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Graphes: modélisation et algorithmes

Notes de cours

21 février 2016

Table des matières1 Notions élémentaires sur les graphes3

1.1 Quelques problèmes formalisables par des graphes . . . . .. . . . . 3

1.1.1 Choix d"un itinéraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Organisation d"une session d"examen . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Problème d"ordonnancement de tâches . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4 Routage dans les réseaux de télécommunications . . . . .. . 5

1.2 Définitions et concepts de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Graphe orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Graphe non orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Définitions complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Chemin et circuit (graphes oriéntés) . . . . . . . . . . . . . .7

1.3.2 Chaîne et cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Graphe connexe et composantes connexes . . . . . . . . . . . 8

1.3.4 Graphe fortement connexe et composantes fortement connexes 8

1.4 Quelques graphes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

1.4.1 Graphe complet, clique, stable . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Arbre et forêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 Arborescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.4 Graphe biparti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Représentation des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Matrices d"adjacence et d"incidence . . . . . . . . . . . . . .11

2 Parcours de graphes et problèmes de connexité 13

2.1 Parcours en profondeur d"un graphe orienté (Depth FirstSearch) . . . 13

2.2 Parcours en profondeur d"un graphe non orienté (DFSno) et détermi-

nation des composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 DFS pour les graphes non orientés . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Détermination des composantes connexes . . . . . . . . . . .15

2.3 Détermination des composantes fortement connexes . . . .. . . . . . 16

2.3.1 Numérotation préfixe et suffixe . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2 Algorithme de Kosaraju (1978) . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Tri topologique dans un graphe orienté sans circuit . . . .. . . . . . 18

2.5 Fermeture transitive d"un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

3 Cheminement dans les graphes21

3.1 Plus courts chemins d"origine fixée dans un graphe sans circuit avec

longueurs quelconques : algorithme de Bellman . . . . . . . . . . .. 22

3.2 Plus courts chemins d"originefixée dans un grapheavec longueurs non

négatives : algorithme de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2

3.3 Plus courts chemins d"origine fixée dans un graphe avec longueurs

quelconques : algorithme de Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Plus courts chemins entre toutes les paires de sommets : algorithme de

Floyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Arbre couvrant de poids minimum28

4.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Algorithme de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Algorithme de Prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Flots dans les graphes33

5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.1 Flot maximum et coupe minimum . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.2 Graphe d"écart et chemin augmentant . . . . . . . . . . . . . 35

5.3 Recherche d"un flot maximum : algorithme de Ford-Fulkerson . . . . 36

5.3.1 Algorithme générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3.2 Algorithme de Ford-Fulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.3 Une application du problème du flot maximum : le couplage

dans un graphe biparti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Recherche d"un flot maximum à coût minimal . . . . . . . . . . . . .40

5.4.1 Condition d"optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4.2 Un algorithmede déterminationdu flot maximumà coûtminimal 40

3

1 Notions élémentaires sur les graphesLa théorie des graphes est un outil privilégié de modélisation et de résolution de pro-

cations technologiques concrètes. Par exemple, les graphes déterministes et aléatoires sont utilisésen chimie(modélisationde structure), en sciences sociales (pourreprésen- ter des relations entre groupes d"individus), en mathématiques combinatoires, en in- formatique (structures de données et algorithmique).Concernant les applications, elles

sont très nombreuses : réseaux électriques et transport d"énergie, routage du trafic dans

les réseaux de télécommunications et les réseaux d"ordinateurs, routage de véhicules et organisation de tournées, problèmes de localisation (localisation d"entrepôts dans les réseaux de distribution de marchandises, d"antennes ...), problèmes d"ordonnance- ments de tâches et d"affectation de ressources (problèmes de rotation d"équipages dans les compagnies aériennes)...

1.1 Quelques problèmes formalisables par des graphes

1.1.1 Choix d"un itinéraire

Comment faire pour aller le plus rapidement possible de Bordeaux à Grenoble sachant que :

Bordeaux→Nantes4h

Bordeaux→Marseille9h

Bordeaux→Lyon12h

Nantes→Paris-Montparnasse2h

Nantes→Lyon7h

Paris-Montparnasse→Paris-Lyon1h

Paris-Lyon→Grenoble4h30

Marseille→Lyon2h30

Marseille→Grenoble4h30

Lyon→Grenoble1h15

Ce problème est facile à représenter par un graphe dont les arcs sont valuées par les durées des trajets. Il s"agit alors de déterminer un plus court chemin entre Bordeaux et

Grenoble.

1.1.2 Organisation d"une session d"examen

8 groupes d"étudiants (numérotés de G1 à G8) doivent passer des examens dans diffé-

rentes disciplines, chaque examen occupant une demi-journée : 4 chimieG1 et G2

ElectroniqueG3 et G4

InformatiqueG3, G5, G6 et G7

MathématiquesG1, G5, G6 et G8

PhysiqueG2, G6, G7 et G8

On cherche à organiser la session d"examen la plus courte possible. On peut représenter chacune des disciplines par un sommet etrelier par des arêtes les sommets correspondant aux examens ne pouvant se dérouler simultanément. Le problème est alors de colorier tous les sommets du graphe en utilisant le moins de cou- leurs possible sachant que deux sommets reliés par une arêtedoivent être de couleurs distinctes.

1.1.3 Problème d"ordonnancement de tâches

La mise en exploitation d"un nouveau gisement minier demande l"exécution d"un cer- tain nombre de tâches :

CodesTâchesDuréesTâches an-térieures

1Obtention d"un permis d"exploitation120-

2Etablissement d"une piste de 6 km1801

3Transport et installation de 2 sondeuses32

4Création de bâtiments provisoires pour le bu-reau des plans et le logement des ouvriers302

5Goudronnage de la piste602

6Adduction d"eau904

7Campagne de sondage2403, 4

8Forage et équipement de 3 puits1805, 6, 7

9Transport et installation du matériel d"exploita-tion3010, 8

10Construction de bureaux et de logements défi-nitifs ouvriers et ingénieurs2406, 5, 7

11Traçage et aménagement du fond36010, 8

Résoudre un problème d"ordonnancement consiste à déterminer le temps minimum de réalisation de l"ensemble, ainsi que l"intervalle de tempsdans lequel on doit débuter chacune des tâches pour réaliserl"ensembledans letemps minimum.Pourcela, on doit rechercher un plus long chemin dans un graphe, appelé graphepotentiels-tâches, dont

les sommets représentent les tâches à réaliser et les arcs les contraintes d"antériorité

entre les tâches : un arc(i,j)représente la necéssité de réaliser la tâcheiavant la tâche

jet l"arc(i,j)est valué par la durée d"exécution dei. 5

1.1.4 Routage dans les réseaux de télécommunicationsLe problème de savoir s"il est possible d"acheminer un ensemble d"informations entre

deux centres reliés par un réseau de télécommunications revient à chercher un flot de valeur maximale dans un graphe représentant ce réseau (les sommets représentent les centres et les arêtes les liaisons entre ces centres).

1.2 Définitions et concepts de base

1.2.1 Graphe orienté

Ungraphe orienté(fini)G= (X,U)est défini par : — Un ensemble (fini)Xdont les éléments sont appelés dessommetsou des noeuds. L"ordre deGest le nombrende sommets deG. Par la suite, les som- mets seront souvent numérotés de1àn. — un ensembleUdont les élémentsu= (i,j)sont des couples ordonnés de sommets appelés desarcs. On dit queiest l"extrémité initialeetjl"extrémité terminale,jestsuccesseurdeietiestprédécesseurdej. Par la suite, on notera|U|=m. Les arcs représentent une relation binaire définie surX×X. Uneboucleest un arc ayant le même sommet comme extrémité initiale et terminale. La densité d"un graphe est donnée par le quotient m n2, rapport du nombre effectif d"arcs sur le nombre maximal théorique.

L"ensemble des successeurs deise noteN+

G(i)ouN+(i)quand il n"y a pas d"am-

biguïté sur le graphe. L"ensemble de ses prédécesseurs se noteN-

G(i)ouN-(i). On

appelle l"ensemble de ses voisins l"ensemble :NG(i) =N+

G(i)?N-

G(i). Un graphe est parfaitement défini par l"ensembleXet l"applicationN+(ou parN-).

On peut alors le noterG= (X,N+).

Ledemi-degré extérieur(resp.intérieur) du sommet i, notéd+(i)(resp.d-(i)) dé- signe le nombre d"arcs ayanticomme extrémité initiale (resp. terminale). Autrement dit,d+(i) =|N+(i)|etd-(i) =|N-(i)| Ledegrédu sommeti, notéd(i), est le nombre d"arcs ayanticomme extrémité (les boucles étant comptées deux fois). Ainsi :d(i) =d+(i) +d-(i).

Nous avons les relations suivantes :

i?Xd +(i) =? i?Xd -(i) =m i?Xd(i) = 2m 6

1.2.2 Graphe non orientéUngraphe non orientéG= (X,E)est défini par :

— L"ensembleXde sommets.

— L"ensembleEdont les élémentse=ijsont des paires (couples non ordon- nés) de sommets appelés desarêtes. Les sommets reliés àipar une arête sont appelés ses voisins. Les arêtes représentent une relation binaire symétrique définie surX×X. Un graphe est ditsimples"il est non orienté et sans boucle. Comme précédemment, ledegrédu sommeti, notéd(i), est le nombre d"arêtes ayanti comme extrémité (les boucles étant comptées deux fois). Nous avons donc également : i?Xd(i) = 2m

1.2.3 Définitions complémentaires

Deux arcs (arêtes) sont ditsadjacentss"ils ont au moins une extrémité commune. Deux sommets reliés par un arc (une arête) sont ditsvoisinsouadjacents. L"arc(i,j) (l"arêteij) est diteincidenteaux sommetsietj. SoitG= (X,E)un graphe non orienté et soitX??Xun sous-ensemble de sommets. Lesous-graphe engendré (ou induit)parX?est le grapheG[X?]dont les sommets

sont les éléments deX?et les arêtes les éléments deEayant leur deux extrémités dans

X Ungraphe partieldeGest graphe grapheH= (X,E?)avecE??E. Unsous-graphedeGest un grapheH= (X?,E?)avecX??XetE??E. Un graphe (orienté ou non) est ditvaluéquand ses arcs/arêtes et/ou ses sommets sont dotés d"un poids (ou longueur). Unmultigrapheorienté (non orienté) est une généralisation du concept de graphes au cas où il peut exister plusieurs arcs (arêtes) entre deux sommetsietjdonnés. Un p-grapheest un multigraphe dans lequel il n"existe jamais plus deparcs (arêtes) de la forme(i,j)entreietj. Ainsi, un graphe est un 1-graphe. SoiutG= (X,U)un graphe orienté et soitA?Xun sous-ensemble de sommets. -ω+(A)est l"ensemble des arcs ayant leur extrémité initiale dansAet leur extrémité terminale dansX\A; -ω-(A)est l"ensembledes arcs ayant leur extrémitéterminale dansAet leur extrémité 7 initiale dansX\A. Uncocycleω(A)du graphe est :ω(A) =ω+(A)?ω-(A).

1.3 Connexité

1.3.1 Chemin et circuit (graphes oriéntés)

Uncheminallant d"un sommeti0à un sommetiqest une suite de sommets(i0,i1, i

2,···,iq)telle que pour toutk= 1,2,···,q,(ik-1,ik)?U. Le nombre d"arcsq

du chemin est la longueur du chemin. On note aussi parfois la succession des arcs traversés :((i0,i1),(i1,i2),···,(iq-1,iq)). Parfois, on considère qu"un sommet est un chemin (dit trivial) de longueur 0. Uncircuitest un chemin (non trivial) dont les extrémités coïncident,i.e.i0=iq, et qui ne contient pas deux fois le même arc.

1.3.2 Chaîne et cycle

Unechaînedans un graphe non orienté entre un sommeti0et un sommetiqest une suite de sommets(i0,i1,i2,···,iq)telle que pour toutk= 1,2,···,q,ik-1iksoit une arête du graphe. Le nombred"arêtesqest lalongueurde lachaîne.i0etiqsontappelées

les extrémités de la chaîneμ. On décrit aussi parfois une chaîne par la succession des

arêtes traversées. Parfois on considère qu"un sommet est une chaîne (dite triviale) de longueur 0. Dans un graphe orienté, la notion de chaîne existe aussi : on s"autorise à prendre les arcs dans n"importe quel sens ((ik-1,ik)ou(ik,ik-1)est un arc). Uncycleest une chaîne (non triviale) dont les extrémités coïncident et qui ne contient pas deux fois la même arête (le même arc dans le cas orienté). Une chaîne (un chemin) estsimplesi les arêtes (les arcs) qui la (le) composent sont tous distincts. Une chaîne, un chemin, un cycle ou un circuit est dit :

1.élémentairesi les sommets qui le composent sont tous distincts (à l"exception

des extrémités),

2.hamiltoniens"il passe une fois et une seule par chaque sommet du graphe,

3.eulériens"il passe une fois et une seule par chaque arc/arête du graphe,

4.préhamiltoniens"il passe au moins une fois par chaque sommet du graphe,

5.préeulériens"il passe au moins une fois par chaque arc/arête du graphe.

8

1.3.3 Graphe connexe et composantes connexesUn grapheGest ditconnexesi pour toute paire de sommetsi,jdansG, il existe une

chaîne entreietj.

La relationRdefinie par

iRj??il existe une chaîne (éventuellement triviale) entreietj est une relation d"équivalence car elle est réflexive (iRi), symétrique (iRj?jRicar il suffit d"inverser la chaîne) et transitive(iRjetjRk?iRkcar il suffit de concaténer les 2 chaînes). Les classes d"équivalence induites surXparRforment une partition deXenX1,X2, ...,X p. Le nombrepde classes d"équivalence est appelé lenombre de connexitédu graphe. Un graphe est dit connexesi et seulement si son nombrede connexitéest égal à

1. Les sous-graphesG1,G2,...,Gpengendrés par les sous-ensemblesX1,X2,...,Xp

sont appelés lescomposantes connexesdeG. Chaque composante connexe est un graphe connexe. La vérification de la connexité d"un graphe est un des premiers problèmes de la théorie des graphes.

1.3.4 Graphe fortement connexe et composantes fortement connexes

Un graphe orientéG= (X,U)est ditfortement connexesi, étant donné deux som- metsquelconquesietj, ilexisteàlafoisun chemind"extrémitéinitialeietd"extrémité terminalejet un chemin d"extrémité initialejet d"extrémité terminalei. Considérons la relationR?définie comme suit : iR ?j??(il existe un chemin deiàjet un chemin dejài) Cette relation est une relation d"équivalence car elle est réflexive, symétrique et tran- sitive. Les classes d"équivalence induites surXparR?forment une partition deXen X

1,...,Xq.qest appelé lenombre de connexité fortedu graphe. Les sous-graphes

G

1,...,GqdeGengendrés parX1,...,Xqsont fortement connexes et sont appelés

lescomposantes fortement connexesdeG. Un graphe est fortement connexe si et seulement s"il n"a qu"une seule composante fortement connexe. On appelle legraphe réduit, notéGr, le graphe défini comme suit : les sommets de G rreprésentent les composantes fortement connexes et il existe un arc d"un sommet x ià un sommetxj(i?=j) s"il existe au moins un arc d"un sommet deXià un sommet deXjdans le grapheG. Propriété 1.1Grest nécessairement sans circuit. 9 Preuve.La preuve est basée sur la propriété suivante : si(x1,x2)est un arc deGr, alors pour tout couple de sommets(i1,i2)?X1×X2il existe un chemin dei1ài2. Démontrons tout d"abord cette propriété. Par définition, l"arc(x1,x2)signifie qu"il existe deux sommetsj1?X1etj2?X2tels que(j1,j2)?G. Or, il existe un chemin dei1àj1car ils sont dans la même CFC. De même, il existe un chemin dei2àj2. On a donc bien un chemin dei1ài2. La preuve de la propriété 1.1 est alors immédiate. Supposonsque l"on ait un circuit (x1,x2,...,xk,x1). Soitji?Xipouri= 1,...,k. Alors, il existe d"une part un che- min dejkàj1, d"autre part un chemin dej1àj2, dej2àj3,..., dejk-1àjk, donc un chemin dej1àjk. Ces deux sommets devraient alors être dans la même CFC.?

1.4 Quelques graphes particuliers

1.4.1 Graphe complet, clique, stable

— Un graphe orientéGest ditcompletsi pour toute pairei,jde sommets (avec i?=j) il existe au moins un arc(i,j)ou(j,i). Ainsi, un graphe est complet si et seulement si pouri?=j:(i,j)??U?(j,i)?U. — Dans un graphe non orienté, un sous-ensemble de sommetsK?Xtel que toute paire de sommetsi,j?K(i?=j) est reliée par une arête est appelé une clique. Un sommet isolé constitue à lui seul une clique. Une clique d"ordren est notéKn. — Dans un graphe non orienté, un sous-ensemble de sommetsS?Xtel qu"au- cune paire de sommetsi,j?Sn"est reliée par une arête est appelé unstable. Un sommet isolé constitue à lui seul un stable.

1.4.2 Arbre et forêt

Unarbreest un graphe connexe sans cycle (en particulier sans boucle). Par exemple, une chaîne élémentaire est un arbre. Théorème 1.1SoitG= (X,E)un graphe d"ordren. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

1.Gest un arbre;

2.Gcontientn-1arêtes etGest sans cycle;

3.Gcontientn-1arêtes etGest connexe.

Preuve.Voir TD.?

Propriété 1.2Un grapheG= (X,E)est un arbre si et seulement si pour toute paire de sommets distincts il existe une unique chaîne simple les reliant. 10 Preuve.Si pour toute paire de sommets distincts deGil existe une unique chaîne simple les reliant, alors le graphe est connexe. Si nous avions un cycle, cela donne- rait deux chaînes simples (rappelons qu"un cycle est une chaîne simple) entre deux sommets quelconques du cycle. Donc on n"a pas de cycle. AinsiGest un arbre. Réciproquement,supposonsqu"ilexistedeuxchaînessimplesdistinctesC1= (i,i1,...,iq,j) (suite des sommets rencontrés dans la chaîne) etC2= (i,j1,..., jl,j)entre deux sommetsietj(i?=j). Les chaînes étant distinctes, quite à les réduire nous pouvons supposeri1?=j1. Soit alorszle premier sommet (relativement à l"ordre donné dans l"écriture ci-dessus) deC1autre queirencontré en parcourantC2à partir dei(si au- cun desikn"égale un desjt, nous avonsz=j). Alors les deux chaînes(i,i1,...,z)et (i,i2,···,z)forment un cycle (on ne rencontre pas deux fois le même sommet, donc a fortiori pas deux fois la même arête).? Dans un arbre, unefeuilleest un sommet de degré 1. Montrons maintenant que tout arbre (ayant au moins deux sommets) a au moins deux feuilles. Dans un graphe simple on a?d(i) = 2mdonc dans un arbre?d(i) =

2n-2. Commed(i)≥1(connexité et au moins 2 sommets), alors si pour au moins

n-1sommetsd(i)≥2, on aurait?d(i)≥2(n-1) + 1>2n-2. Uneforêtest un graphe sans cycle (non forcément connexe). En d"autres termes, c"est un graphe dont chaque composante connexe est un arbre.

1.4.3 Arborescence

Unearborescencede racinerest un graphe connexe orienté tel que, pour tout sommet jde l"arborescence (autre quer), il existe un chemin unique allant deràj. Un som- metiquelconque sur le chemin allant deràjest appeléancêtredejetjest appelé undescendantdei. Siiest le prédécesseur dejdans le chemin allant deràjalors iest également appelé lepèredejetjlefilsdei. Un sommetjsans fils est appelé unefeuille. La longueur du chemin (nombre d"arcs) entreretjest laprofondeurde jdans l"arborescence. La plus grande profondeur dans l"arborescence est appelée la hauteurde l"arborescence. Dans une arborescence, tout sommeti?=ra un unique père,rn"en ayant pas. En effet,ia un père sinon il n"y aurait pas de chemin derài, et siiavait deux pèresj1et j

2, on aurait deux chemins distincts derài(un chemin deràj1plus l"arc(j1,r), un

chemin deràj2plus l"arc(j2,r)). Siravait un pèrej, on aurait un circuit deràr, donc plusieurs chemins deraux autres sommets (en bouclant enr). Une arborescence surnsommets an-1arcs. En effet,d-(r) = 0etd-(j) = 1pour toutr?=j. Doncm=?d-(j) =n-1. 11 On peut transformer un arbre en arborescence en choisissantn"importe quel sommet comme racine. Si l"on choisit le sommeticomme racine, il suffit ensuite d"orienter les arêtes "en s"éloignant dei". On parle d"arbre enraciné. Chaque arbre correspond donc ànarborescences, suivant le choix du sommet racine.

1.4.4 Graphe biparti

Un graphebipartiest un graphe pour lequel les sommets peuvent être partitionnés en deux sous-ensemblesX1etX2tels que tout arc (arête) a une extrémité dansX1et une dansX2. Un graphe non orienté est ditbiparti complets"il est biparti et si pour tout(i,j)?X1×X2,ij?E. On le note généralementKn1,n2avecn1=|X1|et n

2=|X2|.

1.5 Représentation des graphes

1.5.1 Matrices d"adjacence et d"incidence

SoitG= (X,U)un graphe orienté, lamatrice d"adjacenceA= (aij)(n×n) à coefficient 0 ou 1 est définie comme suit : a ij= 1??(i,j)?U; a ij= 0sinon. Ainsi, le nombre de1dans la ligneivautd+(i), et le nombre de 1 dans la colonnei vautd-(i). De même, pour un grapheG= (X,E)non orienté,aijvaut 1 si le graphe contient l"arêteij(et 0 sinon). Ainsi, la matrice d"adjacence d"un graphe non orienté est symé- trique. Le nombre de 1 dans la ligneiégaled(i), de même que le nombre de 1 dans la colonnei. SoitG= (X,U)un graphe orienté sans boucle, lamatrice d"incidence sommets- arcsest une matriceA= (aij)(n×m) à coefficients entiers 0, +1, -1 telle que chaque colonne correspond à un arc et chaque ligne à un sommet. Siu= (i,j)est un arc du graphe alors la colonneua tous ses termes nuls sauf :quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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