[PDF] Calcul stochastique appliqu´e `a la finance

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Calcul stochastique appliqu´e `a la

finance

UE MF Math 31

R´esum´e de cours

Universit

´e de Lille

Sciences et Technologies

Ann

´ee 2015-2016

Mylene.Maida@math.univ-lille1.fr

Pr´eambule

Comme son titre l"indique, ce document ne constitue pas un polycopi

´e de cours qui se suffit`a

lui-m

ˆeme mais unr´esum´e de cours. Ainsi, il contient les d´efinitions de tous les objets qui ont´et´e

introduits dans le cours mais pas tous les exemples qui ont ´et´e d´evelopp´es pendant les s´eances; il contient un ensemble de th ´eor`emes et propositions qui ont´et´e vus (en cours ou en TD) mais pas leur d ´emonstration. Il constitue pour vous un bilan de ce qu"il faut savoir`a l"issue de ce cours. Pour le partiel comme pour l"examen, vous aurez le droit de consulter librement votre exemplairenon

annot´ede ce document`a l"exclusion de tout autre document. A l"exception des´enonc´es ou paragraphes

pr

´ec´ed´es de la mention(Admis), je consid`ere que vous devez savoir d´emontrer l"ensemble des r´esultats

de ce document, ou refaire les calculs menant aux formules indiqu

´ees.

Villeneuve d"Ascq, septembre-d

´ecembre 2015.

Chapitre 1. Court rappel sur les mod`eles financiers `a temps continu

On veut mod

´eliser, sur la dur´ee[0,T], les cours des actions, devises et autres actifs financiers par des

processus de prix qui d

´ependent du hasard et du temps.

1.1. Hypoth`eses sur le march´e financier

Sauf mention contraire, nous consid

`ererons toujours que les hypoth`eses suivantes sont v´erifi´ees : le march´e est liquide, on peut vendre ou acheter`a tout instant les actifs sont divisibles`a l"infini, on peut acheter ou vendre`a d´ecouvert le mod`ele n"inclut pas les coˆuts de transaction l"effet de nos interventions est n´egligeable`a l"´echelle du march´e.

1.2. Mod`ele de march´e financier

Le march

´e financier se mod´elise par un quintuplet(W,F,(Ft)t2[0,T],P,S)o`u :

West unensemble(en g´en´eral infini non d´enombrable), qui code "toutes les histoires du monde

possibles" sur la dur

´ee[0,T], muni d"unetribuF,

pour toutt2[0,T],Ftest unetribu, qui contient toutes les informations disponibles`a l"instantt; la famille(Ft)t2[0,T]est unefiltration, c"est-`a-dire que, pour tous 0stT,Fs Ft F,

Pest uneprobabilit´esur(W,FT), appel´eeprobabilit´e historique(elle est en g´en´eral inconnue),

NB : on supposera toujours les filtrations compl

`etes pour la probabilit´e historique Sest unprocessus stochastique mesurable adapt´esur(W,F,(Ft)t2[0,T]), appel´eprocessus de prix,que l"on d´etaille ci-dessous.

1.3. Processus des prix

On distingue un actif particulier, appel

´eactif sans risqueet not´eS0, qui est d´eterministe. Dans ce cours, on supposera en g

´en´eral que le taux d"int´erˆet par unit´e de temps, not´er, est constant. On a alors

S

0t=ert,8t2[0,T].

Pourientier entre 1 etd, le prix (qui, sauf mention contraire, sera exprim´e en euros) de l"actifi(ou

spot) est un processus S i:W[0,T]!R (w,t)7!Si(w,t):=Sit(w), que l"on suppose mesurable sur(W[0,T],F B([0,T]))et adapt´e`a la filtration(Ft)t2[0,T]. Leprix actualis´ede l"actifi`a l"instanttest donn´e pareSit:=SitS

0t, soit, quand le taux d"int´erˆetrest

constant, eSit:=ertSit.

Le march

´e comporte un nombre finidd"actifs, on noteSt:= (S0t,S1t,...,Sdt)0eteSt:= 1, S1tS

0t,...,SdtS

0t 0 respectivement le vecteur des prix et le vecteur des prix actualis

´es`a l"instantt, de sorte queSeteSsont

des processus mesurables adapt

´es`a valeurs dansRd+1.

Lerendementde l"actifisur la dur´ee[s,t][0,T]est donn´e par ln SitS is . Lavolatilit´e historiquede l"actifisur la dur´ee[s,t][0,T]est l"´ecart-type de son rendement, c"est-`a-dire s [s,t]=v uutV ln SitS is!! o `uVest la variance sousP. NB : nous verrons plus loin d"autres notions de volatilit

´e.

1.4. Strat´egie et portefeuille

Unestrat´egie de gestionest encore un processus adapt´e

F:W[0,T]!Rd+1

(w,t)7!Ft(w).

Le caract

`ere adapt´e de la strat´egie de gestion exprime le fait que l"on interdit le d´elit d"init´e.

A l"instantt, notre portefeuille est constitu´e d"une quantit´eF0td"actif sans rique, d"une quantit´eF1td"actif 1 etc.

Sa valeur

`a l"instantt(Mark to Market) estVt=FtStet sa valeur actualis´ee esteVt=FteSt.

On parle destrat´egie autofinanc´ees"il n"y a ni entr´ee ni sortie d"argent, c"est-`a-dire si la valeur du

portefeuille ne varie qu" `a cause des variations de cours des actifs qui le composent.

On parle destrat´egie admissiblesi la valeur du portefeuille est toujours positive (+ une condition

technique que nous verrons plus tard).

On parle destrat´egie d"arbitragesiV0est nulle etVTa une probabilit´e non nulle d"ˆetre strictement

positive.

S"il n"existe pas de strat

´egie d"arbitrage sur le march´e(W,F,(Ft)t2[0,T],P,S), on dit que ce march´e estviable.On fera toujours par la suite cette hypoth`ese que l"on appelleabsence d"opportunit´e d"arbitrage (AOA).

Unactif conditionnelest un couple(h,T), o`uTest un temps, appel´e´ech´eanceoumaturityethest une

variable al

´eatoireFT-mesurable, appel´eepayoff.

Exemple : call europ

´een, put europ´een, etc.

Un actif conditionnel(h,T)est ditr´eplicable(ou simulable, ou atteignable), s"il existe une strat´egie

admissibleFtelle que la valeur finaleVTdu portefeuille soit´egale`ah. On dit alors queVouFsimule h, queFest unestrat´egie de couverturedehet queVest unportefeuille de couverturedeh.

Si tous les actifs conditionnels sont r

´eplicables, on dit que le march´e estcomplet.

1.5. Cons´equences de l"hypoth`ese d"AOA

Si l"hypoth

`ese d"AOA est v´erifi´ee, alors : il y a unicit´e de l"actif sans risque (le tauxrest bien d´efini) il y a unicit´e des prix

(Admis) il existe une probabilit´eP, appel´eeprobabilit´e martingaleouprobabilit´e risque neutre,

equivalente`a la probabilit´e historiquePsous laquelle les prix actualis´es des actifs sont des mar-

tingales

NB : de plus, si le march

´e est complet, alorsPest unique.

larelation de parit´e call-putest v´erifi´ee : C t+S0tS

0TK=Pt+St,

avecCt,PtetStles valeurs respectives`a l"instanttdu call, du put et du spot de l"actif sous-jacent. 2 Chapitre 2. Les propri´et´es du mouvement brownien

2.1. Mouvement brownien et mouvement brownien g´eom´etrique

2.1.1. D´efinition du mouvement brownien

Le processusB= (Bt)t2[0,T]est unmouvement browniensur(W,F,P)si et seulement si

1.Best issu de 0, c"est-`a-dire queB0=0P-presque sˆurement (p.s.)

2.Best`a trajectoires continues

3.Best`a accroissement ind´ependants, c"est-`a-dire que pour tous 0=t0 de variables al ´eatoires(BtnBtn1,...,Bt1Bt0)est ind´ependante 4. pour tous 0 s´eris´ee par safonction de covariance.

Proposition 1B est un mouvement brownien si et seulement si B est un processus gaussien centr´e `a trajectoires

continues de fonction de covariance cov(Bs,Bt) =min(s,t).

2.1.2. Le mouvement brownien g´eom´etrique

Unmouvement brownien g´eom´etriquede param`etres(m,s)est un processusS= (St)t2[0,T]tel que pour toutt2[0,T], S t=S0e ms22 t+sBt, avecS0une variable al´eatoireF0-mesurable,Bun mouvement brownien,m2Rets>0.

2.2. Quelques propri´et´es du mouvement brownien

Proposition 2 (Propri´et´es d"invariance)Si B est un mouvement brownien alors

1.B est aussi un mouvement brownien

2. (Pr opri´et´ede Markov simple) Pour tout t

02R+,(Bt0+tBt0)t2[0,Tt0]est un mouvement brownien

ind´ependant des(Br,rt0). 3.

Pour tout a2R,1a

Ba2t t2[0,T/a2]est un mouvement brownien. 3

Proposition 3 (Propri´et´es de martingale)Soit B un mouvement brownien et pour tout t2[0,T],Ftest la

tribus(Bs,st)compl´et´ee. 1.

B est une (Ft)-martingale

2.

Pour tout l2R,(elBtl22

t)t2[0,T]est une(Ft)-martingale

3.(B2tt)t2[0,T]est une(Ft)-martingale.

Proposition 4 (Variation quadratique)Soit0=tn0tn1...tnpn=T une suite de subdivisions de[0,T] telles quesup1ipnjtnitni1j !n!¥0.Alors, quand n tend vers l"infini,åpn i=1(BtniBtni1)2converge dansL2 vers T.

Corollaire 5 (Irr´egularit´e des trajectoires)1.Pr esques ˆurement,les trajectoir esdu mouvement br ownien

ne sont `a variation finie sur aucun intervalle non trivial 2.

Soit a>1/2.Presque sˆurement, les trajectoires du mouvement brownien ne sonta-h¨old´eriennes sur aucun

intervalle non trivial 3. Pr esques ˆurement,les trajectoir esdu mouvement br ownienne sont nulle part d ´erivables. 4. Pr esques ˆurement,limsupt!¥Bt= +¥etliminft!¥Bt=¥.

2.3. Propri´et´e de Markov forte et cons´equences

Proposition 6 (Propri´et´e de Markov forte)(Admis) Soit T un temps d"arrˆet. Conditionnellement `afT<¥g

le processus(BT+tBT)t0est un mouvement brownien, ind´ependant deFT. Th´eor`eme 7Pour tout t>0,on pose Mt=supstBs.Alors, si a0et ba,on a

P(Mta,Btb) =P(Bt2ab).

Corollaire 8Pour tout t0,Mta mˆeme loi quejBtj. Corollaire 9Pour tout a0,si Ta:=infft0,Bt=ag,alors Taa mˆeme loi quea2B 21.
4

Chapitre 3. Int´egration stochastique

Dans tout le chapitre,(Bt)t>0d´esignera un mouvement brownien standard et(Ft)t>0sa filtration canonique (compl

´et´ee).

3.1. Int´egration des processus ´el´ementaires

On dit queHest un processus´el´ementaire si et seulement si il existep2Net 0t1...tp et des variables al ´eatoiresH(1),...,H(p)born´ees telles que pour toutip,H(i)estFtimesurable et

8w2W,8s2R+,

H s(w) =p1 i=0H(i)(w)1[ti,ti+1[(s).

On noteEl"ensemble de ces processus.

D´efinition.[Int´egration des processus´el´ementaires] Pour toutH2 E, on d´efinit le processusHBtel que,8w2W,8t2R+, (HB)t=p1 j=0H(i)(w)(Btj^t(w)Btj1^t(w)), o `us^t=min(s,t).

On notera volontiers(HB)t=Rt

0HsdBs.

Proposition 101.L "applicationH 7!HB est lin´eaire surE. 2. Le pr ocessusH B est une(Ft)t0martingale `a trajectoires continues.

3.8t2R+,E((HB)t)2=ERt

0H2sds

4.8T2R+,E(suptT((HB)t)2)4E(RT

0H2sds).

3.2. Int´egration des processus continus adapt´es de carr´e int´egrable

3.2.1. Densit´e des processus ´el´ementaires

D´efinition.On d´efinitL2(B)l"ensemble des processusH(Ft)t>0adapt´es mesurables,`a trajectoires

continues tels que kHk22:=E Z¥

0H2sds

On noteL2(B)le quotient deL2(B)par la relation d"´equivalenceHH0ssikHH0k22=0. C"est un espace de Hilbert. 5 Proposition 11 (Densit´e des processus ´el´ementaires)

Eest dense dansL2(B).

La d ´emonstration de ce r´esultat utilise le lemme suivant :

Lemme 12Soit M une martingale issue de z´ero. Si M est `a variation finie, M est indistingable de 0.

3.2.2. Extension de la d´efinition de l"int´egrale `aL2(B)

Dans la suite, on noteH2l"espace des(Ft)t>0martingales`a trajectoires continues, born´ees dansL2. Th´eor`eme 13Il existe une unique application lin´eaire J deL2(B)dansH2telle que 1.

Si H 2 E,alors J(H) =HB,p.s.

2.

Pour tout t 0,E((J(H))2t) =E(Rt

0H2sds).

Cette application est unique au sens o`u, si J et J

0v´erifie les points pr´ec´edents, alors p.s.,8t0;J(H)t=J0(H)t.

De plus, sitest un(Ft)t>0temps d"arrˆet, on a, pour tout t0,J(H)t^t=J(1ftgH)t.

Dans ce cas, on notera encore volontiers J(H)t=Rt

0HsdBs,pour tout t0.

3.2.3. Extension de la d´efinition de l"int´egrale aux processus localement born´es

PourT>0 fix´e, on d´efinit

e HT:= (Ht)0tT(Ft)t>0adapt´e tel quep.s.Z T

0H2sds<¥

Proposition 14(Admis) Il existe une unique application lin´eaire˜J definie sureHTdans l"espace des processus

continus telle que 1. si H 2 E,alors p.s.80tT,˜J(H)t= (HB)t, 2. si (Hn)n0est une suite de processus deeHTtelle queRT

0(Hns)2ds tend vers 0 en probabilit´e, alors

sup tTj˜J(Hn)tjtend vers 0 en probabilit´e.

On notera encore

˜J(H)t=Rt

0HsdBs.

Attention :dans ce cas,(Rt

0HsdBs)t0n"est pas n´ecessairement une martingale et la propri´et´e

d"isom ´etrie n"est pas n´ecessairement respect´ee.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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