Fonctions à deux variables
25 jan. 2012 Définition 1. Une fonction à deux variables est une application f : D ? R où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de définition ...
Fonctions de 2 ou 3 variables
Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables) l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ).
Fonctions de deux variables
Exo 2. Dessinez le domaine de définition de f := (xy) ?? x ln(x + y) ? y. ? y ? x. Page 5. Graphe. Le graphe Grf d'une fonction f de deux variables
1 Définition et exemples 2 Fonction de deux variables
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES corps et le corps dans son ensemble. ... Le domaine de définition d'une fonction f(x y)
Fonctions de plusieurs variables
Soit f une fonction de deux variables Df son ensemble de définition. On appelle graphe de f
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
f est une fonction de deux variables R2 est son domaine de définition. Le graphe Cf de f (fonction d'une seule variable) est l'ensemble des points du ...
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Proposition 8.2.2 (Lien entre aire et intégrale II). Soit f une fonction d'une variable et. [a
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Ainsi le plus grand domaine de définition possible pour f est : R+ * × R. 1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. 1.2.1 Définition.
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
Exercice 6. Déterminer et représenter le domaine de définition maximal des fonctions de deux variables suivantes : f1 : (x y) ??.
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
On consid`ere la fonction réelle de deux variables f définie par f(x y) = x2 y ? 2x2 . 1. Déterminer et représenter son ensemble de définition Df . On
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On va dire que les fonctions de deux variables sont les applications de R2 dans R? ce qui permet de définir le domaine de définition par la formule :
[PDF] 1 Définition et exemples 2 Fonction de deux variables
Le domaine de définition d'une fonction f(x y) noté Df est l'ensemble {(x y) ? R2 : f(x y) ? R} 1 Page 2 En général pour déterminer Df on passe par
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Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables) l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f On note D(f)
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1 2 Ensemble de définition d'une fonction de deux variables On considère une fonction f de R 2 vers R : f : (x y)
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25 jan 2012 · Définition 1 Une fonction à deux variables est une application f : D ? R où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de définition
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Définition Soit A un point du plan R2 et r un réel strictement positif • On appelle boule ouverte de centre A et de rayon r l'ensemble noté B(A r) et défini
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22 jui 2018 · Fonction de deux variables Analyse 2 x y z 1 2 Définitions Définition 1 R2 est l'ensemble des couples (xy) avec x et y des nombres
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f est une fonction de deux variables R2 est son domaine de définition Le graphe cf de f (fonction d'une seule variable) est l'ensemble des points du
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f est une fonction de deux variables R2 est son domaine de définition Le graphe Cf de f (fonction d'une seule variable) est l'ensemble des points du
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Définition 1 3 Soit f une fonction de deux variables définie sur un domaine D L'en- semble des points de coordonnées (x y
Comment étudier une fonction à deux variables ?
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R ? R. Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre. On dit qu'on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y).Comment trouver l'extremum d'une fonction à deux variables ?
Si la fonction f est dérivable et a un extremum dans ] a , b [ , il est atteint en un réel c où la dérivée de f s'annule. On calcule sa valeur en ces points. On regarde la valeur de la fonction sur les bords c'est-à-dire en a et b et on compare avec les valeurs aux points où la dérivée s'annule.- La différentielle au point (x, y) d'une application à deux variables f est l'expression dfx,y = ?f ?x (x, y)dx + ?f ?y (x, y)dy. Les dx, dy et df de l'expression ci-dessous représentent de « petits accroissements » de la fonction et de chacune des variables respectivement.25 jan. 2012
Fonctions à deux variables
ECE3 Lycée Carnot
25 janvier 2012
1 Aspect graphique
Définition 1.Unefonction à deux variablesest une application: R, oùest une sous-ensemble du planR2appelé domaine de définition de la fonction. Exemples :La fonction: ()3+22+342est une fonction à deux variables définie surR2tout entier. La fonction: ()ln(+1)est une fonction définie sur l"ensemble des couples()vérifiant+10, qui se trouve être le demi-plan supérieur ouvert délimité par la droite d"équation= 1. Proposition 1.Tout sous-ensemble de la forme()++= 0, où,etsont trois réels tels que()= (00)est une droite. Démonstration.Si= 0, on peut mettre l"équation sous la forme= , qui est bien une équation de droite. Et si= 0, on a par hypothèse= 0, donc on obtient= , qui est également une droite, en l"occurence parallèle à l"axe des ordonnées. Exemple :La fonction: ()?422est définie à l"intérieur du cercle de centreet de rayon2. Proposition 2.Le sous-ensemble deR2défini par l"équation2+2=, avec?0, est le cercle de centre0et de rayon (si 0, l"ensemble est vide). Démonstration.Dans le planR2(muni d"un repère orthonormal, mais ce sera toujours le cas pour nous), le pointde coordonnées()est situé à une distance?2+2de l"originedu repère
(c"est une application du théorème de Pythagore), donc2+2=2=2=. l"ensemble des points à distancedeest bien le cercle de centreet de rayon. Définition 2.Lareprésentation graphiqued"une fonction à deux variables dans un repère ()de l"espace est l"ensemble des points()vérifiant=(). Remarque1.Une fonction à deux variables est donc représentée non pas par une courbe, maispar une surface dans l"espace. Il est très difficile en généralde visualiser ce genre de représentations
graphiques, c"est pourquoi on en est souvent réduit à étudier les coupes par des plans que représentent
les lignes de niveau et les applications partielles. Définition 3.Soitun réel etune fonction de deux variables, laligne de niveaude la fonction est l"ensemble des couples()vérifiant() =. Remarque2.Il s"agit donc de la coupe de la surface représentative depar le plan " horizontal » d"équation=. La plupart du temps, une ligne de niveau n"est pas la courbe représentative d"une fonction à une variable. 1 Exemple :Considérons la fonction() =2+2, sa ligne de niveauest définie par l"équation2+2=. Il s"agit donc du cercle de centreet de rayon
quandest positif, la ligne de niveau est vide sinon. Voici une représentation des lignes de niveau pourentier compris entre1et4. Il ne reste plus qu"à les relier mentalement pour imaginer l"allure de la surface représentative
de. 22 Exemples de surfaces
Juste quelques surfaces tracées à l"ordinateur pour avoir une idée de ce à quoi ça peut ressembler.
-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
zf(x,y)=x^2+y^2 x yz -3-2-1 0 1 2 3-3-2-1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 zf(x,y)=(x^3-3x)/(1+y^2) xyz 3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 zf(x,y)=2(x^2+y^2)e^(-x^2-y^2) xyz -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -25-20-15-10-5 0 5 10 15 20 25 zf(x,y)=x^3-4x^2y+5y-2 xyz 43 Dérivées partielles
On ne peut pas étudier les variations d"une fonction à deux variables comme on le fait pourune fonction à une variable, puisque la simple notion de fonction croissante ou décroissante n"a pas
d"équivalent quand on passe à deux variables. Il est cependant intéressant de calculer un analogue
de la dérivée dans ce cadre, qui permet notamment de trouver les minima ou maxima de la fonction,
comme c"est le cas pour une fonction à une variable. Définition 4.Soit: ()()à deux variables, lesapplications partiellesassociées sont les deux fonctions à une variablex:()ety:().Remarque3.Les applications partielles sont donc données par la même équation que la fonction
elle-même, seul le statut deet dechange : au lieu d"avoir deux variables, l"une d"elles estdésormais fixée, même si on ne connait pas sa valeur. Pour rendre les choses plus concrètes, on peut
assigner une valeur à la varible fixée. Par exemple, si() =23+3, on dira que l"application partielle obtenue en fixant= 1est la fonction d"une variable23+1(on a posé= 1dans l"équation de), ou que l"application partielle obtenue en fixant= 2est la fonction46+3.Tracer les représentations graphiques de ces applicationspartielles revient à tracer la coupe de la
surface représentative depar les plans d"équation respective= 1et= 2(plans " verticaux » si on oriente le repère de façon habituelle).Définition 5.Lesdérivées partiellesd"une fonction à deux variables sont les dérivées de ses
application partielles. On note la dérivée dexetcelle dey.Remarque4.Pour calculer ces dérivées partielles, on dérive en considérant l"une des deux variables
comme une constante (on dit qu"on dérive la fonctionpar rapport àourespectivement), mais chacune des deux dérivées partielles reste une fonction à deux variables.Remarque5.On se contentera de calculer ces dérivées partielles sans sepréocupper de justifier leur
existence, ce qui est un problème plus complexe que dans le cas d"une fonction à une variable. Définition 6.Les quatres dérivées partielles des fonctions et(deux pour chaque fonction) sont appeléesdérivées partielles secondesde la fonction. On note22et2les dérivées
partielles par rapport àetde , et2et22les dérivées partielles de. Exemples :Reprenons l"exemple de la fonction: ()3+ 22+342. On a donc () = 32+4+3;() = 22+328;22() = 6+4;2() = 4+32; 2 () = 4+ 32et enfin22= 68. De même, la fonction: ()ln(+1)a pour dérivées partielles () =1+1; () =1+1;22() =1(+1)2, et les trois autres dérivées secondes sont les mêmes que la première.Enfin, la fonction: ()?
422vérifie() =22?422=?422;
() =?422;22() =?422x4x2y2
42+2=24(422)32;
5 2 () =2x 2 (422)32=(422)32;2() =(422)32et enfin22= 24(422)32. Définition 7.Unpoint critiquepour une fonctionà deux variables est un couple()vérifiant () =() = 0. Exemple :Les points critiques de la fonctiondéfinie plus haut sont les solutions du système suivant (qu"on est bien incapable de résoudre) : ?32+ 4+3= 0
22+ 328= 0
Théorème 1.Si une fonctionadmet un minimum ou un maximum local en un point(), alors ce point est un point critique. Remarque6.Attention, comme dans le cas des fonctions à une variable, laréciproque n"est pas toujours vraie. Théorème 2.Soit(00)un point critique d"une fonction à deux variables, on note= 22(00)22(00)?2(00)?
2 , alors(00)n"est pas un extremum si 0, mais c"en est un si 0, maximum si22(00)0, minimum sinon. Si= 0, on ne peut pas
conclure. Définition 8.Ladifférentielleau point()d"une application à deux variablesest l"expression x,y= Les,etde l"expression ci-dessous représentent de " petits accroissements » de la fonction etde chacune des variables respectivement. En fait, une bonnedéfinition mathématique de ces objets
est de les voir comme des applications deR2dans l"ensemble des applications linéaires deR2dans R. Mais comme vous ne savez pas encore ce qu"est une application linéaire, vous vous contenterez du blabla ci-dessous pour tenter de comprendre ce que ça recouvre.Interprétation géométrique :Comme dans le cas d"une fonction à une variable, on peut tenter
d"interpréter géométriquement les notions définies plus haut. Vous savez que, pour une fonction
à une variable, le nombre dérivé()représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe
représentative de la fonctionen son point d"abscisse. Autrement dit, la tangente étant la droite
la plus proche de la courbe, on peut écrire au voisinage del"approximation affine suivante :() ()() +()(équation de la tangente), ou encore en changeant les notations(+) () +(), approximation valable pour des " petites » valeurs de. En utilisant la notationdifférentielle, on écrirait ceci ainsi :x() =, c"est-à-dire que l"accroissement de la fonction
(qui correspond à(+)()) est proportionnel à l"accroissement de la variable (qui correspond à), avec pour coefficient de proportionnalité().Dans le cas d"une fonction à deux variables, les dérivées partielles en un point()représentent
également des coefficients directeurs de tangentes, en l"occurence des deux tangentes à la surface
représentative deincluses dans les plans verticaux contenant les axes()et(). La surfaceadmet bien d"autres tangentes (une infinité), mais la connaissance de deux d"entre elles suffit à
déterminer le plan tangent à la surface représentative de, et donc à donner une approximation de
(+;+)pour des petites valeurs deet. C"est ce que fait la différentielle à l"aide de la 6 formule suivante :(+;+)()+(). Autrement dit (et pour parler en termesplus " économiques »), la différentielle exprime l"accroissement marginal de la fonctionau point
()en fonction des accroissements marginaux de chacune des variables.Exemple :Un type de fonction à deux variables souvent utilisé en économie est la fonction de
Cobb-Douglas, qui modélise la productionen fonction du capitalet du travailvia la formule () =αβ. Pour plus de simpliciter, on prend souvent= 1, et= 1(avec [0;1]), donc() =α1α. Ceci a également pour avantage de rendre la fonction homogène, c"est-à-dire que() =()(autrement dit, si vous multipliez le capital et le travail simultanément par un même facteur, la production subira la même augmentation).Les dérivées partielles de cette fonction sont appelés en économie rendements marginaux. En uti-
lisant la notation différentielle, ces rendements marginaux donnent les coefficients d"augmentation
marginale de la production quand on augmente marginalementle travail ou le capital. Ainsi, si (00) = 3, cela signifie qu"en augmentant de1%le capital en partant d"une situation où le capital était de0et le travail de0, la production augmentera d"environ3%. Avec l"équa- tion donnée plus haut, on constate que () =α11α=?? 1α , et() = (1)αα= (1)? . Si on calcule désormais les dérivées secondes, on obtient notam- ment 22() =(1)α21α;22() =(1)αα1. Ces deux expressions
sont négatives, c"est un résultat qu"on connait en économiesous le nom de principe des rendements
décroissants : plus la production augmente, plus les rendements marginaux sont faibles.Dernière notion utile en économie et abordée un peu plus hautd"un point de vue mathématique : les
lignes de niveau de la fonctionsont appelés isoquants de la fonction de production. Ils représentent
des lignes sur lesquelles la production ne varie pas, et on peut donc affirmer que, sur un isoquant, la différentielles"annule. Autrement dit, on a alors () +() = 0. Les rapportsentre les deux dérivées partielles en un point d"un isoquantsont appelés coefficients d"elasticité :
ils représentent la facilité à échanger du capital contre dutravail (ou vice-versa) pour garder une
production constante. Ainsi, si on a (00) =3(00), cela signifie que, si on diminue le capital de1%en partant de la situation(00), il faudra augmenter le travail de3%pour garder le même niveau de production. 7quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] domaine de definition pdf
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