[PDF] Chapitre 3 - Échantillonnage et estimation

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Chapitre3

Échantillonnageetestimation

3.1Introduc tion

Lathéoriedel'éch antillonnageétudielesliensent reunepopu lationetdeséch antillonsdecet tepopu-

lation.Àpartird'inform at ionsrelativesàlaloi d'unevariableXpourunepopu lationdon née,onendéduit

lecompo rtementd'échantillonsaléatoir essimplesrelatifsàcettevariable.

Danslaprati quec'est leproblèmeinversequisepos e.Engénéralo nnecon naîtpaslaloideX,on neconna ît

pastouss esparamètreseto nsouha iteobtenirdesinformationsàpa rt irdel' observationd'unéchantillo n.

Cepr oblèmefaitpartiedelathéoriedel'es timation.

Souventons'intéresse àlaval eurd'unparamètrebienprécisdelal oid eX,esp érance,variance,propor tion.

Cepa ramètrenoté!estappel éparamètred'intérêt,c'es tunnombre dontla valeurestinconnue.On

chercheàévaluercenomb reà partirdel'obser vat iond'unéchantillon. Àp artirdesdonnéesdel'ob servat ion

d'unéchantil lon,ondétermineunevaleurnumérique !qu'onappelleestimationponctu elledupara- mètred' intérêt. Onpeuta ussidéfini runintervalledeconfianc ec'est-à-diredéterminerunintervalle[! 1 2 ]quicontien t lavrai evaleurduparamèt re!inconnuavecunegrand eprobabil itéfixéeàp riori.

Exemple3.1.1 Onveutes timerl'esp érancemathématique delavariableX,"n otedesétudiantsà l'exa-

men",vérifiant X!N(m,").On prélève 50copiesdanslapop ulatio n,onlescorrig e,onobtient50n otes

x 1 ,x 2 ,...,x 50
eton détermin elamoyennedecetéchantill onx= x 1 +x 2 +...+x 50
50
,on obtient 9,1.Intui- tivementonpeutestimermpar9,1.On ditq ue9,1estunees timation ponctuelledem.On remarq uequesi onavai tprisunautreéch antillon,l' estimat ionseraitdi

érente.Onpourr aitaus siconclurequelamoyenne

mappartiendraitàl'intervalle[8,4;9,8]avecunepr obabilité de0,9parexemple.L'intervalle[8,4;9,8]est

alorsunintervall edecon fianceaurisqued'erreur0,1.

3.2Estima tionponctuelle

3.2.1In troduction

L'ensembledeshypothèsesrelati vesaupr oblèmed'estimationdepara mètreestappelémodèlestatis-

tique.Cel ui-cicomprend: - deshypo thèsesrelativesàlaloidelava riableX,pa rexempleX!N(m,"),met"étantinconnus , ouXsuituneloiin connue.Lep aramètre!doitêtredéfini ,parexemple !=E(X),!="(X),!=p. Onécrira X!l(x,!)oùxestlaréa lisat iondeX. 41

42CHAPITRE3.ÉCHANTILLONN AGEETE STIMATION

- Lamétho dedeconstructionde l'échan tillondoitêtreprécisée,échantillonaléa toires impleparexemple.

Onn'ut iliseradanscecoursquedeséchantill onsaléatoires sim ples.

Rappelsurlechoi xd'unéchan tillon :Les échant illonsétudiéssonttousaléatoires,lehasar dintervientdans

lechoi xdeleurséléments.Cepen dantd euxprocéduresson tpossiblespourconst ruireunéchantillon aléatoire:

- échantillonnonexhaustif:pourcons truireunéc hantillondetaillen,on procède parntiragesau hasardavecremise(rem isedel'i ndividudanslapopul ationaprèschaqueti rage),

- échantillonexhaustif:pourconstru ireunéchantillondetaille n,on procèd eparntiragesauhasard

sansremiseoup arletiragesimu ltanéd enindividus. Silapo pulati onesttrèsgrande,onpeutconsidérerunéch antil lonexhaust ifcommenonexhaustif. Rappelsurleséchan tillonsa léatoiresi mples:On considèr el'exemplesuivant.

Exemple3.2.1Considéronsunéconomistechargéd eréali serunétudedemarchépourune entreprisequi

souhaitelancerunenouvelle marquedefromage. Ilcommencepa ranalyserlaconsommatio ndefromageen

France.Ildoitréali seruns ondageetdemand erauxpersonnesinterro géescomb iendefoisellesontconsommé

defroma gelasemainedernière.L aconsom mationdefromageestex trêmementvariableetin certaine. Cer-

tainesn'enmangent jamais,d'a utresenmangentplusieu rsfoisparjour.Onado ncungrandnombrede

réalisationspossibles.Àchacunedecesr éalisationspotentiellesestassoci éeun eprobabilité,lacons ommati on

hebdomadairedefromageestdoncunevari ableal éatoire.NotonsXlaquan titéconsomméeetplusprécisé-

mentlenom bredefo isparsemainequ'uni ndivid umangedufr omage.Cett evariableXaunedistribution

deprob abilité,uneloiqu'onnotel(x).L' espéranceetlavariancedeXsontdeuxpara mètresdecette loi.

X!l(x,m,")avecm=E(X)et"="(X).Àpriori,laloideX,met"sontinconnus. Considéronsun

prélévementauhasarddenindividusavecremisedanslapop ulation.O bserverlesquantit ésconsommées

defroma gepourcesnindividusrevientàobserverlaréal isationdelavar iab leXpourcesnindividus, choisisauhasard,indépen dammen tlesunsdesautresetavecrem ise.Lesconsommationsdecesnindividus peuventêtreconsidéréescom menvariablesaléatoiresX 1 ,X 2 ,...,X n indépendantesetdemêmeloiqueX c'est-à-direl(x,m,").

Lesnvariablesaléatoiresindépendant esX

1 ,X 2 ,...,X n constituentunéchantillonaléato iresim pledela variableXsietseu lements i E(X 1 )=E(X 2 )=...=E(X n )=E(X)=m, "(X 1 )="(X 2 )=...="(X n )="(X)=". Unefoiscesnpersonnesinterrogées,ond isposedenvaleursnumériquesdesq uantitésconsommées.On

appellecesnvaleursnumériquesobser vationsouencoreréalisation s.Cesontdesnombresréelsqu'onnotera

x 1 ,x 2 ,...,x n Onconsi dèredoncunmodèlestatis tiqueX!l(x,!)etun échanti llonaléatoiresimpleX 1 ,X 2 ,...,X n

Onrecher cheunestatistiquefonct iondesvari ablesX

1 ,X 2 ,...,X n susceptibledefournirlameilleure esti- mationpossibledup aramètred'intérêt.Cettestat istiqu eestappeléeestimateur.

X!l(x,m)

X 1 ,X 2 ,...,X n x 1 ,x 2 ,...,x n Remarque3.2.1Danslecasdela variab le"no te",onp ourrai tprendrecommeestimationdem: x 1 +x 50
2 x 1 +x 3 +x 5 +...+x 49
25
x 2 +x 4 +...+x 50
25

Dèslors leproblèmeestcel uiduc hoixd'unestimateur.Commen tvat- ondéciderquel lestat istiqueutiliser

enfon ctionduparamètre!recherché?

3.2.ESTIMATIO NPONCTUELLE43

3.2.2Estima teursansbiais

Définition3.2.1SoitX!l(x,!)unmodèl estatistiqueet soitX 1 ,X 2 ,...,X n unéchan tillonaléatoire simpledeX.Onappelleestimateursansbiaisdupar amètre!toutestatistiq ueT=T(X 1 ,X 2 ,...,X n tellequeE(T)=!. Définition3.2.2SiE(T)!=!,Testbiaiséetle biaisvautE(T"!)=E(T)"!.

Considéronsdi

érentesstatisti quesainsiquedestiragesnonexhaustifs(lest iragesontlieuavec remise):

1.Prenonsl'exempledela statistiquemoyenneécha ntillo n.

Supposonsquenousnousintéress onsparexemp leàl'espérance delaconsommat ionhebdomadaire defroma ge.Onconstitueunécha ntillo naléatoiresimpleentiranta uhasar dnpersonnesdelapo- pulation.Unenquêteurlesinterro geetobt ientlesréalisationsnumér iquesx 1 ,x 2 ,...,x n desnva- riablesaléatoiresX 1 ,X 2 ,...,X n .La variab lealéatoire"consommationm oyenne"estX= n i=1 X i n X 1 +X 2 +...+X n n etla réalisa tiondelavariableXestx= x 1 +x 2 +...+x n n Onremar queraquelaconsommationmoy ennexdel'éch antillonvarieenfonctiondel'échantillon, c'est-à-direquepourdeséchantillo nsdi érents,onobtientd esmoyenn esd'échantillonsdi

érentes.

Définition3.2.3Lava riable

X= X 1 +X 2 +...+X n n estappelée variablemoyenneéchantillon . Sil'on considèreparexem ple20échantillonsdeta illen,on obtient lamoyennex 1 ,x 2 ,...,x 20 de chacundeceséchantil lons. Onp euts'attendreàcequeces20valeurssoientproch esdel'es pérance mdelacon somma tionhebdomadaire. - Espérancedelavariablem oyenne: soitX 1 ,X 2 ,...,X n

àlavariableX.Pouri=1,2,...,nonaE(X

i )=E(X)=m.DoncE(X)=E n i=1 X i n 1 n E n i=1 X i 1 n n i=1 E(X i nm n =m. - Variancedelavariablemo yenne: pourivariantde1àn,V(X i )=V(X),les varia blesX 1 ,X 2 ,...,X n sontindépendan tesdoncV(X)=V n i=1 X i n 1 n 2 V n i=1 X i 1 n 2 n i=1 V(X i nV(X) n 2 V(X) n #"(X)= n

Proposition3.2.1X=

X 1 +X 2 +...+X n n estunestimat eurs ansbiaisde!=mcarE(X)=m.

2.Prenonsl'exempledelas tatistiquevarianceécha ntillo n.

Reprenonsl'exemplesurlaco nsommationdefromage.La variabili tédesc omportementsindividuelsde

laconso mmationestmesuréeparl'écart-type"delacon sommat ionX.On considèr eunn-échantillon

aléatoiresimpleX 1 ,X 2 ,...,X n deXetla stati stique 2 1 n n i=1 (X i "X) 2 1 n n i=1 X 2 i "(X) 2

Laréali sationdecettevariablealéatoire!

2 estlava rianced el'échantillon,notée

44CHAPITRE3.ÉCHANTILLONN AGEETE STIMATION

2 1 n n i=1 (x i "x) 2 1 n n i=1 x 2 i "(x) 2 Déterminonsl'espérancedelavaria blevariance:onaE(! 2 )=E 1 n n i=1 X 2 i "X 2 =E 1 n n i=1 X 2 i E X 2 .Do nc,E(! 2 1 n n i=1 E(X 2 i )"E X 2 1 n n i=1 V(X i )+E(X i 2 "(V(X)+E(X) 2 ).En utilisantlesformulesprécédentesrel ativesà lavariablemoyenneéc hantillon,ontrouve E(! 2 1 n n i=1

V(X)+E(X)

2 V(X) n +E(X) 2 =V(X)" V(X) n 1" 1 n 2

Proposition3.2.2!

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