[PDF] Chapitre 6 - Fonctions vectorielles et courbes paramétrées - Cours

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Fonctions vectorielles et courbes paramétrées Plan du chapitreIF onctionsv ectorielles............................................2 A -

Génér alités

B - F onctionsv ectoriellesd ec lasseCk................................ 3 C - D éveloppementlimité d "unefon ctionv ectorielle ..................3 D -

F ormulessu rles dér ivées

II

C ourbespara métrées

A -

Génér alités

B -

T angenteen un p oint

C -

P ositionr elativede l acou rbeet sa ta ngente

. ......................5 D -

Lo ngueurd "unecou rbep aramétrée

................................6 III

Mét hodes

A - R estreindrel "intervalled "étuded "unec ourbepa ramétrée .........7 B -

T raceru nec ourbepa ramétréedu p lan

.............................8 C - D éterminerles point sd "inflexiond "unecou rbep aramétrée .......9Introduction D"après le cours de première année, nous savons que toute droiteDdu plan admet une représentation paramétrique de la forme

½xAEx0Åta

yAEy0Åtb où (x0,y0) est un point deDet (a,b)2R2est un vecteur directeur de la droiteD. Autrement dit, la droiteDest l"image de l"applicationf:R!R2définie par

8t2R,f(t)AE(x0Åta,y0Åtb).

L"exemple précédent peut s"étendre à d"autres types de courbes que les droites. Par exemple, le cercle de centre (x0,y0)2R2et de rayonRÈ0 est l"image de l"applica- tionf:R!R2définie par Dans ce chapitre, nous allons voir comment étudier une courbeCdéfinie comme l"image d"une applicationf:R!Rnavec les outils de l"analyse. Nous commence- rons par étendre les résultats classiques sur les fonctions à valeurs dansRaux fonc- tions à valeurs dansRn. Nous verrons ensuite comment déterminer la tangente en à la courbe. Nous terminerons ce chapitre en donnant une formule permettant de calculer la longueur de la courbeCentre deux de ses points. En physique, on peut interpréter une applicationf:R!R2comme le mouvement d"un objet dans le plan se trouvant enf(t) à l"instantt. En particulier, l"image de l"applicationfreprésente la trajectoire de l"objet. 1/ 9 au moins deux points. I -

F onctionsv ectorielles

I.A -

Géné ralitésDéfinition( Fonctionv ectorielle): Une fonction vectorielle est une application

de la formef:I!Rn.Remarque 1 :Sif:I!Rnest une fonction vectorielle, alors on peut l"écrire sous la formefAE(x1,...,xn) oùxi:I!Rest une fonction pour chaquei2J1,nK. Exemple 1 :L"applicationf:R!R2définie parf(t)AE(cos(t),sin(t)) est une fonc- tion vectorielle. On peut écrirefAE(x,y) où les fonctionsx:R!Rety:R!Rsont

définies parx(t)AEcos(t) ety(t)AEsin(t).Définition(C ontinuitée td érivabilitéd "unefonc tionv ectorielle): On considère

une fonction vectoriellefAE(x1,...,xn):I!Rnet un pointa2I. (i) O ndi tqu efest continue enasi les fonctionsxi:I!Rsont continues ena pour touti2J1,nK. (ii) O nd itqu efest continue surIsi les fonctionsxi:I!Rsont continues surI pour touti2J1,nK. (iii) O ndit q uefest dérivable enasi les fonctionsxi:I!Rsont dérivables ena pour touti2J1,nK. Dans ce cas, on notef0(a)AE(x01(a),...,x0n(a)). (iv) O nditquefestdérivablesurIsilesfonctionsxi:I!RsontdérivablessurI

pour touti2J1,nK.Exemple 2 :La fonction vectorielle de l"exemple1 est dér ivablesu rRcar les fonc-

tionsxAEcos etyAEsin sont dérivables surR. De plus, on a

8t2R,f0(t)AE(¡sin(t),cos(t)).Remarques 2 :

a) S ila fonc tionv ectoriellef:I!Rnest dérivable sur l"intervalleI, alors l"applica- tionf0:I!Rnest encore une fonction vectorielle. b)

O np eutég alementdéfin irla cont inuitéà dr oite,la c ontinuitéà ga uche,l ad éri-

vabilité à droite et la dérivabilité à gauche sur le même modèle. Illustration :Si le déplacement d"un objet dansRnest décrit par une fonction vec- toriellef:I!Rnde classeC1, alorsf0(a) représente le vecteur vitesse de l"objet à la positionf(a). En reprenant l"exemple1 , on a la représentation suivante.101f

0¡¼6

¢f

0¡3¼4

¢f

0(¼)f

0¡5¼3

¢f(¼)f

¡5¼3

¢f

¡¼6

¢f

¡3¼4

¢Proposition1 : Soientf,g:I!Rndes fonctions vectorielles et¸:I!Rune fonction réelle. (i) S ifetgsont dérivables surI, alors la fonction vectoriellefÅgest dérivable surIet on a (fÅg)0AEf0Åg0. (ii) S ifet¸sont dérivables surI, alors la fonction vectorielle¸fest dérivable surIet on a (¸f)0AE¸0fŸf0.2/9 riellefAE(x1,...,xn) :I!Rnest de classeCksurIsi les fonctionsxi:I!Rsont

de classesCksurIpour touti2J1,nK.Remarque3:Si le déplacement d"unobjetdansRnestdécritpar unefonctionvec-

toriellef:I!Rnde classeC2, alorsf00(a) représente le vecteur d"accélération de l"objet à la positionf(a).f 0(a)f

00(a)f

(a)Notation :Soitk2N. On noteCk(I,Rn) l"ensemble des fonctions vectorielles deI dansRnde classeCksurI.Proposition2 : Soitk2N. L"ensembleCk(I,Rn) est un espace vectoriel pour les lois usuelles.I.C -Dé veloppementlimité d "unefonc tionv ectorielle

Définition

(D éveloppementl imité) : Soientf:I!Rn,a2Ietk2N. La fonc- tion vectoriellefadmet un développement limité enaà l"ordreks"il existe des vecteursv0,...,vk2Rntels que pour toutt2RvérifiantaÅt2I, on a f(aÅt)AEv0Åv1tÅ¢¢¢ÅvktkÅo(tk).Remarques 4 : a) U nef onctionv ectorielleest u no(tk) si toutes ses composantes sont deso(tk). b) S il edév eloppementlimité de fau pointaà l"ordrekexiste, alors il est unique. c) L af onctionfadmet un développement limité enaà l"ordreksi et seulement si chacune des composantes de la fonctionfen admet un. d) E npratique,oncalculeledéveloppementlimitéd"unefonctionvectoriellecom- posante par composante. Exemple 3 :Avec la fonction vectorielle de l"exemple1 et aAE0, on a f(t)AEµ1

ŵ0

tŵ¡1/2 t

2ŵ0

t eta2I. Alors, on a pour toutt2RvérifiantaÅt2Ila relation f(aÅt)AEf(a)Åf0(a)1! tÅf00(a)2!

t2Å¢¢¢Åf(k)(a)k!tkÅo(tk).Remarque 5 :Par unicité du développement limité, on en déduit que sifest une

pement limité sont nécessairement donnés par

8i2J0,kK,viAEf(i)(a)i!.

3/ 9 :Soientf,g:I!Rn des fonctions vectorielles dérivables. (i) L "applications:I!Rdéfiniepars(t)AE(f(t)jg(t))estdérivablesurIetpour toutt2I, on a s

0(t)AE(f0(t)jg(t))Å(f(t)jg0(t)).

(ii) S i0 Ýf(I), l"applicationn:I!Rdéfinie parn(t)AEkf(t)kest dérivable surI et pour toutt2I, on a n

0(t)AE(f0(t)jf(t))kf(t)k.Proposition (Dérivée d"un produit vectoriel): Soientf,g:I!R3des fonctions

vectorielles dérivables. L"applicationv:I!Rdéfinie parv(t)AEf(t)^g(t) est dérivable surIet pour toutt2I, on a v

0(t)AEf0(t)^g(t)Åf(t)^g0(t).Proposition (Dérivée d"un déterminant): Soientf,g,h:I!Rndes fonctions

vectorielles dérivables. (i) S inAE2, l"applicationD:I!Rdéfinie parD(t)AEdet(f(t),g(t)) est dérivable sur l"intervalleIet pour toutt2I, on a D (ii) S inAE3, l"applicationD:I!Rdéfinie parD(t)AEdet(f(t),g(t),h(t)) est dé- rivable sur l"intervalleIet pour toutt2I, on a D

0(t)AEdet(f0(t),g(t),h(t))Ådet(f(t),g0(t),h(t))Ådet(f(t),g(t),h0(t)).II -C ourbespa ramétrées

II.A -

Gé néralitésDéfinition: Une courbe paramétrée est une fonction vectoriellef:I!Rn.Remarques 6 :

a) O nutiliselaterminologiedecourbeparamétréeàlaplacedefonctionvectorielle principalement lorsque l"on souhaite étudier l"ensembleCAEf(I) géométrique- ment. On dit queCest la courbe paramétrée parf. b) S ih:I!Rest une fonction réelle, alors sa courbe représentative C hAE{(t,h(t))2R2jt2I} ht(t,h(t))h(t)4/9 On fixe une courbe paramétrée parf:I!Rnet un pointa2I. On suppose que sit

est suffisamment proche deaet distinct dea, alorsf(t)6AEf(a).Définition(Tangente):Latangenteenf(a)àlacourbeparamétréeparfest,sous

réserve d"existence, la limite de la sécante passant parf(a) etf(t) quandt!a.Illustration:Surledessinsci-dessous,lesdroitesS1etS2sontdeuxsécantespas-

sant parf(a) etf(t) pour deux valeurs detdistinctes. La droiteTest la tangente à la courbe paramétrée parf.S 1S 2T f(t2)f(t1)f(a)Remarque 7 :Autrement dit, la tangente enf(a) à la courbe paramétrée parf existe et est dirigée par un vecteur non nulv2Rnsi et seulement si les limites lim t!aÅf(t)¡f(a)kf(t)¡f(a)ket limt!a¡f(t)¡f(a)kf(t)¡f(a)k quef(k)(a)6AE0. La tangente à la courbe paramétrée parfau pointf(a) existe et courbe paramétrée parfau pointf(a). a) O np euteff ectueru ncalcul dir ectdes d érivéessu ccessivesde fenajusqu"à en trouver une non nulle. b) O np eutc alculeru ndév eloppementlimi téde fau pointaà un ordre suffisant

pour en déduire les dérivées successives defena.Exemple 4 :La courbe paramétrée parf:R!Rdéfinie parf(t)AE(cos(t),sin2(t))

tion vectoriellefestC1et on af0(0)AE(0,0) etf00(0)AE(¡1,2).01T f (0)Définition(P ointrég ulier): On dit qu"un pointf(a) est régulier sif0(a) existe et

est non nul.Proposition3 : Si le pointf(a) est régulier, alors la tangente à la courbe paramé-

trée parfexiste et elle est dirigée parf0(a).II.C -P ositionr elativede la courb ee ts at angente

On considère une courbe paramétrée parf:I!Rnde classeC1. On suppose que les deux entiers ci-dessous existent. pAEminn qAEminn On a toujours que 16pÇqpar définition.Proposition4 : Avec les notations ci-dessus. (i) S il "entierqest pair, alors la tangente enf(a) à la courbe paramétrée parf reste du même côté de la courbe au voisinage def(a). (ii) S il"entierqestimpair,alorslatangenteenf(a)àlacourbe paramétréeparf traverse la courbe enf(a).5/9

courbe paramétrée.Remarque 9 :Sif(a) est un point d"inflexion, alorsf0(a) etf00(a) sont colinéaires.

Illustration :On peut représenter les quatre situations possibles avec les gra- phiques ci-dessous.T f (p)(a)f (q)(a)f (a)T f (p)(a)f (q)(a)f (a)pimpair,qpairppair,qpairT f (p)(a)f (q)(a)f (a)T f (p)(a)f (q)(a)f (a)pimpair,qimpairppair,qimpairII.D -L ongueurd "unecourb epara métrée

Définition

(Longueurd"unecourbe) :Soientf:I!Rnune courbe paramétré de au pointf(b) est L f(a,b)AEZ b a°

°f0(t)°°dt.Remarque 10 :Sif:I!Rndécrit la trajectoire d"un objet, alors le nombre°°f0(t)°°

est la vitesse de l"objet à l"instantt, ce qui permet d"interpréter cinématiquement la formule donnée dans la définition. Exemple 5 :On considère la courbe paramétrée parf:R!R2définie par

8t2R,f(t)AE(cos(t),sin(t)).

La longueur de la courbe du pointf(0)AE(1,0) au pointf(2¼)AE(1,0) est L f(0,2¼)AEZ 2¼

0p(¡sin(t))2Å(cos(t))2dtAEZ

2¼ 0

1dtAE2¼.

On retrouve le périmètre du cercle trigonométrique.01

¡1¡1f

(0)f (2¼)6/9 peut être trompeuse dans certains cas. Ainsi, en reprenant l"exemple précédent, on obtient que la longueur de la courbe du pointf(0) au pointf(4¼) est égale à L f(0,4¼)AEZ 4¼

0p(¡sin(t))2Å(cos(t))2dtAEZ

4¼ 0

1dtAE4¼,

tandis que le périmètre du cercle est seulement de 2¼. Cette différence provient du fait que lorsque le variabletdécrit l"intervalle [0,4¼], le point de coordonnéesf(t) fait deux fois le tour du cercle trigonométrique. De manière plus précise, la formule de la définition donne la longueur du chemin parcouru par le point de coordonnéesf(t) lorsquetdécrit l"intervalle [a,b]. Remarque 11 :Sous certaines conditions, on peut démontrer que la longueur d"une courbe paramétrée entre deux de ses points ne dépend pas de la paramé- trisation choisie. Par exemple, on considèref:R!R2une fonction vectorielle de classeC1et on définitg:R!R2parg(t)AEf(2t) pour toutt2R. Le tracé de le courbe paramétrée parfest le même que celui de la courbe paramétrée parg. De plus, on a f(a)AEg³a2 etf(b)AEgµb2 puis en utilisant le changement de variabletAE2u, on obtient que L f(a,b)AEZ b a°

°f0(t)°°dtAEZ

b/2 a/2°

°f0(2u)°°2duAEZ

b/2 a/2°

°g0(u)°°duAELgµa2

,b2 .III -Mét hodes

III.A -

R estreindrel "intervalled "étuded "unec ourbep aramétrée On considère une courbe paramétrée parf:I!R2. Nous allons voir comment

III.A.1 -Périodicité

SifestT-périodique, alors le pointf(t) est le même que le pointf(tÅT), donc il suffit d"étudierfsur un intervalle de longueurT.Propriété Restriction Transformation xetysontT-périodiques Intervalle de longueurTIdentitéIII.A.2 -Parité Sixest paire etyest impaire, alors le pointf(¡t) est l"image par la symétrie d"axe (Ox) du pointf(t). Il suffit donc de tracer la courbe paramétrée parfsur l"intervalleI\RÅ. On en déduire le tracé de la courbe sur l"intervalleIen entier en utilisant la symétrie par rapport à l"axe (Ox).

Tout les cas sont résumés dans le tableau ci-dessous.Propriété Restriction Transformation

xpaire etypaireI\RÅIdentitéxpaire etyimpaireI\RÅSymétrie par rapport à (Ox).ximpaire etypaireI\RÅSymétrie par rapport à (Oy).ximpaire etyimpaireI\RÅSymétrie par rapport àO.7/9

On considère une courbe paramétrée parf:I!R2que l"on suppose de classeC1. On souhaite tracer l"ensemblef(I). On notefAE(x,y). Méthode : Tracer une courbe paramétrée du plan 1) O nd éterminel "ensemblede défin itionde fet on essaye de restreindre l"inter- valle d"étude (voir la partie précédente). 2)

O ndr essel et ableaud ev ariationsde xetysurI.

a) O nj ustifiequ eles fon ctionsxetysont dérivables. b) O ndéter minel esréels t2Ivérifiantx0(t)AE0 ouy0(t)AE0. c)

O ndr essel et ableaude sign esde x0ety0.

d) O nen dédui tle tableau de v ariationsde xetysurI. 3) O ndét erminele stan gentesà la cour bep aramétréeà ch aquepoint f(t) pour les valeurs det2Iapparaissant dans le tableau de variations. 4)

O nt racel acou rbe.

a) O nplace sur le gr aphiquel esd ifférentspoint sf(t) pour les valeurs det2I apparaissant dans le tableau de variations. b) O ntr aceen ces point sles tan gentesà l ac ourbepar amétrée. c) O nr elieles p ointse nr espectantl estan genteset le sen sde v ariationdes fonctionsxety. 5) Afi nd "obtenirtou tela cou rbe,on eff ectuel est ransformationsqu inous on tper - mis de restreindre l"intervalle d"étude. Exemple 6 :Nous allons tracer la courbe paramétrée par la fonctionf:R!R2 définie par

8t2R,f(t)AE(cos(3t),sin(2t)).

1) La fon ctionfest 2¼-périodique, on peut donc restreindre l"étude à [¡¼,¼]. De plus, la fonctionxest paire et la fonctionyest impaire, donc on peut res- treindre l"intervalle d"étude à [0,¼]. Le reste du tracé s"en déduira en appliquant

la symétrie par rapport à (Ox).2)D ressonsu nt ableaud ev ariationspour xety. Les fonctionsxetysont déri-

vables sur l"intervalle [0,¼] et on a x

0(t)AE0, ¡3sin(3t)AE0,t2½

0,¼3

,2¼3 y

0(t)AE0,2cos(2t)AE0,t2½¼4

,3¼4 On obtient donc le tableau de variations suivant.t x 0(t)x y

0(t)y0¼

4¼

32¼33¼4¼

0¡0Å0¡0

11

¡1¡111

¡1¡1¡

p2 2p2 2

Å0¡0Å

0011

¡1¡100p3

2¡ p3 2 3) O nobser veav ecl et ableaude v ariationsque f0(t)AE(0,®) avec®6AE0 pour chaque valeurt2{0,¼/3,2¼/3,¼}. On en déduit qu"au pointf(t) correspondant, la tangente à la courbe paramétrée parfest verticale. On observe avec le tableau de variations quef0(t)AE(®,0) avec®6AE0 pour chaque valeurt2{¼/4,3¼/4}. On en déduit qu"au pointf(t) correspondant, la tangente à la courbe paramétrée parfest horizontale. 4) O npeut c ommencerà tr acerla cou rbep aramétrée. a) O nplace les point sf(t) pour chaquet2{0,¼/4,¼/3,2¼/3,3¼/4,¼}. b) O ntr acela t angenteà l acou rbeen cha cunde ces p oints. 8/ 9 se dirige vers le haut à gauche. On relie donc le pointf(0) au pointf(¼/4) en respectant les tangentes et la direction que suit la courbe. Ensuite, on répète l"opération sur les intervalles suivants. On obtient le tracé suivant de la courbe paramétré parfsur [0,¼].101

f(0)f(¼/4)f(3¼/4)f(¼/3)f(¼)f(2¼/3)5)P ourobten irle tr acésur Ren entier, il suffit d"appliquer la symétrie par rapport

à l"axe (Ox).101III.C -Dét erminerles points d "inflexiond "uneco urbepa ramétrée On considère une courbe paramétrée parf:I!R2que l"on suppose de classeC1. On souhaite déterminer les points d"inflexions de la courbe paramétrée parf. Méthode : Déterminer les points d"inflexion d"une courbe paramétrée 1) O ndéterminelesréelsa2Itelsquelesvecteursf0(a)etf00(a)soientcolinéaires en utilisant le déterminant. 2) P ourch acundes réel sa2Itrouvés précédemment, on calcul les entierspetq afin de déterminer sif(a) est un point d"inflexion de la courbe ou non. Exemple 7 :On souhaite déterminer les points d"inflexions de la courbe paramé- trée par la fonction vectoriellef:R!R2de classeC1définie par

8t2R,f(t)AE(tÅ2t2¡t3,tÅ2t2).

En notantCla base canonique deR2, on a

det

C(f0(a),f00(a))AE0,¯

1Å4a4¯

¯¯¯¯¯AE0

,12a2Å6aAE0,a2½

0,¡12

On étudie sif(0) etf(¡1/2) sont des points d"inflexion. Pour le pointf(0), on a f

0(0)AE0

1 11 A

6AE0R2,f00(0)AE0

4 41
A

AE4f0(0),f(3)(0)AE0

¡6 01 A doncpAE1 etqAE3. Commeqest impair, on en déduit quef(0) est un point d"in- flexion de la courbe paramétrée parf. Pour le pointf(1/2), on a f 0µ

¡12

AE0

¡7/4

¡11

A

6AE0R2,f00µ

¡12

AE0 7 41
A

AE¡4f0µ

¡12

,f(3)µ

¡12

AE0 ¡6 01 A doncpAE1 etqAE3. Commeqest impair, on en déduit quef(¡1/2) est un point d"inflexion de la courbe paramétrée parf. 9/ 9quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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