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Une fonction en informatique est similaire à une fonction mathématique c'est un objet qui prend en entrée des variables (dites variables formelles ou
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
Pour la même raison les valeurs 3
LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Avant que l'algorithme du simplexe puisse être utilisé pour résoudre un programme linéaire ce programme linéaire doit b) On résout le système pour les.
Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
Notez que le premier indice de est celui de la ligne et le second celui On décrit l'algorithme qui permet d'échelonner un système linéaire quelconque.
Analyse Numérique
Ceci explique pourquoi le second calcul est plus précis que le premier. ?1 signifie qu'on prend l'inverse de la matrice et donc qu'on résout un système.
Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes PolytechParis
2 mai 2022 Rappels mathématiques. Exemples. Propriétés. Principe général des algorithmes. Triangularisation. Forme matricielle de la triangularisation.
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est une structure d'algorithme qui répète le bloc d'instructions tant de la racine carrée sur Python qu'il faut importer à l'aide de from math import *.
Étape A : processus délimination de Gauss
La matrice U = A2 est une matrice triangulaire supérieure. Ainsi le systeme (4) (qui peut être réécrit Ux = b2) est un système triangulaire supérieur qui va
Analyse Numérique 0 0
On suppose que la matrice triangulaire inférieure L est inversible. Soit b un vecteur colonne ayant n composantes. Donner un algorithme qui permet de
Cours de mathématiques - Exo7
La seconde partie est entièrement consacrée à l'algèbre linéaire. C'est un domaine totalement nouveau pour vous et très riche qui recouvre la notion de matrice
Analyse Num´eriqueCorrig´e du TD 6
EXERCICE 1
Matrices diagonales, triangulaires
1.1 Matrices diagonales
SoitD= (dii)i=1,...,nune matrice diagonale d"ordren >0. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour queDsoit inversible. On peut repr´esenterDsous forme du tableau suivant : (d 11 ...0 d ii0 d nn))))))))Commedet D=n?
i=1d ii, on aDinversible??det D?= 0??dii?= 0,?i= 1,...,n.
1.2 Matrices triangulaires inf´erieures
SoitL= (lij)i,j=1,...,nune matrice triangulaire inf´erieure d"ordren >0. a. Sous quelle condition n´ecessaire et suffisanteLest-elle inversible?La matriceLpeut se mettre sous la forme suivant :
(l 11 l21l22......
l1ilijlii0
.ln-1n-1 l n1lnj···lnn-1lnn)))))))))))))) d"o`u la matrice triangulaire inf´erieureLpeut ˆetre caract´eris´ee par : 1 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 lij= 0 sii < j,?i,j= 1,...,n.Puisquedet L=n?
i=1l ii, on aLinversible??det L?= 0??lii?= 0,?i= 1,...,n.
b. On suppose que la matrice triangulaire inf´erieureLest inversible. Soitb un vecteur colonne ayantncomposantes. Donner un algorithme qui permet de r´esoudre l"´equation d"inconnuey:Ly=b.(1.1)
Commelii?= 0,?i= 1,...,n, la r´esolution du syst`eme (1.1) s"´ecrit y1=b1l11, y i=1 lii? b i-i-1? j=1l ijyj? ,?i= 2,...,n. (1.2) Quel est le coˆut de cet algorithme en termes d"op´erations ´el´ementaires (addi- tions, multiplications, divisions) ? Le calcul dey1demande 1 division (div) dans l"algorithme (1.2). Pourifix´e dans{1,...,n}, le calcul deyipar l"algorithme (1.2) requiert 1 division (div), i-1 additions (add) eti-1 multiplications (mult).Au total le coˆutCLde l"algorithme (1.2) est
CL= 1 div +n?
i=2? (i-1) add + (i-1) mult + 1 div? = 1 div + n? i=21 div +n-1? k=1kadd +n-1? k=1kmult (n-1)n2add +(n-1)n2mult +ndiv.
Le nombre d"op´erations ´el´ementairesCLest de l"ordre den2,i.e.CL=O(n2). 2 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/20091.3 Matrices triangulaires sup´erieures
On consid`ere une matrice triangulaire sup´erieureUd"ordren >0 . a. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour queUsoit inversible.La matriceUpeut se mettre sous la forme suivant :
(u11u12···u1ju1n-1u1n
u22u2n-1u2n......
u iiuijuin 0 u n-1n-1un-1n u nn)))))))))))))) d"o`u la matrice triangulaire inf´erieureUpeut ˆetre caract´eris´ee par : u ij= 0 sii > j,?i,j= 1,...,n.Commedet U=n?
i=1u ii, on aUinversible??det U?= 0??uii?= 0,?i= 1,...,n.
b. On suppose que la matrice triangulaire sup´erieureUest inversible. Soity un vecteur colonne donn´e ayantncomposantes. Ecrire un algorithme qui permet de r´esoudre l"´equation d"inconnuex:U x=y .(1.3)
Lesuii´etant non nuls, l"inconnuexsolution du syst`eme lin´eaire (1.3) est donn´ee par xn=ynunn, x i=1 uii? y i-n? j=i+1u ijyj? ,?i= 1,...,n-1. (1.4)Donner la complexit´e de cet algorithme.
Le calcul dexnrequiert 1 multiplication (mult) dans l"algorithme (1.4). Pourifix´e dans{1,...,n}, le calcul dexipar l"algorithme (1.4) demande 1 division (div), n-iadditions (add) etn-imultiplications. 3 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Par suite le coˆutCUde l"algorithme (1.4) est
CU= 1 div +n-1?
i=1? (n-i) add + (n-i) mult + 1 div? n-1? k=1kadd +n-1? k=1kmult + 1 div +n-1? i=11 div (n-1)n2add +(n-1)n2mult +ndiv.
Le nombre d"op´erations ´el´ementairesCUest de l"ordre den2,i.e.CU=O(n2)..Vocabulaire
L"algorithme (1.2) pour inverser les syst`emes triangulaires inf´erieurs est ditdescente ousubstitution directe. L"algorithme (1.4) pour r´esoudre les syst`emes triangulaires sup´erieurs est ditremont´eeousubstitution r´etrograde.EXERCICE 2
M´ethode d"´elimination de Gauss
2.1 Des exemples
Effectuer une ´elimination de Gauss sur les syst`eme lin´eaires suivants (2 4 41 3 11 5 6)) (x 1 x 2 x 3)) =((21 -6)) (1 0 6 28 0-2-22 9 1 3
2 1-3 10))))
(x 1 x 2 x 3 x 4)))) =((((6 -2 -8 -4))))Premier exemple
Nous ´ecrivons le premier syst`eme sous la forme du tableau (2 4 4 21 3 1 11 5 6-6)) L 1 L 2 L 3 On effectue l"´elimination de Gauss. On a successivement (2 4 4 20 1-1 00 3 4-7))
L2←L2-0.5L1
L3←L3-0.5L1(2.1)
4 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 (2 4 4 20 1-1 00 0 7-7))
L3←L3-3L2
On obtient alors le syst`eme triangulaire suivant
?2x1+ 4x2+ 4x3= 2 x2-x3= 0
7x3=-7
En utilisant l"algorithme de remont´ee (1.2) on a successivement x3=-1,x2=-1,x1= 5.
L"´elimination de Gauss ci-dessus est ditesans permutation. On peut par exemple `a l"´etape (2.1) ci-dessus, remplacer le pivot 1 par le coefficient 3 dex2de la derni`ere ligne, parce que 3>1 donne plus de stabilit´e num´erique. Dans ce cas on dit que l"on fait une ´elimination de Gauss avecpivot partiel. Dans ce contexte on obtient (2 4 4 20 3 4-70 1-1 0))
L3←→L2
(2 4 4 20 3 4-7 0 0-7373)))
L3←L3-13×L2
D"o`u on obtient le syst`eme triangulaire sup´erieur suivant ?2x1+ 4x2+ 4x3= 23x2+ 4x3=-7
73x3=73
En appliquant l"algorithme de remont´ee `a ce syst`eme on obtient x3=-1,x2=-1,x1= 5.
On peut enfin par exemple `a l"´etape (2.1) ci-dessus, remplacer le pivot 1 par le coefficient
le plus grand en module dans la sous-matrice 1-1 3 4 Ceci rend la m´ethode plus stable num´eriquement. Ici on trouve 4 comme nouveau pivot. Dans ce cas on dit que l"on fait une ´elimination de Gauss avecpivot partiel. Dans ce 5 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 contexte on obtient((2 4 4 20 3 4-70 1-1 0))
L2←→L3
(2 4 4 20 4 3-70-1 1 0))
c2←→c3 (2 4 4 20 4 3-7 0 0 74-74)))
L3←-L3+14L2
Cette derni`ere transformation donne le syst`eme lin´eaire suivant ?2x1+ 4x3+ 4x2= 2 + 4x3+ 3x2=-7 74x2=-74
Par application de l"algorithme de remont´ee au syst`eme triangulaire ci-dessus on obtient : x2=-1,x3=-1,x1= 5.
Deuxi`eme exemple
On met le deuxi`eme exemple sous forme du tableau suivant (1 0 6 2 68 0-2-2-22 9 1 3-8
2 1-3 10-4))))
L 1 L 2 L 3 L 4 puis on effectue (1 0 6 2 60 0-50-18-500 9-11-1-20
0 1-15 6-16))))
L2←L2-8L1
L3←L3-2L1
L4←L4-2L1(2.2)
La matrice obtenue apr`es la 1
i`ere´etape d"´elimination (2.2) a pour pivot 0. Pour continuerla m´ethode de Gauss, on peut soit utiliser la strat´egie de pivot partiel ou soit celle de pivot
total. Pivot partiel: on prend comme pivot le plus grand ´el´ement de la colonne (091)) 6 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 Cela revient `a ´echanger la 2i`emeet la 3i`emelignes. On obtient (1 0 6 2 60 9-11-1-200 0-50-18-50
0 1-15 6-16))))
L2←→L3
On continue l"´elimination :
(1 0 6 2 60 9-11-1-200 0-50-18-50
0 0-124
9559-1249)))))
L4←L4-19L2
(1 0 6 2 60 9-11-1-200 0-50-18-50
0 0 0 24912250)))))
L4←L4-1501249L3
On d´eduit le syst`eme triangulaire sup´erieur suivant ?x1+ 6x3+ 2x4= 6
9x2-11x3-x4=-20
-50x3-18x4=-50 2491225x4= 0
D"o`u par la formule de remont´ee on trouve
x4= 0,x3= 1,x2=-1,x1= 0.
Pivot total: On part de l"´etape (2.2) de l"´elimination de Gauss. Le plus grand ´el´ement
en module de la sous-matrice0-50-18
9-11-1
1-15 6
est-50, qui se trouve `a la 2i`emeligne et `a la 3i`emecolonne de la matrice de d´epart. On positionne-50 en pivot, en ´echangeant la 2i`emecolonne et la 3i`emecolonne : (1 6 0 2 60-50 0-18-500-11 9-1-20
0-15 1 6-16))))
c2←→c3
7 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009On continue l"´elimination :
(1 6 0 2 60-50 0-18-50 0 0 9 7425-9
0 0 1 285
25-1)))))))
L3←→L3-11
50L2L
4←→L4-15
50L2(1 6 0 2 60-50 0-18-50 0 0 9 74
25-9
0 0 0 2491
2250)))))))
L4←→L4-19L3
Ce qui conduit au syst`eme lin´eaire suivant
?x1+ 6x3+ 2x4= 6
-50x3-18x4=-509x2+74
25x4=-9
2491225x4= 0
dont la solution est x4= 0,x2=-1,x3= 1,x1= 0.
2.2 Cas g´en´eral
On consid`ere maintenant le cas g´en´eral d"un syst`eme lin´eaireAx=b. a. ´Ecrire un algorithme de r´esolution de ce syst`eme par la m´ethode deGauss.
On ´ecrit l"algorithme dans le cas avec pivot partiel. En modifiant l"´etape de la recherche de pivot, on obtient soit l"algorithme de pivot total ou soitl"´elimination de Gauss sans permutation. 8 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 //Triangulation pouriallant de1`an-1faire //Recherche du pivot partiel numlignepiv=i pourkallant dei`anfaire si|A(k,i)|>|A(numlignepiv,i)|alors numlignepiv=k finsi //On met le pivot `a sa place sinumlignepiv?=ialors //On ´echange les lignes numlignepiv et i pourjallant dei`anfaire tampon=A(numlignepiv,j)A(numlignepiv,j) =A(i,j)
A(i,j) =tampon
finpour finsi finpour //Elimination pivot=A(i,i) pourkallant dei+ 1`anfaire factpivot=A(k,i) pivot pourjallant dei`anfaireA(k,j) =A(k,j)-factpivot?A(i,j)
finpour b(k) =b(k)-factpivot?b(i) finpour 9 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 //R´esolution par la remont´eeX(n) =b(n)
A(n,n)
pouriallant den-1`a1par pas de-1faire pourjallant dei+ 1`anfaire b(i) =b(i)-A(i,j)?X(j) finpourX(i) =b(i)
A(i,i)
finpour b. Donner la complexit´e de cet algorithme. Le coˆut des op´erations calcul´e ici ne tient pas compte de la recherche du pivot.On s"int´eresse `a la partie "´elimination" de l"algorithme ci-dessus. Consid´erons la i`eme
´etape de l"´elimination,i? {1,...,n}. Pour chaque lignekallant dei+ 1 `anon fait les op´erations suivantes : - une division (div) afin de calculer une fois pour toute le coefficient permettant d"ob- tenir des z´eros sous le pivot; - une adddition (add) et une multiplication (mult) permettant de mettre `a jour chaque coefficient de la lignek, ce qui correspond `a toutes les colonnes de num´erosjvariant dei`an; - une addition (add) et une multiplication (mult) permettant de mettre `a jour le second membre de la lignek,i.e.b(k). Le nombre d"op´erations pour l"´elimination de Gauss avec prise en compte du second membre s"´ecrit donc CE=n-1?
i=1n k=i+1?1 div +?
n? j=i(1 add + 1 mult)? + 1 add + 1 mult? n-1? i=1n k=i+1?1 div + (n-i+ 1) add + (n-i+ 1) mult?
n-1? i=1? (n-i)div + (n-i)(n-i+ 1) add + (n-i)(n-i+ 1) mult? 10 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009CE=n-1?
i=1(n-i) div +n-1? i=1(n-i)(n-i+ 1)add +n-1? i=1(n-i)(n-i+ 1) mult n-1? i=1(n-i) div +? n-1? i=1(n-i) +n-1? i=1(n-i)2? add +? n-1? i=1(n-i) +n-1? i=1(n-i)2? n-1? l=1ldiv +? n-1? l=1l+n-1? l=1l 2? add +? n-1? l=1l+n-1? l=1l 2? mult (n-1)n2div +(n-1)n2add +n(n-1)(2n-1)6add
(n-1)n2mult +n(n-1)(2n-1)6mult.
Il vient le nombre d"op´erations de la partie ´elimination de l"algorithme de Gauss est de l"ordren3:CE=O(n3). Or dans l"exercice 3 on a montr´e que l"algorithme de remont´ee est de l"ordre den2,CU=0(n2). Au total l"algorithme d"´elimination de Gauss avec r´esolution du syst`eme lin´eaire
Ax=best de l"ordre den3,i.e.O(n3) o`u la matrice carr´eeAest d"ordren.EXERCICE 3
Factorisation LU
3.1 Un exemple
On revient sur la premi`ere matrice donn´ee dans l"exercice2 : (2 4 41 3 11 5 6)) Effectuer une factorisationLUde cette matrice o`uLest une matrice triangu- laire inf´erieure ayant des1sur sa diagonale etUest une matrice triangulaire sup´erieure. 11 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009D´ecompositionLU
Les mineurs principaux de la matrice propos´ee sont2??= 2?= 0,????2 41 3????
= 2?= 0,??????2 4 41 3 11 5 6?????? = 14?= 0, Donc on peut la factoriser sous la formeLUo`uLest une matrice triangulaire inf´erieure ayant des 1 sur sa diagonale etUest une matrice triangulaire sup´erieure. Identification directeComme la matrice propos´ee est d"ordre 3, on peut´ecrire compl`etementquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] algorithme recherche chaine caractere PDF Cours,Exercices ,Examens
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