Tangente `a une courbe paramétrée
Tangente `a une courbe paramétrée. On consid`ere une courbe paramétrée c'est-`a-dire une application f : I ? R2 o`u I est.
Courbes paramétrées
Remarque. • Une courbe peut avoir une tangente verticale contrairement à ce à quoi on est habitué pour les graphes de fonctions du type y =
Sommaire 1. Courbes paramétrées
gente à une courbe paramétrée et la longueur d'un arc. La tangente est alors la droite passant par M0 et dirigée par ce vecteur.
1) Pour une courbe paramétrée 2D la pente de la droite tangente
Dec 16 2019 On commence par produire un graphique (en mode paramétrique 2D) de chacune des courbes et
Chapitre 6 Courbes paramétrées
Eventuellement si on a calculé l'équation d'une tangente
6. Études de courbes paramétrées
Exemple de courbes paramétrées : figures de Lissajous ces deux points tend vers la tangente à la courbe au point M(t0) lorsque ? tend vers zéro.
COURBES PARAMETREES
Nov 1 2004 cas
Chapitre 6 - Fonctions vectorielles et courbes paramétrées - Cours
Nous verrons ensuite comment déterminer la tangente en un point de C si cette dernière existe puis nous étudierons sa position relativement à la courbe. Nous
GÉOMÉTRIE – COURBES ET SURFACES
Une courbe paramétrée de P est un couple ? = (IM) où I est un intervalle Ainsi
Les courbes paramétrées
et cette quantité a pour limite 0 de sorte que la tangente est l'axe des x. 2) Une courbe paramétrée peut avoir une tangente sans que les fonctions x et y
[PDF] Courbes paramétrées - Exo7 - Cours de mathématiques
Dans ce chapitre nous allons voir les propriétés fondamentales des courbes paramétrées Commençons par présenter une courbe particulièrement intéressante
[PDF] Chapitre 6 Courbes paramétrées
Eventuellement si on a calculé l'équation d'une tangente on la trace Remarques : – La courbe doit être la courbe représentative d'une fonction i e il ne
[PDF] Cours 1 : Courbes paramétrées
Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support vu comme un graphe peut admettre une tangente (au
[PDF] Tangente `a une courbe paramétrée
Si la courbe admet une tangente elle est unique En effet si D et D sont deux tangentes et d et d les distances de f(t) `a ces droites on aurait
[PDF] COURBES PARAMÉTRÉES - CACSUP
On appelle courbe paramétrée (C ) l'ensemble des points M(t) de représentation paramétrique alors (C ) admet au point M(t0) une tangente verticale
[PDF] Études de courbes paramétrées - Apprendre-en-lignenet
Si x' (t0) = 0 et y' (t0) ? 0 la courbe admet une tangente verticale en M(t0) Si x' (t0) = 0 et y' (t0) = 0 la courbe admet un point singulier en M(t0)
[PDF] Chapitre10 : Courbes paramétrées (planes) - Melusine
TANGENTE CHAPITRE 10 COURBES PARAMÉTRÉES (PLANES) ‚ tM(t)t P Iu s'appelle le support de l'arc paramétré ? ou aussi la trajectoire du mobile (tel que
[PDF] Chapitre 2 — Courbes paramétrées 1 Introduction
? sur la courbe géométrique : il dit quelle est la droite tangente `a la courbe ? sur la courbe paramétrée : il donne une indication sur la façon dont la
[PDF] Courbes paramétrées - AlloSchool
Ainsi dans tous les cas la tangente en M(t) est dirigée par le vecteur ( sin(t/2) cos(t/2) ) Par symétrie M(0) est un point de rebroussement de première
Comment trouver le paramétrage d'une courbe ?
On appelle paramétrage une application f : I ? R2, o`u I désigne un intervalle (voire une réunion d'intervalles) de R et o`u f est continue. La courbe (paramétrée) associée `a f est son image C = f(I).Comment étudier des courbes dans le plan ?
Pour étudier une courbe d'équation y = f(x) (ou simplement étudier une fonction f), le schéma est le suivant : – On commence par chercher l'ensemble de définition de la fonction f. Eventuellement, si la fonction est paire/impaire, périodique, on peut restreindre l'intervalle d'étude.Comment montrer qu'une courbe est régulière ?
Définition. – Une courbe géométrique est dite RÉGULIÈRE si l'un de ses représentants ?0 : I ?? R2 ou R3 est régulier en tous points.- On dit que M est un point régulier si f?(t)?0. f ? ( t ) ? 0. Dans le cas contraire, on dit que M est un point singulier ou encore point stationnaire.
Chapitre6
Courbesparam´et r´ees
4142CHAPITRE6.COURBES PARAM
ETR EES6.1Courbesd'´ equationy=f(x)
Pour´etudierunecourb ed'´equationy=f(x)(ousimplemen t´ etudierune fonctionf),lesc h´ema estlesuivant: -Oncommence parcherc her l'ensemblede d´efinitiondelafonctionf. Eventuellement,silafonctionestpaire/impaire,p´erio dique,onp eut restreindrel'interv alled'´etude. -Onc herchesi onpeutprolongerfparcontin uit´e. -On´ etudielad ´erivabilit´ede f.Laplupart desfonctions"enpratique» sontd´erivables (etmˆemeC )surleur ensemble ded´ efinition,mais attention,¸can'estpas toujourslecas(racinecarr´ ee,arcsin...).Si ona prolong´elafonctionf,on´ etudie´egalementlad´erivabilit´eau(x)point(s) deprolongement. -On´ etudielesv ariationsdelafonctionf(laplupartdu tempsen´ etu- diantlesignedela d´eriv ´ee). -Onc hercheles limitesdefauxbornes desonensemblede d´efinition. -Onr ´esumeles deux´etapespr´ec´ edentesdans letableaude variationsde f. -Even tuellement,on´etudielesasymptotesobliques(s'ilyena). -Ontrace lacourbe. Lacourbe estunmo yender´ esumergraphiquement toutesles´ etapespr ´ec´edentes.Ilnesert` ariendeplacer´enorm´ementde pointspourlatracer.Il faut(etilsu ffi tde)placer les´ el´emen tscarac- t´eristiquesd´etermin´esau coursdel'´etude:ontracelesasymptotes,on placelesp ointso `uilyadestangenteshorizon tales,destangentesver- ticales,´ev entuellementquelquespointsparticuliers(intersectionavec lesaxes,ou lesasymptotes), etonrelie lespoin tsentenan tcomptedu tableaudev ariations.Even tuellement,sionacalcul ´el'´equationd'une tangente,onlatrace.Remarques:
-Lacourb edoitˆ etrelacourberepr´ esentative d'unefonction,i.eilne doitpasy avoir plusieurspoin tsaveclamˆemeabscisse. -Unecourb edoit ˆetretrac´eede mani`ere pr´eciseetsoign´ ee. Exemple:On´etudie lacourbed'´equation y=(x+5) x+1 x-16.2.COURBESP ARAM
ETREESENCOORDONN
EESCART
ESIENNES43
6.2Courbesparam´ etr´eesencoordonn ´eescar-
t´esiennes Danslapartie pr´ ec´eden te,l'ordonn´ee´etaitunefonctiondesabscisses:on avaity=f(x).Unecourb eparam´ etr´eeestunecourb edontl'abscisseetl'or- donn´eesonttouteslesdeux desfonctionsd'unparam`etre t,i.eil s'agitd'une courbedontl' ´equationestdelaforme x=f(t) y=g(t) o`utestlav ariable. Physiquement,celas'interpr`ete commelatra jectoired'unpointenfonc- tiondutemps :`a touttempstcorresponduneposition (f(t),g(t)). 6.2.1Etudedesbranchesinfini es
SoitM:I→R
2 unecourbe param´etr´eeet a?I.Onnote M=(x,y). D´efinition.Onditque Mposs`edeunebrancheinfinieauvoi sinage de asilim t→a ?M(t)?=+∞.Plusieurscasson tp ossibles:
-Premiercas:seulel'unedes deuxlimiteslim t→a x(t)oulim t→a y(t)est infinie(l'autreest finie).1.Silim
t→a x(t)=m?Retlim t→a y(t)=±∞,ladroite d'´equation x=m estappel ´eeasymptotedeMena.2.Silim
t→a x(t)=±∞etlim t→a y(t)=m?R,ladroite d'´equation y=m estappel ´eeasymptotedeMena. -Secondcas: lesdeuxlimites lim t→a x(t)etlim t→a y(t)sont infinies.1.Silim
t→a y(t) x(t) =0,on ditqueMposs`edeunebrancheparabolique dansladirection (Ox).2.Silim
t→a y(t) x(t) =±∞,ondit queMposs`edeunebrancheparabo- liquedansladirection (Oy).3.Silim
t→a y(t) x(t) =m?R: (a)silim t→a y(t)-mx(t) =±∞,ondit queMposs`edeune brancheparaboliquedansladirection y=mx; (b)silim t→a y(t)-mx(t) =p?R,ladroite d'´equation y=mx+p estappel ´eeasymptotedeMena.44CHAPITRE6.COURBES PARAM
ETR EES6.2.2R´eductiondudomaine d'´etude
Onconsid` eretoujoursunecourbeparam´etr ´eedonn ´eeen coordonn´eescar- t´esiennessurunintervalle r´eel I:M=(x,y):I→R 2 .Lapremi `ere´ etape deson´ etudeconsiste` areduirel'intervalled' ´etudeen s'appuyantsur unep´ e- riodicit´eou/etdessym´etries.Plusieurscas sontp ossibles.Laliste suivante n'estpasexhaustiv e.1.Caso` uI=Reto` uxetysontp´erio diquesdep´eriodeT:alors
pourtoutt?R,lep ointM(t+T)co¨ıncideav eclepointM(t).D'o` uEtudesurun interv alledelongueur T
2.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a 0eto` uxetysont
paires:alorspour toutt?I,lep ointM(-t)co¨ıncideav eclepointM(t).D'o` u
EtudesurI∩R
3.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a 0eto` uxetysont
impaires:alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´etrique du pointM(t)parrapp ort`a O.D'o`uEtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`aO4.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a 0eto` uxestpaireet y
estimpaire: alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a (Ox).D'o`uEtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`a(Ox)5.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a0eto` uxestimpaireet
yestpaire :alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a (Oy).D'o`uEtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`a(Oy)6.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a0eto` ux(-t)=y(t)et
y(-t)=x(t):alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a ladroited'´equationy=x.D'o` uEtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`ay=x6.2.COURBESP ARAM
ETREESENCOORDONN
EESCART
ESIENNES45
7.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a0eto` ux(-t)=-y(t)et
y(-t)=-x(t):alorspour toutt?I,lep oint M(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a ladroited'´equationy=-x.D'o` uEtudesurI∩R
puissym´ etrieparrapport`ay=-x8.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a
2 avecuncertainr´eel αeto` ux(α-t)=x(t)ety(α-t)=y(t):alorspour toutt?I,le pointM(α-t)co¨ıncideav eclepointM(t).Orl'application t→α-t estg´ eom´etriquementlasym´etriedeRparrapport `a 2 .Lorsquetd´ecrit 2 ,α-td´ecritquant`alui 2 .D'o` uEtudesurI∩
26.2.3Pointssingulier s
Propri´et´e:Si
f (a) g (a) 0 0 ,alorsla tangente` alac ourbe aupointde param`etreaestladr oitequi passeparlep ointdec oordonn´ees(f(a),g(a))et dirig´eeparlevecteur decoordonn´ ees f (a) g (a) .Enp articulier: -Sig (a)=0etf (a)?=0,alorsil ya unetangentehorizontale `ala courbeaupointdecoor donn´ees (f(a),g(a)). -Sif (a)=0etg (a)?=0,alorsil yaune tangenteverticale `ala courbe aupoint decoordonn´ ees(f(a),g(a)).Remarque:Sif
(t 0 )=0 etg (t 0 )=0, alorslep ointde param`etre t 0 est ditstationnaire ousingulier.Pourd ´ecrirel'allure delacourb e,nousutilisons lesDLdes fonctionsfetgauvoisinage det 0 (quandilsexisten t).Notation:si f(t)=a
0 +a 1 (t-t 0 )+···+a n (t-t 0 n +o((t-t 0 n )et g(t)=b 0 +b 1 (t-t 0 )+···+b n (t-t 0 n +o((t-t 0 n ),notonse i a i b i ,alors nous´ecriv ons:M(t)=e
0 +e 1 (t-t 0 )+···+e n (t-t 0 n +o((t-t 0 n Enfait,si fetgsontsuffisammentd´erivables, nousobtenonsuneformule deTa ylor-Youngvectorielle:M(t)=M(t
0 (t-t 0 1! M (t 0 (t-t 0 n n! M (n) (t 0 )+o((t-t 0 n46CHAPITRE6.COURBES PARAM
ETR EES avecM (k) (t 0 f (k) (t 0 g (k) (t 0 Th´eor`eme.SoientmLeplang ´en ´eralestlesuivant
-D´ eterminationdudomaine,desp´eriodeset dessym´ etries´ eventuelles ; -Calculde x (t)etde y (t),tableaude variations; -Etudedes asymptotes; -Etudedes points singuliers,calculde quelquestangentes; -D´ eterminationdespointsdoubles; -Repr´ esentationgraphique.Exemple:Etudedela courbe
M(t)= x(t) y(t) t+ 4 t-1 t+1+ 4 (t-1) 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] temps de doublement cancer
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