SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
0 + nr . Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique. Vidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4.
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme u n
SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES
La suite 12
Modèle mathématique.
SUITES ARITHMÉTIQUES et SUITES GÉOMÉTRIQUES Cette formule permet aussi de calculer la raison d'une suite arithmétique dont on connaît deux termes.
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme = ‹
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme ' =
FONCTION EXPONENTIELLE
a) Calculer la dérivée de la fonction f. 2) Déterminer le terme général d'une suite géométrique de raison et de premier terme 3. 1) a) = = 1( ).
SUITES GEOMETRIQUES
On considère la suite géométrique (un) de raison q = 2 et de premier terme u1 = 5. 1) Exprimer un en fonction de n. 2) A l'aide de la calculatrice calculer la
Modèle mathématique.
SUITES ARITHMÉTIQUES et SUITES GÉOMÉTRIQUES Cette formule permet aussi de calculer la raison d'une suite arithmétique dont on connaît deux termes.
Corrigé du Contrôle Continu no 1
Corrigé du Contrôle Continu no 1. Exercice 1. Soit (un)n?N la suite arithmétique de premier terme u0 = 117 et de raison r = ?3. 1. Calculer u4 et u35.
FONCTION EXPONENTIELLE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/aD03wqgxexk Partie 1 : Introduction de la fonction exponentielle1) Définition
Propriété et définition : Il existe une unique fonction ! dérivable sur ℝ telle que !
=! et 0 =1. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp.Conséquence : exp
0 =1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra plus bas que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Pour des valeurs de + de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.2) Variations et courbe
Par définition de la fonction ,+-, on a :
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et exp(+) =exp(+) Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.Démonstration :
exp(+) >0 car exp(+) =exp(+)>0. 23) Propriétés
Théorème : exp
++0 =exp(+)exp(0) Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. On l'appelle relation fonctionnelle.Corollaires :
a) exp ou encore exp(+)exp =1 b) exp +-0 c) exp 2+ exp+ avec 2∈ℕDémonstration du a et b :
a) exp(+)exp =exp =exp(0)=1 b) exp +-0 =exp5++ -0 6 =exp(+)exp -0 =exp(+)Partie 2 : Le nombre !
1) Le nombre ,
Notation : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi exp(1)=,
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e.Notation nouvelle :
exp(+)=exp +×1 exp1Divertissement :
Notation : On note pour tout + réel, exp+=,
Dans la suite, on utiliser la notation ,
pour désigner la fonction exponentielle. 3Richard Sabey (2004)
Comme 9, le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de d écimales s ans suite logique.Ses premières décimales sont :
e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est transcendant s 'il n'est solution d'aucune équation à coefficients entiers.Le nombre
2 par exempl e, est irrationnel mais n'est p as
transcendant puisqu'il est solution de l'équation + =2. Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale de s on nom m ais peut être car e est la prem ière l ettre du mot exponentielle. Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : ,=1+ Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e.2) Propriétés
Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction
exponentielle :Propriétés :
=1 et , >0 , avec 2∈ℕ.Méthode : Simplifier les écritures
Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY
Simplifier l'écriture des nombres suivants :
4Correction
3) Équations et inéquations contenant des exponentielles
Propriétés :
a) , ⟺B=C b) , ⟺BVidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y
a) Résoudre dans ℝ l'équation , =0. b) Résoudre dans ℝ l'inéquation , ≥1.Correction
a) , =0 -3=-2+ +2+-3=0Δ=2
-4×1× -3 =16Donc +=
0*0 !2 =-3 ou += 0*3 !2 =1 J= -3;1 b) , ≥14+-1≥0
4 J= N 1 4 ;+∞N. 2 +1 5Partie 3 : Étude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et Méthode : Dériver une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk
Dériver les fonctions suivantes :
a) ! =4+-3, b) P +-1 c) ℎCorrection
a) !′ =4-3, b) P +-1 =S T(+)Avec S
=+-1→S =1 T →T P =S T +ST′(+)
=1×, +-1 c) ℎ 7 8Avec : S
→S T =+→T =1 S T -ST′(+)
T 9×:-9
×1 2 0, &0!2) Variations et courbe de la fonction exponentielle
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. 6 0 Méthode : Étudier une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/_MA1aW8ldjo
Soit ! la fonction définie sur ℝ par !
++1 a) Calculer la dérivée de la fonction !. b) Dresser le tableau de variations de la fonction !. c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. d) Tracer la courbe représentative de la fonction ! en s'aidant de la calculatrice.Correction
a) ! ++1 =S T(+)Avec S
=++1→S =1 T →T =S T +ST′(+)
=1×, ++1 =2, 2++ ← Factoriser ! permet d'étudier son signe à la question b. b) Comme , >0, ! (+) est du signe de ++2.On commence par résoudre l'équation ++2=0.
Soit : +=-2.
La fonction +↦++2 est une fonction affine représentée par une droite dont le coefficient directeur 1 est positif. Donc la fonction +↦++2 est croissante. Elle est donc d'abord négative (avant +=-2) puis positive (après +=-2).On dresse le tableau de variations :
7 -2 -2+1 c) ! 0 0+1 =1 (0)= 0+2 =2 Une équation de la tangente à la courbe en 0 est donc : 0=! 0 +-0 +!(0), soit :0=2++1
d)Partie 4 : Fonctions de la forme #⟼!
1) Dérivabilité
Propriété :
La fonction ! définie par !
X 45est dérivable sur ℝ et ! X =Y, 45
Démonstration :
On rappelle que la dérivée d'une fonction composée X⟼P BX+C estX⟼BP′
BX+CEn considérant P
X 5 , B=Y et C=0, on a : 45=Y, 45
-∞ -2 +∞ (+) - 0 + 8 Méthode : Dériver une fonction du type X⟼, 45
Vidéo https://youtu.be/RlyFEcx5Y3E
Dériver les fonctions suivantes :
B)! X =5, ),5 C)P X =X, )5 X 4 5Correction
B)! (X)=5× -3 ),5 =-15, ),5 b) P X =X, )5 =S X T(X)Avec :S
quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] calculer la variation absolue et le taux d'évolution
[PDF] calculer le débit d'un disque dur
[PDF] calculer le spin total
[PDF] calculer pourcentages
[PDF] calculer prix initial pourcentage
[PDF] calculer sa note ece
[PDF] calculer salaire net
[PDF] calculer son ancienneté dans l'enseignement
[PDF] calculer son bareme prof
[PDF] calculer une quantité de matière a partir d'un volume
[PDF] calculer une suite géométrique
[PDF] calculer vitesse instantanée 2nde
[PDF] calculs commerciaux bts muc
[PDF] calculs d'incertitudes physique exercices