dimensionnel (Fig. I.3 c) : - encastrement tri-dimensionnel - 3 variables dans les 3 directions de l"espace décrivent le problème - forces surfaciques distribuées

Pour les trois modèles proposés, l"encastrement est modélisé de façon parfaite alors que la

liaison réelle est réalisée par une pièce intermédiaire souple. Ces modèles ne permettent pas

de dimensionner cette pièce intermédiaire. C"est au concepteur de choisir le modèle le plus adapté par rapport aux critères de dimensionnement qu"il pense être les plus judicieux.

I.2Modèle de poutreHypothèses géométriquesLa figure I.4 montre un assemblage de poutres permettant de construire une charpente

métallique. Une poutre est un solide dont une dimension est plus grande que les 2 autres.

4Poutre et torseur de cohésion

Figure I.4- Charpente constituée d"un assemblage de poutres

MOΣ

OΣ-→

sΩ 1 1Ω 2 Figure I.5- Modèle de poutre et coupure fictive en deux parties. D"un point de vue plus géométrique, une poutre Ω est un solideengendré par une surface

plane Σ appeléesection droiteconstante ou légèrement variable dont le plan reste orthogonal

à une courbe Γ de grand rayon appeléeligne moyennedécrite par le centre de surfaceOΣ de la section droite Σ (Fig. I.5). La plus grande dimension transversale est petite devant la longueur de la fibre moyenne (rapport de 5 à 10 au moins). Dans le cadre de ce cours, on ne s"intéresse qu"aux poutres droites, c"est à dire celles dont la ligne moyenne est une droite. De plus, dans la majorité des cas, on ne prend que des sections constantes.

Hypothèses sur le matériau

On suppose que le matériau est :

- homogène : les propriétés sont les mêmes en tout point, - isotrope : les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions, ce qui n"est pas le cas d"un matériau composite, - continu : le matériau ne contient pas d"aspérités, il y a continuité de la matière. Hypothèses sur les déformations et les déplacements On suppose que les déformations sont petites et restent dansle domaine élastique. De plus le déplacement est aussi considéré petit devant la taille dela poutre, cela permet de faire

I.3 Poutre dans son environnement5

≈F σF 2F2

Figure I.6- Principe de Saint-Venant.

Figure I.7- Hypothèse de Bernoulli.

tous les calculs sur la configuration initiale et non déformée de la poutre.

Hypothèses sur le chargement

Le chargementest appliqué progressivement,on néglige leseffets d"inertie et on ne s"intéresse

qu"à la configuration finale statique.

Principe de Saint-Venant

Les contraintes et les déformations dans une région éloignée du point d"application des

efforts ne dépendent que du torseur des efforts de cohésion au point considéré (Fig. I.6).

Autrement dit, la façon dont on applique le chargement n"a pas d"influence loin de l"application de la charge.

Hypothèse de Bernoulli

Une section de la poutre initialement plane et perpendiculaire à la ligne moyenne reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après déformation (Fig. I.7).

I.3Poutre dans son environnementLa poutre dans son environnement subit des actions mécaniques extérieures (Fig. I.8). Ces

actions sont partagées en deux groupes : actions des liaisons et actions des efforts extérieurs.

- La poutre est en liaison avec l"extérieur aux pointsAi: -→y A

1-→

x B

1B2AnBm

Figure I.8- Poutre dans son environnement.

6Poutre et torseur de cohésion

- torseurs des actions mécaniques notés? L Ai? →ces actions sont inconnues - Les efforts extérieurs sont appliqués aux pointsBi - torseurs des actions mécaniques notés? Bi? →ces actions sont connues

Dans le plan (

-→x ,-→y), les liaisons classiquement rencontrées sont : - encastrement : -→x-→ y A? L? =???????F xMx F y 0 0

Mz???????

A - articulation : -→x-→yA? L? =???????F xMx F y 0 0

0???????

A - appui simple : -→x-→yA? L? =???????0Mx F y 0 0

0???????

A La poutre est en équilibre sous l"action des efforts cités ci-dessus. Le principe fondamental de la statique s"écrit i=nb. liaisons? i=1? L Ai? +i=nb. efforts? i=1? Bi? 0? ou plus simplement avec les notations de ce cours L? 0? La poutre est en équilibre isostatique si toutes les inconnues de liaisons peuvent être

déterminées en écrivant l"équilibre de la poutre. La poutreest en équilibre hyperstatique si

certaines inconnues de liaisons ne peuvent pas être déterminées en écrivant l"équilibre de la

poutre : le nombre d"inconnues non déterminées donne le degré d"hyperstatisme. Enfin, si il y a plus d"équations que d"inconnues de liaisons, la poutre est mobile : le nombre d"équations supplémentaires par rapport au nombre d"inconnues de liaisons est le degré de mobilité.

I.4Torseur de cohésion

I.4.1DéfinitionUne poutre Ω est coupée en deux parties par une section fictiveΣ de centre de section

O

Σ(Fig. I.5). Le torseur de cohésion est le torseur des actionsmécaniques de Ω2sur Ω1à

travers la surface Σ exprimé enOΣ.

L"action surfacique de Ω

2sur Ω1à travers la surface Σ est une force surfacique appelée

"vecteur contrainte" pour la direction normale

-→nà Σ; cette action surfacique est notée-→T(M,-→n) (Fig. I.9). Le torseur de cohésion est la somme sur la surface Σ de-→T(M,-→n) où

-→nest le vecteur tangent à l"axe de la poutre enOΣ.

I.4 Torseur de cohésion7

Ω1 O

T(M,-→n)-→

nOΣ

Figure I.9- Vecteur contrainte.

La résultante vaut :

-→s=??

Σ-→T(M,-→n)dΣ.

Le moment au pointOΣde Σ vaut :

M

OΣ=??

Σ---→O

ΣM?-→T(M,-→n)dΣ.

Finalement le torseur de cohésion enOΣvaut : K

OΣ?

-→s-→MOΣ? O

I.4.2DéterminationLa détermination du torseur de cohésion se fait en écrivant l"équilibre de Ω1ou de Ω2. On

utilise les notations suivantes : ?L?: torseur des actions mécaniques inconnues sur la poutre Ω provenant des liaisons, ?Δ?: torseur des actions mécaniques connues sur la poutre Ω, ?L →1?: torseur des actions mécaniques inconnues sur la partie Ω1, ?Δ→1?: torseur des actions mécaniques connues sur la partie Ω1, ?L →2?: torseur des actions mécaniques inconnues sur la partie Ω2, ?Δ→2?: torseur des actions mécaniques connues sur la partie Ω2, ?2→1?=?KOΣ?: torseur des actions mécaniques de Ω2sur Ω1, c"est à dire le torseur de cohésion.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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