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Fonctions à deux variables

25 jan. 2012 Définition 1. Une fonction à deux variables est une application f : D ? R où D est une sous-ensemble du plan R2 appelé domaine de définition ...



Fonctions de 2 ou 3 variables

Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables) l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ).



Fonctions de deux variables

Exo 2. Dessinez le domaine de définition de f := (xy) ?? x ln(x + y) ? y. ? y ? x. Page 5. Graphe. Le graphe Grf d'une fonction f de deux variables



1 Définition et exemples 2 Fonction de deux variables

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES corps et le corps dans son ensemble. ... Le domaine de définition d'une fonction f(x y)



Fonctions de plusieurs variables

Soit f une fonction de deux variables Df son ensemble de définition. On appelle graphe de f



´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

f est une fonction de deux variables R2 est son domaine de définition. Le graphe Cf de f (fonction d'une seule variable) est l'ensemble des points du ...



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Proposition 8.2.2 (Lien entre aire et intégrale II). Soit f une fonction d'une variable et. [a



´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

Ainsi le plus grand domaine de définition possible pour f est : R+ * × R. 1.2 Représentation graphique d'une fonction de deux variables. 1.2.1 Définition.



Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R

Exercice 6. Déterminer et représenter le domaine de définition maximal des fonctions de deux variables suivantes : f1 : (x y) ??.



Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes

On consid`ere la fonction réelle de deux variables f définie par f(x y) = x2 y ? 2x2 . 1. Déterminer et représenter son ensemble de définition Df . On 



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On va dire que les fonctions de deux variables sont les applications de R2 dans R? ce qui permet de définir le domaine de définition par la formule :



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Le domaine de définition d'une fonction f(x y) noté Df est l'ensemble {(x y) ? R2 : f(x y) ? R} 1 Page 2 En général pour déterminer Df on passe par 



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1 2 Ensemble de définition d'une fonction de deux variables On considère une fonction f de R 2 vers R : f : (x y) 



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Définition Soit A un point du plan R2 et r un réel strictement positif • On appelle boule ouverte de centre A et de rayon r l'ensemble noté B(A r) et défini 



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22 jui 2018 · Fonction de deux variables Analyse 2 x y z 1 2 Définitions Définition 1 R2 est l'ensemble des couples (xy) avec x et y des nombres 



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Définition 1 3 Soit f une fonction de deux variables définie sur un domaine D L'en- semble des points de coordonnées (x y 

  • Comment étudier une fonction à deux variables ?

    Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R ? R. Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre. On dit qu'on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y).

  • Comment trouver l'extremum d'une fonction à deux variables ?

    Si la fonction f est dérivable et a un extremum dans ] a , b [ , il est atteint en un réel c où la dérivée de f s'annule. On calcule sa valeur en ces points. On regarde la valeur de la fonction sur les bords c'est-à-dire en a et b et on compare avec les valeurs aux points où la dérivée s'annule.
  • La différentielle au point (x, y) d'une application à deux variables f est l'expression dfx,y = ?f ?x (x, y)dx + ?f ?y (x, y)dy. Les dx, dy et df de l'expression ci-dessous représentent de « petits accroissements » de la fonction et de chacune des variables respectivement.25 jan. 2012

INSTITUTUNIVERSITAIREDE TECHNOLOGIE

IUT"A"Pa ulSabatier ,Toulouse3.

DUTG´enieC ivil

ModuledeMath´ematiq ues.

MATH

EMATIQUES

El´ementsdecalculspourl'´ etude

desfonc tionsdeplusieursvariables etdes ´equati onsdi

´erentielles.

G.Ch `eze

guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http://www.mat h.univ-toulouse.fr/!cheze/Enseignements.html 2

R`egledujeu

Ceciestunsup portdecou rspou rlemoduleM3del'IUTG´enieCiv ilde Toulouse.Danscemoduleilest questiondefo nctions deplusieursvariableset d'´equationsdi

´erentielles.

Certainspassagesdecec ourscomportentdestrous, ilssontl` avolontairement. C'est`avousde lescomp l´eterduran tl'heure decour shebdomadaire.Lapar tie ducour strait´eeenamph ith´eˆatreseracompl´e t´eeet disponibler´eg uli`erementsur internet`al'adresse:http://www.ma th.univ-toulouse.fr/!cheze/. Lesexercic es`afaireenTDsetrouvent` alasuite ducoursetles corrections`ala findech aquech apitre. Jeser aireconnaissant` atoutepersonnemesignalantuneoudeserreursse trouvantdanscedocum ent.

Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!

i iiR`egledujeu

Tabledesmati` eres

R`egledujeui

IFonctionsdeplusieursvariables1

1Fonctionsdeplusieursvariables5

1.1D´efi nition.................................5

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6

1.2.1D´efin ition.............................6

1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8

1.3Exer cicesduTD.............................14

1.4Cor rectiondesexercices.........................17

2D´eriv´eespartielles,Di

´erentielles25

2.1Rapp el...................................25

2.2D´er iv´eespartielles.............................26

2.3Di

2.4Utilisa tiondesdi

´erentielles,di

´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30

2.5Exer cicesduTD.............................33

2.6Cor rectiondesexercices.........................34

3Approximationa

ne,Calculd'incertitude37

3.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37

3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39

3.3Calcu ld'erreur..............................40

3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40

3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42

3.4Exer cicesduTD.............................45

3.5Corr ectiondesexercices.........................48

4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55

4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55

4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58

4.3Exer cicesduTD.............................64

4.4Cor rectiondesexercices.........................65

iii ivTABLEDESMATI ERES II

Equationsdi

´erentielles71

1

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre173

1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73

1.1.1

Equationsdi

1.1.2Solution sd'une´equationdi

´erentielle..............74

1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75

1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi

´erentielleslin´eairesd'o rdre177

1.2.1

1.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79

1.2.3Solution g´en´erale.........................81

1.2.4Astuce s..............................81

1.3Exer cicesduTD.............................85

1.4Corr ectiondesexercices.........................87

2

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe

cientscons tants95

2.1G´en ´eralit´es................................95

2.2R´es olution.................................96

2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96

2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99

2.3Exe rcicesduTD.............................101

2.4Corr ectiondesexercices.........................102

IIIA nnexes109

AAnnalescorrig´ees111

BTrouverl'erreur121

CAlphabetgrec125

Premi`erepartie

Fonctionsdeplusieursvari ables

1 Jusqu'`apr´esentvousav ezsurtoutrencontr´edesf onctionsd'unevariable. Cepen- dantlesph´eno m`enes naturelsned´ependentpaseng´en´erald'uneseulevar iable.Par exemple:lavitessemoye nne vd´ependdeladistanceparc ourue detdu tempstmis poure ectuerceparcours,o nav=d/t.Un autree xempleestdonn´ep arlecalcul del'aired 'unrectang le:A=L"l.L 'aireestunefon ctiondelalon gueurLetdela largeurl.Da nscettepartie ,nousallons´etud ierlesfonctionsdeplus ieursvariables. Nousauronsun eattentiontoutepar ticuli`erep ourlesfonctionsdedeux variablescar danscecasnou spourr onsencor efairedesdess ins.Ensuitenousverronsquenous pouvonsaussifairedesca lculsded´eriv´ees .Celaserautilis´ epoure !ectuerdescalculs d'incertitudeetpourtrouverlesextr ema(ma ximum,minimum)d 'unefonctionde plusieursvariables. 3 4

Chapitre1

Fonctionsdeplusieursvari ables

Nousallonsdan scechapitred´ efinirlesfonct ionsdep lusieursvariables.Nousno us int´eresseronsplusparticuli`erementauxfonc tionsdedeu xvariablesetauxdive rses

1.1D´efinit ion

L'exempleleplussimpledefon ctio nsdedeux variablesestdo nn´epa rl'aired'un rectangle:A=L"l.Letl´etantdesnombresp ositifsnous repr´esentonscette fonctiondelamani`eresuiv ante: f:R "R #$R (L,l)%#$L"l R "R s'appelleledomaineded´ efin itiondelafonctionf. D'unemani`ere g´en´eralenouspouvonsavo irnvariableso`und´esigneunnombre entier. D´efinition1.Soitnunn ombreentieretDunepart iedeR n .Unefonctionfde nvariablesestunproc´ ed´e quiatoutn-uplet(x 1 ,...,x n )deDassocieununiqu e nombrer´eel.

Celasenote delaman i`eresuivant e:

f:D#$R (x 1 ,...,x n )%#$f(x 1 ,...,x n

Destle domaineded´ efinitiondef.

Remarque:Lanotation(x

1 ,...,x n )es tl`apourm ontrer quenousavons nva- riables.Enpratique,lo rsquen ousn'avonsquedeuxvariables nouslesnoton sxety plutˆotquex 1 etx 2 5

6Fonctionsdeplusieursvariables

Parexemple ,lafonctionsuivantedonn elad istanced'unpointdecoordonn´ees(x,y) `al'origin eduplan. f:R 2 #$R (x,y)%#$ x 2 +y 2 festunefon ctiondedeu xvariables,R 2 estsondom aineded´efi nition. Voici,iciunexe mpled'un efonct iondetroisvariables:( x;y;z). g:R"R"R #$R (x,y,z)%#$ xcos(y)+2y 3 z 5 gestunefo nctiondetr oisvariables,R"R"R estsondo maineded´e finition. Exercice1.Lafo rmulesuivantepermetd ed´efinirunefonctionde2v ariables: f(x,y)=ln (x)+s in(y)

1.Donner l'imagede (e,0).

2.D onnerleplus granddomainede d´efinitionpossibl epourf.

Solution:

1.f(e,0)=ln(e)+s in(0 )=1+0=1.

L'imagede(e,0)par fest1.

2.Pour queln(x)ex isteilfaut(etilsu"t)quex>0.Don cx&R

sin(y)ex istepourtouty&R.Doncy&R. Ainsileplusgra ndd omaineded´ efinitionpossiblepo urfest:R "R.

1.2Repr´es entationgraphiqued'unefonctionde

deuxvari ables

1.2.1D´efini tion

Avantdedonnerlad ´efinitio ndugraphed'unefonc tion dedeuxvariablesnous allonsrappeler cequ'estlegraphed'unefon ctiond 'unevariable.

D´efinition2.Soit

f:D#$R x%#$f(x)

Legra pheC

f def(fonctiond'uneseule variable)estl'ensemble despointsduplan deco ordonn´ees(x;f(x))avecx&D.

Celasenote :

C f ={(x,y)&R 2 |y=f(x),x&D}

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les7

Ainsipourtrac erlegraphed'un efonctiond'unevariab lenousavons rajout´e unenouvelle variabley.Legrap heestalorsunecourb edansleplan R 2 Pourlesfonct ionsded euxvariablesxetynousallonsaus sirajouterunevariablez etlegra ph eseraalorsunesurfac edel'espaceR 3

D´efinition3.Soit

f:D#$R (x,y)%#$f(x,y)

Legra pheS

f def(fonctiondedeuxvariables) estl'en sembledespoin tsdel'espace deco ordonn´ees(x;y;f(x,y))avec(x,y)&D.

Celasenote :

S f ={(x,y,z)&R 3 |z=f(x,y),(x,y)&D}

Remarque:

S f estunes urfacedan sR 3 Ach aquepoint(x,y)&DcorrespondunpointsurlasurfaceS f .Vo icicomment onplac elespointsdans unrep` ere. (x,y) z x y (x,y,f(x,y))

Figure1.1-Utilis atio nd'unrep`ere`a3dimensio ns.

Afindevous familiar iseraveclesgra phesdesfonctionsdedeuxva riablesvoici quelquesexemples.

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les9

Remarque:Cesdeuxderniersp lan snesontpa sdesrepr´ese ntationsgraphiq ues d'unefonctiond edeuxvariables(x,y).Ene !etnous nepouvonspas fairec orres- pondreunpointde(xOy)av ecunseulpoint decesp lans.

Exercice2.Soit

f:R 2 #$R (x,y)%#$x 2 +y 2

1.D´ eterminer,nommerettracerlaprojectiondans leplanxOzdeS

f {y=k} pourk=1;2;puispourk&R.

2.E stcequeS

f {y=k}estle graphed'une fonctiond'u nevariable?Sioui , laquelle?

3.D ´eterminer,nommerettracerlaprojectiondans leplanyOzdeS

f {x=0}.

4.Est cequeS

f {x=0}estle graphed'unef onctiond'une variable?Sioui, laquelle?

5.D ´etermineretnommerlaprojectiondansle planxOydeS

f {z=k}pour k=1;2;0;#1puispourk&R

6.Est cequeS

f {z=k}estle graphed'une fonctiond'u nevariable?Sioui , laquelle?

7.E nd´eduir elarepr´esentationgraphiquedef.

Solution:

1.-S f {y=1}={(x,y,z)&R 3 |z=x 2 +y 2 ,y=1}. S f {y=1}={(x,1,z)&R 3 |z=x 2 +1 2

Laproj ectiondansleplanxOzdeS

f {y=1}est: {(x,z)&R 2 |z=x 2 +1}

Nousobteno nsuneparab oledesommet(0,1).

-La projec tiondansleplanxOzdeS f {y=2}est: {(x,z)&R 2 |z=x 2 +4}

Nousobteno nsuneparab oledesommet(0,4).

-La projec tiondansleplanxOzdeS f {y=k}est: {(x,z)&R 2 |z=x 2 +k 2

Nousobteno nsuneparab oledesommet(0,k

2

10Fonctionsdeplusieursvariables

x z k 2

Figure1.4-Cou ped eS

f parleplany=k. 2.S f {y=k}estlegrap hed elafonctiond'uneseulev ariable : f y=k :R#$R x%#$x 2 +k 2 3.S f {x=0}={(x,y,z)&R 3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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