[PDF] Devoir Maison n°3 Exercice 1 On admet que pour tout

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ECE 2 - Année 2021-2022

ENC Bessières

Mathématiques - F. Gaunard

http://frederic.gaunard.comDevoir Maison n°3

À rendre le 30/10 par e-mailCe devoir (facultatif et individuel) est à faire lors de la première semaine de vacances d"Automne. On

enverra sa production en un seul fichier au format .pdf, avec pages numérotées (dans l"ordre!) et dans

le bon sens.

Exercice 1

On rappelle que deux matricesAetBdeM3(R)sont dites semblables lorsqu"il existe une matriceP deM3(R)inversible telle queB=P1AP.

L"objectif de cet exercice est d"étudier des exemples de matrices inversibles qui sont semblables à leur

inverse. Les trois parties de cet exercice sont indépendantes entre elles.

Partie A : Premier exemple

On considère l"endomorphisme'deR3dont la matrice dans la base canonique est la matrice A=0 @11 1

0 1=2 0

0 0 21

A (1)

Justifier que 'est un automorphisme.

(2) Déterminer trois v ecteursu;vetwdeM3;1(R)tels que

Ker(AI) = Vect(u);Ker

A12 I = Vect(v);etKer(A2I) = Vect(w): (3) Vérifier que la famille B0= (v;u;w)forme une base deM3;1(R)et préciser la matriceDde' dans cette base. (4) En déduire u nematrice P, inversible, telles queA=PDP1. Expliciter la matriceD1. (5)

On note Q=0

@0 0 1 0 1 0

1 0 01

A . CalculerQ2etQDQ. (6) En déduire que les matrices AetA1sont semblables.

Partie B : Deuxième exemple

On considèrefl"endomorphisme deR3défini par :

8(x;y;z)2R3; f(x;y;z) = (x;z;y+ 2z):

2Pour le 30/10On noteMla matrice defdans la base canonique deR3.

On considère également les vecteursu1etu2deR3définis par :u1= (1;0;0)etu2= (0;1;1). (7) Expliciter la matrice Met montrer queMest inversible. (8) (a)

Mo ntrerque (u1;u2)forme une base deKer(fid).

(b) Déterminer un v ecteuru3deR3tel que :f(u3)u3=u2. (c) Mon trerque la famille B1= (u1;u2;u3)est une base deR3. On admet queB2= (u1;u2;u3)est également une base deR3. (9) (a) Écrire la matrice M1defdans la baseB1et la matriceM2defdans la baseB2. (b) Justifier que les matrices M1etM2sont semblables, et calculerM1M2. (10) En déduire que les matrices MetM1sont semblables.

Partie C : Troisième exemple

On considère la matriceTdeM3(R)définie par : T=0 @11 1 0 11

0 0 11

A et on poseN=TI3. (11)

Justifier que la mat riceTest inversible.

(12) (a)

Ca lculerN3et(I3+N)(I3N+N2).

(b) En déduire une expression de T1en fonction deI3;NetN2. (13) On note gl"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique estN. (a) Justifier qu"il existe un v ecteurudeR3tel quegg(u)6= 0etggg(u) = 0. (b) Mon trerque la famille B3= (gg(u);g(u);u)est une base deR3. (c)

Écrire la matrice d egdans la baseB3.

(d) Calculer N2Net en déduire que les matricesNetN2Nsont semblables. (14)

Mon trerque les matrices TetT1sont semblables.

Exercice 2

Le but de cet exercice est d"étudier, pourn2N, les solutions positives de l"équation (En)ex=xn: Pour ce faire, on introduit la fonctionfn:x7!1xnex. Partie I : Étude des solutions positives de(E1)et(E2) (1) Étudier et représen tergraphiquemen tles fonctions f1etf2sur[0;+1[. (2) Conclure quan tà l"existence de solutions p ositivesp our(E1)et(E2). Devoir Maison n°33Partie II : Études des solutions positives de(E3) (3) Étudier et représen ters ur[0;+1[la fonctionf3. On donne, pour guider l"étude, le résultat d"affichageSciLabdes instructions suivantes for k 1 5 disp exp k)) end

2.7182818

7.3890561

20.085537

54.598150

148.41316

(4) En déduire que l"équation (E3)admet deux solutions positivesuetvvérifiant1< u < v. En- cadrerupuisvpar deux entiers consécutifs. (5) On in troduitla suite (yn)définie par son premier termey0> uet la relationyn+1= 3ln(yn). (a) (i) Mon trerque si y02]u;v], alors pour toutn2N,yn2]u;v]. (ii)

Mon trerque si y0v, alors pour toutn2N,ynv.

(iii) Étudier le s ignede yn+1ynen fonction du signe deynyn1. (b)

Déduire des questions précéden tesle sens de v ariationsde la suite (yn)en fonction d"où se

trouve son premier terme. (c)

Étudier la con vergencede (yn).

(d)

On c hoisitalors y0= 4.

(i)

Établir que, p ourtout n2N, on a0vyn+134

(vyn). (ii)

En déduire q ue,p ourtout n2N, on a

0vyn34

n (iii) Écrire un programme SciLabqui permette de fournir une valeur approchée devà 10

4près.

Partie III : Étude des solutions positives de(En)pourn3 (6) Étudier la fonction fnsur[0;+1[. En déduire que(En)admet deux solutions positives notées u netvnet vérifiant1< un< vn. (7) Déterminer, p ourn4, le signe defn(un1). En déduire le sens de variations de la suite(un) puis prouver la convergence de celle-ci vers une certaine limite`. (8) Mon trerque un= exp(un=n). En déduire la valeur de`. En déduire également un équivalent simple deun`lorsquen!+1. (9) Déterminer, p ourn4, le signe defn1(vn). En déduire le sens de variations de(vn).

4Pour le 30/10(10)Établir q uela fonction g:x7!xln(x)réalise dune bijection de[1;+1[sur un intervalle à

déterminer. Vérifier queg(vn=n) = ln(n)puis conclure quant à la limite de(vn)et proposer un

équivalent devnlorsquen!+1.

Exercice 3

Partie 1 : Étude préliminaire

Onadmetque, pour toutk2Net pour toutx2[0;1[, la sérieP n>k n kxnest convergente et on notesk(x)sa somme : s k(x) =+1X n=k n k x n: (1)

Vérifier, p ourto utréel xde[0;1[:

s

0(x) =11xets1(x) =x(1x)2

(2) P ourtout couple d "entiersnaturels (n;k)tels quen > k,montrer:n+ 1 k+ 1 =n k +n k+ 1 (3) P ourtout en tiernaturel ket pour tout réelxde[0;1[, déduire de la question précédente : s k+1(x) =xsk(x) +xsk+1(x) (4)

Mon trerpar récurrence :

8k2N;8x2[0;1[; sk(x) =xk(1x)k+1

Partie 2 : Étude d"une expérience aléatoire

On considère une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On effectue l"expérience

aléatoire suivante :

On commence par tirer des boules de l"urne une à une avec remise jusqu"à obtenir la boule noire

(que l"on remet aussi dans l"urne ). On définit la variable aléatoireNégale au nombre de tirages

avec remise nécessaires pour obtenir la boule noire.

Puis, siNprend une valeur entière positive non nulle notéen, on réalise alors une seconde série

dentirages dans l"urne, toujours avec remise.

On définit la variable aléatoireXégale au nombre de fois où la boule noire a été obtenue dans

cette seconde série de tirages. (1) Déterminer la loi de la v ariablealéatoire N. Donner son espérance. (2)SciLab (a) Recopier et compléter la fonction SciLabsuivante afin qu"elle renvoie une simulation de la variableX. function res X N res endfunction (b) Obtenir une estimation de P(X= 0). Expliquer la méthode. (On joindra les figures.) Devoir Maison n°35(3)Soit n2N. Justifier que :P[N=n](X= 0) =45 n. (4)

En déduire, en utilisan tun système complet d"év ènementsasso ciéà la v ariableN, vérifier que

P(X= 0) =49

(5) Soien tk2Netn2N. Déterminer la probabilité conditionnelleP[N=n](X=k).

On distinguera les cask2J0;nKetk > n.

(6) En déduire, en utilisan tégalemen tl"étude p réliminaire,que :

8k2N; P(X=k) =2536

49
k (7) Mon trerque Xadmet une espéranceE(X)et calculerE(X). (8)

Mon trerque

8k2N; P(X6k) = 159

49
k

Bonus - Exercice 4

Dans tout l"exercice,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2. (1) (a) Étudier, suiv antla parité de n, le tableau de variations de la fonctionfndéfinie surRpar f n(x) =xn+1+xn: (b)

Mon trerque dans tous les cas

f n nn+ 1 <2: (c) Calculer fn(1)et en déduire, suivant la parité den, le nombre de solutions de l"équation d"inconnuex x n+1+xn= 2: (2)

On considère la ma triceAdéfinie par

A=1 1 1 1 etD=0 0 0 2 (a) (*) Justifier que Aest diagonalisable. (b) Déterminer une matrice Pinversible (dont la première ligne est composée de1) telle que

A=PDP1:

+Indication. On pourra poserP=1 1 x y et déterminerxetyde sorte queAP=PD (et vérifier que la matrice obtenue est bien inversible), ou on pourra interpréterPcomme une matrice de passage vers une base(u;v)dont les vecteursuetvseront dans certainsquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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