[PDF] 1 Définition et exemples 2 Fonction de deux variables

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FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

1 Denition et exemples

R n=f(x1;x2;:::;xn); x1;x2;:::;xn2Rg: x1;x2;:::;xn) est ditn-uplet, en geometrie on dit un point deRnil est vu aussi comme un vecteur. Denition 1Une fonction numerique denvariables reelles est une appli- cationfd'une partieDdeRna valeurs dansR. On note f:D!R (x1;x2;:::;xn)7!f(x1;x2;:::;xn)

Ou bien

f:D!R x7!f(x)oux= (x1;x2;:::;xn)

Exemple 1

1)f(x;y) =x3+xyy2,D=R2:

2)g(x;y;z) =1x

2+y2+z2,D=R3n f(0;0;0)g.

3) La fonction surface=xy, volume=xyz.

4) L'allometrie est l'etude des echelles de relations entre une partie du

corps et le corps dans son ensemble. Une relation allometrique entre la masse (M) et la longueur(L)du corps des poissons a la forme M=aLb

4) La fonction resistance d'un montage en parallele de deux resistances

xetyest donnee parxyx+y

2 Fonction de deux variables

2.1 Domaine de denition

Le domaine de denition d'une fonctionf(x;y), noteDf, est l'ensemble f(x;y)2R2:f(x;y)2Rg: 1 En general, pour determinerDfon passe par les etapes suivantes :

1) Ecriture du domaine.

2) Determination des frontieres.

3)Representation graphique et determination des regions qui constituent

D fen utilisant des points particuliers situes dans les regions.

Exemple 2

f(x;y) =p4x2y243211234 21123
0M 1M

21)Df= (x;y)2R2: 4x2y20:

2) Determination des frontieres :

4x2y2= 0,x2+y2= 22, cercle de centre

(0;0) et de rayonr= 2:

3) Le cercle divise le plan en deux regions, pre-

nons deux points quelconques de ces deux regions. M

1= (0;0) etM2= (3;0)

PourM1on a 402020

PourM2on a 43202<0

DoncDf= le cercle et son interieur=le disque ferme.

2.2 Limite et continuite

1.Limite en(0;0):Pour calculer lim

(x;y)!(0;0)f(x;y), la premiere etape consiste a remplacer xpar 0 etypar 0, si on trouve un nombre ou1c'est bon. Si on trouve une forme indeterminee alors il faut faire le changement de variable en coor- donnees polaires suivant : x=rcos() y=rsin() contr^ole la direction, et donc : lim (x;y)!(0;0)f(x;y) = limr!0f(rcos();rsin()): Ou bien posery=tx, icitcontr^ole la direction, et alors lim (x;y)!(0;0)f(x;y) = limx!0f(x;tx): Si la limite ne depend pas de(out) et est nie on dit qu'elle existe. Si elle depend de(out) ou bien n'est pas nie on dit qu'elle n'existe pas. 2

Exemple 3

1) lim (x;y)!(0;0)x

2+ 2y+ 2x+y+ 3=23

2) lim (x;y)!(0;0)x

3+ 2x2yx

2+y2=00

(FI) Par le changement de variable en coordonnees polaires on trouve : lim r!0(rcos())3+ 2(rcos())2(rsin())(rcos())2+ (rsin())2= limr!0r

3(cos3() + 2cos2()sin())r

2 = lim r!0rcos3() + 2cos2()sin()= 0: 3) lim (x;y)!(0;0)x

2+ 2xyx

2+y2=00

(FI) Par le changement de variable en coordonnees polaires on trouve : lim r!0(rcos())2+ 2(rcos())(rsin())(rcos())2+ (rsin())2= limr!0r

2(cos2() + 2cos()sin())r

2 = cos

2() + 2cos()sin():

Cette limite depend de, donc elle n'existe pas.

4) lim (x;y)!(0;0)xypx

2+y2=00

(FI)

Par le changement de variabley=txon a :

lim x!0x(tx)px

2+ (tx)2= limx!0tx

2px

2p1 +t2= limx!0px

2tp1 +t2= 0:

5) lim (x;y)!(0;0)xyx

2+y2=00

(FI)

Par le changement de variabley=txon a :

lim x!0x(tx)x

2+ (tx)2= limx!0tx

2x

2(1 +t2)=t1 +t2:

Cette limite depend det, donc elle n'existe pas.

3

2.Limite en(x0;y0):On poseX=xx0etY=yy0

lim (x;y)!(x0;y0)f(x;y) = lim(X;Y)!(0;0)f(X+x0;Y+y0):

Exemple 4

L= lim(x;y)!(1;2)x+y3x

2+y3= lim(X;Y)!(0;0)(X+ 1) + (Y+ 2)3(X+ 1)2+ (Y+ 2)3= lim(X;Y)!(0;0)X+YX

2+ 2X+Y:

Maintenant par le changementY=tXon obtient

L= limX!0X+tXX

2+ 2X+tX= limX!01 +tX+ 2 +t=1 +t2 +t:

3.Limite en(x0;1):On poseX=xx0,Y= 1=y.

lim (x;y)!(x0;1)f(x;y) = lim(X;Y)!(0;0)f(X+x0;1=Y):

Exemple 5

L= lim(x;y)!(1;+1)yln

x+1y = lim (X;Y)!(0;0)ln(X+ 1 +Y)Y

En posantY=tXon obtient

L= limX!0ln(X+ 1 +tX)tX

= limX!0ln(1 + (1 +t)X)tX =1 +tt

4.Limite en(1;1) :On pose :X= 1=xetY= 1=y.

lim (x;y)!(1;1)f(x;y) = lim(X;Y)!(0;0)f(1=X;1=Y):

Exemple 6

L= lim(x;y)!(+1;+1)xsin1x

+1y = lim (X;Y)!(0;0)sin(X+Y)X

En posantY=tXon obtient

L= limX!0sin(X+tX)X

= limX!0sin((1 +t)X)X = 1 +t: 4

Continuite :fest continue en (x0;y0) si :

lim (x;y)!(x0;y0)f(x;y) =f(x0;y0): Exemple 7Etudier la continuite en(0;0)de la fonction f(x;y) =( x2yx

2+y2si(x;y)6= (0;0)

0si(x;y) = (0;0)

On a par le changementy=tx:

lim (x;y)!(0;0)x 2yx

2+y2= limx!0x

2(tx)x

2+ (tx)2= limx!0tx1 +t2= 0 =f(0;0):

Doncfest continue en(0;0).

2.3 Derivees partielles

On commence par donner la denition pour le cas general. Denition 2La derivee partielle de la fonction anvariablesf(x1;x2;:::;xn) par rapport a la variablexk(ouk= 1;:::;n), est la derivee de la fonction x k7!f(x1;x2;:::;xk;:::;xn) de la variablexk, en considerant toutes les autres variablesxjcomme des constantes ( ou parametres) . Cette derivee partielle defpar rapport axkreste une fonction anvariables et elle est notee@f@x k

Exemple 8Les derivees partielles de la fonction :

f(x1;x2;x3;x4) = 3x21+ 5x32+ ln(x3x4) +x1x2 sont donnees par @f@x

1= 6x1+x2;@f@x

2= 15x22+x1;@f@x

3=1x

3;@f@x

4=1x 4 5 Exemple 9Les derivees partielles d'une fonction a trois variablesf(x;y;z) sont notees par :@f@x ;@f@y ;@f@z

Pourf(x;y;z) =xe2z+ ln(xyz)on a

@f@x =e2z+1x ;@f@y =1y ;@f@z = 2xe2z+1z Exemple 10Pour la fonction a deux variablesg(x;y) =x2+xy2+3y3+exy on a :@f@x = 2x+y2+yexy;@f@y = 2xy+ 9y2+xexy: Maintenant on donne la denition des derivees partielles secondes pour une fonction a deux variables. Denition 3Les derivees partielles secondes de la fonction a deux variables f(x;y)sont les derivees partielles des fonctions@f@x et@f@y . On enumere quatre : 1) la d eriveep artiellese condep arr apport axnotee 2f@x 2 2) la d eriveep artiellese condep arr apport aynotee 2f@y 2 3) la d eriveep artiellese condep arr apport axet puisynotee

2f@y@x

4) la d eriveep artiellese condep arr apport ayet puisxnotee

2f@x@y

Exemple 11Pour la fonctiong(x;y) =x2+xy2+3y3+exyde l'exemple 10 on a : 2f@x

2= 2+y2exy;@2f@y

2= 2x+18y+x2exy;@2f@y@x

= 2y+(xy+1)exy;@2f@x@y = 2y+(xy+1)exy Theorem 1Si en un point (x, y) les derivees secondes@2f@x@y et@2f@y@x sont continues, alors

2f@x@y

=@2f@y@x 6

2.4 Points critiques et extremums

Denition 4Un point critique pour une fonctionfa deux variables est un couple(x;y)veriant @f@x =@f@y = 0 Denition 5Un point(x0;y0)est un maximum local def, s'il existe un intervalle]a;b[tel que, f(x;y)f(x0;y0)8x;y2]a;b[: Denition 6Un point(x0;y0)est un minimum local def, s'il existe un intervalle]a;b[tel que, f(x;y)f(x0;y0)8x;y2]a;b[: Theorem 2Si une fonctionfadmet un minimum ou un maximum local en un point(x;y), alors ce point est un point critique. Theorem 3Soit(x0;y0)un point critique d'une fonction a deux variables f, on note :

R=@2f@x

2; S=@2f@x@y

; T=@2f@y 2 et

W=RTS2:

Alors 1) Si en (x0;y0)on aW >0,fadmet en(x0;y0)un maximum siR <0 et un minimum siR >0. 2) Si en (x0;y0)on aW <0,fn'admet pas d'extremum en(x0;y0). On parle de point selle. 3)

Si en (x0;y0)on aW= 0, on ne peut pas conclure.

Exemple 12Etudier l'existence d'extremums de la fonction f(x;y) =x3+y33x3y:

On a :

@f@x = 3x23;@f@y = 3y23; R=@2f@x

2= 6x; S=@2f@x@y

= 0; T=@2f@y

2= 6y:

7

Les points critiques sont solutions du systeme

3x23 = 0

3y23 = 0,x=1

y=1

On a donc 4 points critiques qui sont

M

1= (1;1); M2= (1;1)M3= (1;1)M4= (1;1):

Appliquons le Theoreme 3 en ces points :

1)

En M1= (1;1)on a :W=RTS2= 36>0etR= 6>0. Donc,

la fonctionfadmet un minimum enM1. 2)

En M2= (1;1)etM3= (1;1)on a :W=RTS2=36<0.

Donc,fn'admet d'extremum en aucun de ces deux points. 3)

En M4= (1;1)on a :W=RTS2= 36>0etR=6>0.

Donc,fadmet un maximum enM4.

8

2.5 La dierentielle

Denition 7La dierentielle au point(x;y)d'une fonction a deux variables fest l'expression df=@f@x dx+@f@y dy: De facon plus generale la dierentielle au point(x1;x2;:::;xn)d'une fonction fanvariables est donnee par : df=@f@x 1dx

1+@f@x

2dx

2++@f@x

ndx n=nX k=1@f@x kdx k: La dierentielle est utilisee pour le calcul des erreurs. Pour une fonction z=f(x;y), la question est : Quelle est l'erreur commise surzconnaissant les erreurs commises surxety? Notons par x, yet zles erreurs commises surx,yetz. Ces erreurs sont positives et on a l'ecriture :xx,yyetzz. D'apres la dierentielle defon a : (zest consideree comme etant l'erreur maximale commise sur z) z=j@f@x jx+j@f@y jy: Exemple 13La surface d'un rectangle de cotesxetyestS=xy. L'erreur

Sest donnee par :

S=j@S@x

jx+j@S@y jy=jyjx+jxjy:

Six= 100;1ety= 200;2alors

S= (20)(0;1) + (10)(0;2) = 4:

Si l'unite est le metre, alorsS= 2004m2. Ceci nous avise que en cas de vente de ce lot de terrain (en commettant ces erreurs) avec un prix (par exemple) de50 000DAlem2on aura une perte de200 000DA. 9quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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