[PDF] Chapitre 6 Courbes paramétrées





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Tangente `a une courbe paramétrée

Tangente `a une courbe paramétrée. On consid`ere une courbe paramétrée c'est-`a-dire une application f : I ? R2 o`u I est.



Courbes paramétrées

Remarque. • Une courbe peut avoir une tangente verticale contrairement à ce à quoi on est habitué pour les graphes de fonctions du type y = 



Sommaire 1. Courbes paramétrées

gente à une courbe paramétrée et la longueur d'un arc. La tangente est alors la droite passant par M0 et dirigée par ce vecteur.



1) Pour une courbe paramétrée 2D la pente de la droite tangente

Dec 16 2019 On commence par produire un graphique (en mode paramétrique 2D) de chacune des courbes et



Chapitre 6 Courbes paramétrées

Eventuellement si on a calculé l'équation d'une tangente



6. Études de courbes paramétrées

Exemple de courbes paramétrées : figures de Lissajous ces deux points tend vers la tangente à la courbe au point M(t0) lorsque ? tend vers zéro.



COURBES PARAMETREES

Nov 1 2004 cas



Chapitre 6 - Fonctions vectorielles et courbes paramétrées - Cours

Nous verrons ensuite comment déterminer la tangente en un point de C si cette dernière existe puis nous étudierons sa position relativement à la courbe. Nous 



GÉOMÉTRIE – COURBES ET SURFACES

Une courbe paramétrée de P est un couple ? = (IM) où I est un intervalle Ainsi



Les courbes paramétrées

et cette quantité a pour limite 0 de sorte que la tangente est l'axe des x. 2) Une courbe paramétrée peut avoir une tangente sans que les fonctions x et y 



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Dans ce chapitre nous allons voir les propriétés fondamentales des courbes paramétrées Commençons par présenter une courbe particulièrement intéressante



[PDF] Chapitre 6 Courbes paramétrées

Eventuellement si on a calculé l'équation d'une tangente on la trace Remarques : – La courbe doit être la courbe représentative d'une fonction i e il ne



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Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support vu comme un graphe peut admettre une tangente (au 



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Si la courbe admet une tangente elle est unique En effet si D et D sont deux tangentes et d et d les distances de f(t) `a ces droites on aurait 



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On appelle courbe paramétrée (C ) l'ensemble des points M(t) de représentation paramétrique alors (C ) admet au point M(t0) une tangente verticale



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Si x' (t0) = 0 et y' (t0) ? 0 la courbe admet une tangente verticale en M(t0) Si x' (t0) = 0 et y' (t0) = 0 la courbe admet un point singulier en M(t0) 



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TANGENTE CHAPITRE 10 COURBES PARAMÉTRÉES (PLANES) ‚ tM(t)t P Iu s'appelle le support de l'arc paramétré ? ou aussi la trajectoire du mobile (tel que



[PDF] Chapitre 2 — Courbes paramétrées 1 Introduction

? sur la courbe géométrique : il dit quelle est la droite tangente `a la courbe ? sur la courbe paramétrée : il donne une indication sur la façon dont la 



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Ainsi dans tous les cas la tangente en M(t) est dirigée par le vecteur ( sin(t/2) cos(t/2) ) Par symétrie M(0) est un point de rebroussement de première 

  • Comment trouver le paramétrage d'une courbe ?

    On appelle paramétrage une application f : I ? R2, o`u I désigne un intervalle (voire une réunion d'intervalles) de R et o`u f est continue. La courbe (paramétrée) associée `a f est son image C = f(I).

  • Comment étudier des courbes dans le plan ?

    Pour étudier une courbe d'équation y = f(x) (ou simplement étudier une fonction f), le schéma est le suivant : – On commence par chercher l'ensemble de définition de la fonction f. Eventuellement, si la fonction est paire/impaire, périodique, on peut restreindre l'intervalle d'étude.

  • Comment montrer qu'une courbe est régulière ?

    Définition. – Une courbe géométrique est dite RÉGULIÈRE si l'un de ses représentants ?0 : I ?? R2 ou R3 est régulier en tous points.
  • On dit que M est un point régulier si f?(t)?0. f ? ( t ) ? 0. Dans le cas contraire, on dit que M est un point singulier ou encore point stationnaire.

Chapitre6

Courbesparam´et r´ees

41

42CHAPITRE6.COURBES PARAM

ETR EES

6.1Courbesd'´ equationy=f(x)

Pour´etudierunecourb ed'´equationy=f(x)(ousimplemen t´ etudierune fonctionf),lesc h´ema estlesuivant: -Oncommence parcherc her l'ensemblede d´efinitiondelafonctionf. Eventuellement,silafonctionestpaire/impaire,p´erio dique,onp eut restreindrel'interv alled'´etude. -Onc herchesi onpeutprolongerfparcontin uit´e. -On´ etudielad ´erivabilit´ede f.Laplupart desfonctions"enpratique» sontd´erivables (etmˆemeC )surleur ensemble ded´ efinition,mais attention,¸can'estpas toujourslecas(racinecarr´ ee,arcsin...).Si ona prolong´elafonctionf,on´ etudie´egalementlad´erivabilit´eau(x)point(s) deprolongement. -On´ etudielesv ariationsdelafonctionf(laplupartdu tempsen´ etu- diantlesignedela d´eriv ´ee). -Onc hercheles limitesdefauxbornes desonensemblede d´efinition. -Onr ´esumeles deux´etapespr´ec´ edentesdans letableaude variationsde f. -Even tuellement,on´etudielesasymptotesobliques(s'ilyena). -Ontrace lacourbe. Lacourbe estunmo yender´ esumergraphiquement toutesles´ etapespr ´ec´edentes.Ilnesert` ariendeplacer´enorm´ementde pointspourlatracer.Il faut(etilsu ffi tde)placer les´ el´emen tscarac- t´eristiquesd´etermin´esau coursdel'´etude:ontracelesasymptotes,on placelesp ointso `uilyadestangenteshorizon tales,destangentesver- ticales,´ev entuellementquelquespointsparticuliers(intersectionavec lesaxes,ou lesasymptotes), etonrelie lespoin tsentenan tcomptedu tableaudev ariations.Even tuellement,sionacalcul ´el'´equationd'une tangente,onlatrace.

Remarques:

-Lacourb edoitˆ etrelacourberepr´ esentative d'unefonction,i.eilne doitpasy avoir plusieurspoin tsaveclamˆemeabscisse. -Unecourb edoit ˆetretrac´eede mani`ere pr´eciseetsoign´ ee. Exemple:On´etudie lacourbed'´equation y=(x+5) x+1 x-1

6.2.COURBESP ARAM

ETR

EESENCOORDONN

EESCART

ESIENNES43

6.2Courbesparam´ etr´eesencoordonn ´eescar-

t´esiennes Danslapartie pr´ ec´eden te,l'ordonn´ee´etaitunefonctiondesabscisses:on avaity=f(x).Unecourb eparam´ etr´eeestunecourb edontl'abscisseetl'or- donn´eesonttouteslesdeux desfonctionsd'unparam`etre t,i.eil s'agitd'une courbedontl' ´equationestdelaforme x=f(t) y=g(t) o`utestlav ariable. Physiquement,celas'interpr`ete commelatra jectoired'unpointenfonc- tiondutemps :`a touttempstcorresponduneposition (f(t),g(t)). 6.2.1

Etudedesbranchesinfini es

SoitM:I→R

2 unecourbe param´etr´eeet a?I.Onnote M=(x,y). D´efinition.Onditque Mposs`edeunebrancheinfinieauvoi sinage de asilim t→a ?M(t)?=+∞.

Plusieurscasson tp ossibles:

-Premiercas:seulel'unedes deuxlimiteslim t→a x(t)oulim t→a y(t)est infinie(l'autreest finie).

1.Silim

t→a x(t)=m?Retlim t→a y(t)=±∞,ladroite d'´equation x=m estappel ´eeasymptotedeMena.

2.Silim

t→a x(t)=±∞etlim t→a y(t)=m?R,ladroite d'´equation y=m estappel ´eeasymptotedeMena. -Secondcas: lesdeuxlimites lim t→a x(t)etlim t→a y(t)sont infinies.

1.Silim

t→a y(t) x(t) =0,on ditqueMposs`edeunebrancheparabolique dansladirection (Ox).

2.Silim

t→a y(t) x(t) =±∞,ondit queMposs`edeunebrancheparabo- liquedansladirection (Oy).

3.Silim

t→a y(t) x(t) =m?R: (a)silim t→a y(t)-mx(t) =±∞,ondit queMposs`edeune brancheparaboliquedansladirection y=mx; (b)silim t→a y(t)-mx(t) =p?R,ladroite d'´equation y=mx+p estappel ´eeasymptotedeMena.

44CHAPITRE6.COURBES PARAM

ETR EES

6.2.2R´eductiondudomaine d'´etude

Onconsid` eretoujoursunecourbeparam´etr ´eedonn ´eeen coordonn´eescar- t´esiennessurunintervalle r´eel I:M=(x,y):I→R 2 .Lapremi `ere´ etape deson´ etudeconsiste` areduirel'intervalled' ´etudeen s'appuyantsur unep´ e- riodicit´eou/etdessym´etries.Plusieurscas sontp ossibles.Laliste suivante n'estpasexhaustiv e.

1.Caso` uI=Reto` uxetysontp´erio diquesdep´eriodeT:alors

pourtoutt?R,lep ointM(t+T)co¨ıncideav eclepointM(t).D'o` u

Etudesurun interv alledelongueur T

2.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a 0eto` uxetysont

paires:alorspour toutt?I,lep ointM(-t)co¨ıncideav eclepoint

M(t).D'o` u

EtudesurI∩R

3.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a 0eto` uxetysont

impaires:alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´etrique du pointM(t)parrapp ort`a O.D'o`u

EtudesurI∩R

puissym´ etrieparrapport`aO

4.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a 0eto` uxestpaireet y

estimpaire: alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a (Ox).D'o`u

EtudesurI∩R

puissym´ etrieparrapport`a(Ox)

5.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a0eto` uxestimpaireet

yestpaire :alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a (Oy).D'o`u

EtudesurI∩R

puissym´ etrieparrapport`a(Oy)

6.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a0eto` ux(-t)=y(t)et

y(-t)=x(t):alorspour toutt?I,lep ointM(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a ladroited'´equationy=x.D'o` u

EtudesurI∩R

puissym´ etrieparrapport`ay=x

6.2.COURBESP ARAM

ETR

EESENCOORDONN

EESCART

ESIENNES45

7.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a0eto` ux(-t)=-y(t)et

y(-t)=-x(t):alorspour toutt?I,lep oint M(-t)estle sym´ etrique dupoin tM(t)parrapp ort`a ladroited'´equationy=-x.D'o` u

EtudesurI∩R

puissym´ etrieparrapport`ay=-x

8.Caso` uIestsym´ etriqueparrapport`a

2 avecuncertainr´eel αeto` ux(α-t)=x(t)ety(α-t)=y(t):alorspour toutt?I,le pointM(α-t)co¨ıncideav eclepointM(t).Orl'application t→α-t estg´ eom´etriquementlasym´etriedeRparrapport `a 2 .Lorsquetd´ecrit 2 ,α-td´ecritquant`alui 2 .D'o` u

EtudesurI∩

2

6.2.3Pointssingulier s

Propri´et´e:Si

f (a) g (a) 0 0 ,alorsla tangente` alac ourbe aupointde param`etreaestladr oitequi passeparlep ointdec oordonn´ees(f(a),g(a))et dirig´eeparlevecteur decoordonn´ ees f (a) g (a) .Enp articulier: -Sig (a)=0etf (a)?=0,alorsil ya unetangentehorizontale `ala courbeaupointdecoor donn´ees (f(a),g(a)). -Sif (a)=0etg (a)?=0,alorsil yaune tangenteverticale `ala courbe aupoint decoordonn´ ees(f(a),g(a)).

Remarque:Sif

(t 0 )=0 etg (t 0 )=0, alorslep ointde param`etre t 0 est ditstationnaire ousingulier.Pourd ´ecrirel'allure delacourb e,nousutilisons lesDLdes fonctionsfetgauvoisinage det 0 (quandilsexisten t).

Notation:si f(t)=a

0 +a 1 (t-t 0 )+···+a n (t-t 0 n +o((t-t 0 n )et g(t)=b 0 +b 1 (t-t 0 )+···+b n (t-t 0 n +o((t-t 0 n ),notonse i a i b i ,alors nous´ecriv ons:

M(t)=e

0 +e 1 (t-t 0 )+···+e n (t-t 0 n +o((t-t 0 n Enfait,si fetgsontsuffisammentd´erivables, nousobtenonsuneformule deTa ylor-Youngvectorielle:

M(t)=M(t

0 (t-t 0 1! M (t 0 (t-t 0 n n! M (n) (t 0 )+o((t-t 0 n

46CHAPITRE6.COURBES PARAM

ETR EES avecM (k) (t 0 f (k) (t 0 g (k) (t 0 Th´eor`eme.Soientm6.2.4Etudepratiqued'une courbe param´etr´ee

Leplang ´en ´eralestlesuivant

-D´ eterminationdudomaine,desp´eriodeset dessym´ etries´ eventuelles ; -Calculde x (t)etde y (t),tableaude variations; -Etudedes asymptotes; -Etudedes points singuliers,calculde quelquestangentes; -D´ eterminationdespointsdoubles; -Repr´ esentationgraphique.

Exemple:Etudedela courbe

M(t)= x(t) y(t) t+ 4 t-1 t+1+ 4 (t-1) 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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