[PDF] Première S - Fonction valeur absolue





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Première S - Fonction valeur absolue

Fonction valeur absolue. I) Définition. On appelle fonction valeur absolue la fonction définie sur



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1.3.4 La fonction valeur absolue (?) . . . . . . . . . . . . . . 21 est naturellement définie par L son domaine de définition est R et elle donne.



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Si x ? 0 alors



de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Déterminer le domaine de définition Df de la fonction f. Donner l'expression de f sans valeur absolue sur [1; ?[ et sur ] ? ?; 1].





4. Fonctions usuelles

4.2.6 Fonction valeur absolue. 4.2.7 Fonction partie entière de définition et son domaine image sachant que son tableau de variation est le suivant.



Limites et continuité

exemple si f est l'application valeur absolue



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I] Compréhension de la définition Écrire les expressions suivantes sans les barres de valeur absolue en précisant le domaine de validité :

  • Comment trouver le domaine de définition d'une fonction avec valeur absolue ?

    L'ensemble de définition de toutes les fonctions de valeur absolue qui sont sous la forme �� ( �� ) = �� �� + �� est l'ensemble des nombres réels, ou ? , alors que l'ensemble image est �� ( �� ) ? 0 , ou [ 0 ; + ? [ .

  • Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction PDF ?

    Si l'on veut trouver l'ensemble de définition, autrement dit l'ensemble des x, il suffit de lire graphiquement l'ensemble des abscisses des points de la courbe représentant f.
  • Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction valeur absolue, 3 cas sont possibles. Dans tous les cas, on utilise la forme canonique simplifiée : f(x)=ax?h+k. f ( x ) = a x ? h + k .

Fonction valeur absolue

I) Définition

On appelle fonction valeur absolue, la fonction définie sur Թ , qui a tout réel ࢞ associe le réel noté |࢞| tel que : • Si ࢞ est positif ou nul |࢞| = ࢞ • Si ࢞ est négatif |࢞| = - ࢞ (l'opposé de ࢞ ) On notera dans la suite la fonction telle que ࢌ(࢞) = |࢞| On notera ࢌ la fonction qui, à ࢞, associe |࢞|.

Exemples :

+ = - ( 1 - ξ͵ ) = ξ͵ - 1 ݔെʹȁ = ݔȂʹ si ݔ 2 et ȁݔെʹȁ = - ݔ + 2 si ݔ 2

Propriétés :

• ȁݔȁ 0 pour tout x réel = 0 ݔ = 0

II) Etude

1) Variations de f sur Թ

La fonction ࢌ est donc strictement décroissante sur ]- ; 0], et strictement croissante sur [0 ; + [

2) Tableau de variations et courbe :

a) Tableau de variations :

ݔ - 0 +

0 b) Courbe

Remarques :

• La courbe de la fonction f coïncide sur ] - ; 0] avec la demi droite d'équation ݕ ൌȂݔ

et sur [0 ; + [ avec la demi droite d'équation ݕ ൌ ݔ • La courbe de la fonction f admet donc ( en repère orthogonal ) l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. La fonction f est dite paire.

III) Compléments

1) Equations et inéquations:

a) Equation ȁ࢞ȁൌ ࢑ • Si ࢑ est strictement négatif cette équation n"a aucune solution • Si ࢑ = 0 cette équation a une unique solution ࢞ ൌ ૙ • Si ࢑ est strictement positif cette équation a deux solutions ࢞ ൌ ࢑ ou ࢞ ൌȂ࢑

Illustration :

Exemples :

1°) Résoudre l'équation

Les solutions de cette équation sont ݔ ൌ ͷ ou ݔ ൌȂͷ

ݔ ൌ ͵ ou ݔ ൌͳ

b) Equation ȁ࢞ȁൌȁ࢟ȁ Cette équation équivaut à ࢞ ൌ ࢟ ou ࢞ൌȂ࢟

Exemple :

Résoudre l'équation

Cette équation équivaut à 2ݔ + 4 = 5 - ݔ ou 2ݔ+ 4 = - (5 - ݔ)

Soit encore à 3ݔ = 1 ou ݔ = - 9

Les solutions sont donc ݔ ൌͳ

ou ݔ ൌȂͻ c) Inéquations |࢞|൑ ࢇܜ܍

Inéquation ȁ࢞ȁ൑ ࢇ

• Si a < 0 l'inéquation n'a aucune solution car ȁݔȁ est positif ou nul • Si a 0 l'inéquation a pour ensemble de solutions l'intervalle [ - a ; a ]

Inéquation ȁ࢞ȁ൒ ࢇ

• Si a < 0 l'inéquation a pour solutions l'ensemble

Թ car

ȁݔȁ est positif ou nul

• Si a 0 l'inéquation a pour ensemble de solutions l'ensemble ] - ; - a[

Exemples :

1°) Résoudre l'inéquation

2°) Résoudre l'inéquation

ȁݔȁ൒െʹ Solutions : Թ

3°) Résoudre l'inéquation

ȁݔȁ൑െͳ Solutions :

4°) Résoudre l'inéquation

ହ Solutions : ݔ ג

5°) Résoudre l'inéquation | 2ݔ- 1 | 5

Cette inéquation est équivalente à l'encadrement Ȃͷ ൑ ʹݔȂͳ ൑ ͷ

Soit - 2 ݔ 3 Solutions : ݔ [- 2 ; 3 ]

Soit ݔ - ଵ଴

ଷ Solutions : ݔ גquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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