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DYNAMIQUE - RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS - corrigé des exercices I Force d'inertie d'entraînement a • Le plateau en translation verticale sinusoïdale 

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MP-2TD 3 : Référentiel non-galiléen

Exercice 1D"après Oral CCP 15

xy a m O er e

θUn pendule constitué d"une bille

de massemaccrochée à un fil de longueur?. On noteragl"accéléra- tion de la pesanteur. Le pendule est posé sur un support possédant une accélération?a=a0?ex.

1 - Effectuer un bilan des forces

s"exerçant sur le pendule.

2 - Déterminer la position d"équilibre du pendule notéeθeq.

3 - En posantθ(t) =θeq+ε(t)avecε(t)<<1, déterminer la pulsation des

petites oscillations autour de la position d"équilibre.

Exercice 2D"après CCP 17

Le système précédent est maintenant disposé sur un vibreur effectuant un mouvement de va-et-vient selon l"axeOx. Le mouvement du pointOdans le référentiel galiléen du laboratoire est alors donné par : x

O= X0cosωt

xO Ry z

ereC1 - Justifier que le référentiel associé à la cavité est un référentiel non-galiléen.2 - En négligeant les frottements et dans l"hypothèse des petits angles (|θ|<<

1), montrer que l"équation différentielle vérifiée parθ(t)peut s"écrire sous la

forme :

θ+ω20θ=ω2X0R

cosωt

3 - Six0(t) = X0cosωt, déterminer l"amplitude des oscillationsΘ(ω), où

θ(t) = Θ(ω)cos(ωt+φ).

4 - ReprésenterΘen fonction deω. Les hypothèses du modèle sont elles

toujours vérifiées?Figure1 - Simulation avecθ(0) = 1◦,X0/R = 0,1,f= 0,3, avecω=ω0

(gauche) etω= 10×ω0(droite)

5 - Une résolution numérique, en tenant compte d"un frottements solide,

conduit aux résultats suivants (cf. fig.1). Commenter les graphiques obtenus.

Exercice 3D"après Banque PT 05

?Figure2 - Sismomètre.Un sismomètre pendule est constitué d"une massemreliée à un châssis solidaire du sol auquel on associe le référentielR?. Ce dernier vibre avec une amplitudeu=u0cosωtpar rap- port à un référentielRgaliléen. La liaison de mau bâti est modélisée par un comportement

élastique de constante de raideurket de lon-

gueur à vide?0, associé à un frottement fluide caractérisé par la constanteγ.

M. BARTHES

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1 - Déterminer la longueurZ0du ressort

lorsque le système est au repos en l"absence de tremblement de terre.

2 - En raisonnant dans le référentiel non galiléenR?lié au sol, on pose

Z(t) =z?(t)-Z0

Montrer que l"équation différentielle du mouvement s"écrit

Z +ω0Q

Z +ω20Z =-¨u

3 - Dans le cas de mouvements très rapides (de hautes fréquences), quel est le

terme prépondérant (dans le premier membre). En déduire ce que représente Z(t).

4 - Même question dans le cas de mouvements très lents.

Exercice 4D"après Oral CCP 17

Un camion muni d"une benne accélère avec une accélération uniforme?a= a

0?ex. On noteφl"angle formé par l"horizontal et la benne du camion. Un sac

de sable de massemest posé sur la benne.xy x'y' a m1 - Rappeler les lois de Coulomb.

2 - Effectuer un bilan des forces s"exerçant sur le sac de sable.

3 - Déterminer une condition sura0pour que le sac de sable soit immobile

dans le référentiel du camion.

4 - Dans le cas où le sac glisse, déterminerx?(t).

5 - Reprendre les questions avecφ(t) = 0 +ωt.

Exercice 5D"après Oral CCP 05θ

θere

z m aO M

HUn cerceau de rayonatourne autour de l"axeOz

à vitesse angulaire constanteω. Une perle de masse mse déplace sans frottement sur le cerceau. Dans le référentiel du cerceau en rotation, on définit une force d"inertie (communément appelée force centri- fuge) donnée par

Fie=mω2?HM

avecHprojeté orthogonal deMsur l"axe de rotation.

1 - Déterminer l"énergie potentielle de pesanteurEP,pesen fonction dem,g,a

etθ. On prendra une énergie potentielle nulle enθ= 0.

2 - Montrer que l"énergie potentielle associée à la force d"inertie d"entraînement

est de la forme : E

P,ie=-12

ma2ω2sin2θ

3 - Déterminer l"énergie potentielle totale de la perle dans le référentiel tournant

avec le cerceau et en déduire les positions d"équilibre de la perle selon les valeurs deω.

4 - Discuter la stabilité de ces positions d"équilibre en fonction deω. Tracer

l"allure de l"énergie potentielle pourω= 0etω >?g/a.

Exercice 6D"après CCP 18

Figure3 - Manege PoussPouss de fête

foraine.À partir de la figure ci-dessous, calculer la vitesse de rotation du manège (en tour.min -1).

M. BARTHES

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