[PDF] Chapitre 3: Mesures de tendance centrale et de position

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MESURES DE TENDANCE CENTRALE ET DE POSITION 29

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- Jt 2021 Chapitre 3: Mesures de tendance centrale et de position

Il utilise les statistiques comme l'ivrogne les

lampadaires, pour s'appuyer plutôt que pour s'éclairer.

Andrew Lang

Introduction

Nous avons vu aux chapitres précédents comment résumer un grand nombre de données sous la forme de tableaux ou de diagrammes. Il est pourtant souvent possible de caractériser une distribution de manière beaucoup plus succincte par une mesure de l' "emplacement" du centre et une mesure de la dispersion des observations autour de ce centre. Dans ce chapitre, nous examinerons la première des deux caractéristiques d'une v.s quantitative soit les mesures de tendance centrale. On peut distinguer trois types de mesure relative au centre de la distribution qui sont utilisés les plus fréquemment: la moyenne, la médiane et le mode. §3.1 Les mesures de tendance centrale d'une variable discrète (k modalités)

La moyenne arithmétiquex :

x =n 1 x 1 +n 2 x 2 +...+n kx k n 1 +n 2 +...+n k Cette écriture étant un peu "lourde", on va simplifier son

écriture à l'aide du signe

(sigma majuscule) indiquant une somme.

Nous obtenons alors: x =1

Nn i x i i=1k ou x =f i xi i=1k

La médiane M:

La médiane M d'une variable discrète est la première modalité dont la fréquence cumulée croissante atteint ou dépasse 50%.

Le Mode M0

Le Mode M

0 d'une variable discrète est la modalité qui a le plus grand effectif ou la plus grande fréquence. Une variable statistique est dite plurimodale si elle a plusieurs modes.

30 CHAPITRE 3

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Modèle 1:

Considérons le nombre de personnes par ménage dans le canton de Neuchâtel en 1980. x i n i

1 20'734

2 20'798

3 10'067

4 10'381

5 3'053

6 832

Totaux:

Dans ce tableau, nous avons x

1 = 1, x 2 = 2, ..., les x i représentent le nombre de personnes par ménage. n 1 = 20'734, n 2 = 20'798,..., les n i indiquant le nombre de ménages comportant x i personnes. Calculons les mesures de tendance centrale de cette distribution.

Exercice 3.1:

Calculer la moyenne, la médiane et le mode de la v.s suivante:

Modalités Effectifs

10 2 11 3 12 7 13 9 14 14 15 8 16 3 17 1 MESURES DE TENDANCE CENTRALE ET DE POSITION 31

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Exercice 3.2:

a) Déterminer la médiane de cette liste de valeurs classées par ordre de grandeur: {1; 3; 7; 11; 12} b) Que pourrait être la médiane de cette liste contenant un nombre pair de valeurs ? {1; 3; 7; 11; 12; 15} §3.2 Les mesures de tendance centrale d'une variable continue

La moyenne arithmétiquex :

La moyenne arithmétique x d'une variable statistique continue est calculée comme si toutes les données étaient situées aux centres des classes x i . On retrouve donc: x =1 Nn i x i i=1k ou x =f i x i i=1k Le calcul de la moyenne avec les effectifs donne souvent des grands nombres. Il est préférable de travailler avec les fréquences (2

ème

formule). On ajoute au tableau de distribution des fréquences la colonne des termes f i

· x

i

Exercice 3.3:

Le club PAD organise un grand tournoi de quilles. Voici le tableau de distribution des scores: [b i-1 ; b i [ n i [120 ; 140[ 1 [140 ; 160[ 9 [160 ; 180[ 22 [180 ; 200[ 51 [200 ; 220[ 12 [220 ; 240[ 5

Totaux 100

Déterminer la moyenne des scores obtenus.

La médiane M:

La classe médiane d'une variable continue est la première classe où la fréquence cumulée atteint ou dépasse 50%. Pour définir plus précisément la médiane M, on suppose que les données de la classe médiane sont réparties uniformément et on interpole:

32 CHAPITRE 3

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- Jt 2021 Graphiquement, sur une courbe de fréquences cumulées: On généralise ceci grâce à la formule: M=b i1 +0,50F i1 f i L i avec b i-1 la borne inférieure de la classe médiane; F i-1 la fréquence cumulée de la classe qui précède la classe médiane; f i la fréquence de la classe médiane L i la largeur de la classe médiane.

Graphiquement, sur un histogramme:

La médiane d'une variable statistique continue est la valeur qui divise l'histogramme en deux parties de la même aire.

246810121416182022

4 8 12 16 20 24
28
32
36
40
MESURES DE TENDANCE CENTRALE ET DE POSITION 33

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Modèle 2 :

On considère la v.s continue donnée dans le tableau suivant: [b i-1 ; b i [ n i f i F i [30 ; 40[ 4 [40 ; 50[ 7 [50 ; 60[ 11 [60 ; 70[ 12 [70 ; 80[ 8 [80 ; 90[ 5

Totaux 47

Déterminer la médiane de cette v.s.

Exercice 3.4:

Calculer la moyenne et la médiane de la v.s continue suivante: [b i-1 ; b i [ n i [0 ; 2[ 3 [2 ; 4[ 8 [4 ; 6[ 15 [6 ; 8[ 14 [8 ; 10[ 6 [10 ; 12[ 2

Totaux

Exercice 3.5:

Démontrer la formule générale M=b

i1 +0,50F i1 f i L i

34 CHAPITRE 3

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Le mode M

0 La classe modale d'une variable continue est la classe qui a le plus grand effectif ou la plus haute fréquence. À l'intérieur de la classe modale, on peut définir plus précisément le mode M 0 proportionnellement aux différences d'effectifs de la classe modale avec ses deux classes voisines:

Graphiquement, sur un histogramme:

On généralise ceci grâce à la formule: M 0 =b i1 1 1 2 L i avec b i-1 la borne inférieure de la classe modale; 1 la différence d'effectif entre la classe modale et la classe précédente; 2 la différence d'effectif entre la classe modale et la classe suivante; L i la largeur de la classe modale.

Modèle 3 :

On considère la v.s continue donnée dans le tableau suivant: [b i-1 ; b i [ n i [30 ; 40[ 4 [40 ; 50[ 7 [50 ; 60[ 11 [60 ; 70[ 12 [70 ; 80[ 8 [80 ; 90[ 5

Totaux 47

Déterminer la mode de cette v.s.

12345678910111213

1 2 3 4 5 6 7 8 9 MESURES DE TENDANCE CENTRALE ET DE POSITION 35

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Exercice 3.6:

Calculer le mode de la v.s continue suivante:

[b i-1 ; b i [ n i [0 ; 2[ 3 [2 ; 4[ 8 [4 ; 6[ 15 [6 ; 8[ 14 [8 ; 10[ 6 [10 ; 12[ 2

Totaux

Exercice 3.7:

Démontrer la formule générale M

0 =b i1 1 1 2 L i

Exercice 3.8:

On a mesuré la taille des 50 professeurs de la HEG:

Taille en cm

Nombre de

professeurs [130 ; 140[ 2 [140 ; 150[ 4 [150 ; 160[ 7 [160 ; 170[ 8 [170 ; 180[ 15 [180 ; 190[ 10 [190 ; 200[ 4 Calculer les mesures de tendance centrale puis les représenter sur l'histogramme suivant:

Exercice 3.9:

Le but de cet exercice est de montrer que (x

i x ) i=1n =0, c'est-à- dire que la somme des écarts à une moyenne est égale à zéro. a) Vérifier ceci avec x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3. b) Généraliser.

130140150160170180190200

2 4 6 8 10 12 14 16

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- Jt 2021 §3.3 Les mesures de tendance centrale à l'aide d'OpenOffice

Exercice 3.10:

On reprend les données de l'exercice 3.8, et on veut calculer les mesures de tendance centrale à l'aide d'OpenOffice. a) Recopier ci-dessous les formules, à indiquer dans les cellules suivantes:

Cellule F9: ........................

Cellule G2: ........................

qui pourra être copié vers le bas à l'aide de la poignée

Cellule H2: ........................

qui pourra être copié vers le bas à l'aide de la poignée

Cellule I2: ........................

qui pourra être copié vers le bas à l'aide de la poignée

Cellule I9: ........................

Cellule J3: ........................

qui pourra être copié vers le bas à l'aide de la poignée

Cellule G12: ........................

Cellule G14: ........................

Cellule J12: ........................

b) Reproduisez cette feuille OpenOffice.

Exercice 3.11:

Voici un résumé de l'échelle des salaires annuels des ouvriers de la compagnie CLOCK

Salaire annuel

Nombre

d'ouvriers

Salaire annuel

Nombre

d'ouvriers [24000 ; 26000[ 3 [32000 ; 34000[ 17 [26000 ; 28000[ 7 [34000 ; 36000[ 8 [28000 ; 30000[ 10 [36000 ; 38000[ 8 [30000 ; 32000[ 13 [38000 ; 40000[ 4

Calculer les mesures de tendance centrale.

MESURES DE TENDANCE CENTRALE ET DE POSITION 37

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Exercice 3.12:

On a fait une enquête auprès des 40 élèves de la classe du professeur MATHS. On leur a demandé le nombre d'enfants dans leur famille, leur âge et leur revenu au cours de l'été dernier. On a condensé les réponses dans les tableaux ci- dessous:

Nombre

d'enfants

Nombre

d'élèves

Âgé

Nombre

d'élèves

1 12 [17 ; 18[ 6

2 10 [18 ; 19[ 14

3 8 [19 ; 20[ 12

4 4 [20 ; 21[ 5

5 3 [21 ; 22[ 2

6 1 [22 ; 23[ 1

7 1 8 1

Revenu

Nombre

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