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D´ecision dans l"incertain

Ecole des Ponts, Avril/Mai 2020

JEAN-PHILIPPECHANCELIERBERNARDLAPEYRE

2

Table des mati`eres

1 Choix optimal de portefeuille5

1.1 Probabilit

´e, Esp´erance, Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 TD : Portefeuille de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Cha

ˆıne de Markov37

2.1 Loi et cha

ˆıne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 TD : Test d"

´equir´epartition, calcul de prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Arr

ˆet optimal73

3.1 Temps d"arr

ˆet, Arrˆet optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3 TD : Recrutement optimal, Options am

´ericaine . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Contr

ˆole optimal109

4.1 Contr

ˆole optimal`a un pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3 TD : Le probl

`eme du vendeur de journaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 Contr

ˆole optimal d"une chaˆıne de Markov137

5.1 Contr

ˆole optimal`a un pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.3 TD : Le probl

`eme du vendeur de journaux (cas dynamique) . . . . . . . . . . . 151 3

4TABLE DES MATI`ERES

FonctionnementRendement d"un actifRappelsChoix de portefeuille: théorie de MarkowitzCompléments algorithmiques(bio et biblio)graphie

Probabilité, Espérance, Variance

CHOIX OPTIMAL DE PORTEFEUILLE

0.000.050.100.150.200.250.30

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Caracteristiques du rendement des portefeuilles

Ecart type du rendement

Moyenne du rendement

Bernard Lapeyre

http://cermics.enpc.fr/~bl Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 20201 / 31

FonctionnementRendement d"un actifRappelsChoix de portefeuille: théorie de MarkowitzCompléments algorithmiques(bio et biblio)graphie

PLAN

1Fonctionnement

2Rendement d"un actif

3Rappels

4Choix de portefeuille: théorie de Markowitz

5(bio et biblio)graphie

Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 20202 / 31 5

FonctionnementRendement d"un actifRappelsChoix de portefeuille: théorie de MarkowitzCompléments algorithmiques(bio et biblio)graphie

FONCTIONNEMENT DU COURS

Site du cours

?6 séances : 1h de cours, 1h30 de TP informatique ?une conférence qui remplace le dernier cours (le 29 mai) ?Enseignants (cours) : -Jean-Philippe Chancelier (jean-philippe.chancelier@enpc.fr) -Bernard Lapeyre (bernard.lapeyre@enpc.fr) ?Enseignants (TPs informatiques) : -Oumaïma Beincheikh (oumaima.bencheikh@enpc.fr) -Adel Cherchali (cherchaliadel@gmail.com) -Hachem Madmoun (hachem.madmoun@enpc.fr) -Sophian Mehalla (Sophian.Mehalla@milliman.com) ?Language de programmation:Python. ?[Scicoslab(Matlab clone) possible si souhaité.] Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 20203 / 31

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ORGANISATION ET RÈGLES DE VALIDATION

Organisation

?une semaine entre le cours et le TD correspondant ... ?... pour: lire le cours, faire les exos, préparer le TP info ?une feuille d"exos par séance disponible sur le site

Évaluation

?présence vérifiée en cours et en TD ?pas de contrôle formel à l"issue du module ?...saufsi plus d"une absence constatée (examen dans ce cas) ?rendu (individuel) de l"un des 5 TP informatiques rédigé endétails (LATEX suggéré). Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 20204 / 31 6

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OBJET DU COURS

Exposer dessituationsoù la modélisation probabiliste est utile/indispensable pour prendre des décisions. ?Décrire un outil nouveau (leschaînes de Markov) et montrer comment cet outil peut être utilisé de façon effective. ?Implémenter les méthodes mathématiques proposées. Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 20205 / 31

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AUJOURD"HUI...

Des rappels de probabilité (espérance, variance, ...) ?Théorie du portefeuille de Markowitz.

?Pourquoi des actifs (actions,...) ayant des rendements auxcaractéristiques diverses peuvent ils coexister ?

?Comment s"y prendre pour optimiser un portefeuille d"actif? Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 20206 / 31 7

FonctionnementRendement d"un actifRappelsChoix de portefeuille: théorie de MarkowitzCompléments algorithmiques(bio et biblio)graphie

LE RENDEMENT D"UN ACTIF

Actifi(action, obligation, ...) derendement Ri

?Rendement = sur une période de temps donnéeT:

1E à l"instant 0 va rapporter(1+Ri)E enT.

?Plusieurs actifs (ex CAC40i=1...40), vecteur de rendement

R= (R1,...,Rn).

?Rendementsdéterministeset unmarchéoù l"on peut acheter et vendre ces actifs, tous lesRidoivent être égaux. ?Mais c"est un fait d"expérience que les rendements des actifs n"ont pas des caractéristiques identiques: il estnécessairede les supposeraléatoires: “Risk is not an add-on"1... ?ce qui nous amène à quelques rappels de probabilité ...

1Voir R.C.Merton interviewed in [Bernstein(2007)].

Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 20207 / 31

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PROBABILITÉ ET ESPÉRANCE:RAPPELS

Description d"un expérience aléatoire : uneprobabilité, sur(Ω,A),

Pqui opère sur des ensembles deA.

i≥1Aisignifie une réunion dénombrableetdisjointe. P i≥1A i) i≥1P(Ai) ?À une probabilitéPest associée une espéranceE(qui opère sur des variables aléatoires à valeurs dansR) ?E(1A) =P(A). ?linéarité(XetYpositifs ou intégrables,Xipositifs).

E(λX+μY) =λE(X) +μE(Y)

E i≥1X i) i≥1E(Xi) Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 20208 / 31 8

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ESPÉRANCE ET VARIANCE

L"espérance estlinéaire.

?Variance : Var(X) :=E? (X-E(X))2? =E(X2)-E(X)2. ?Var(X) =0 impliqueX=Cte(p.s.). ?Covariance :Cov(X,Y) =E{(X-E(X))(Y-E(Y))}=E(XY)-E(X)E(Y). ?La linéarité de l"espérance permet de prouver Var? n? i=1λ iXi? =n? i=1n j=1λ iλjCov(Xi,Xj) ?La variance fonctionne comme une formequadratique, la covariance comme uneforme bilinéaire. ?Cas particulier : si indépendance desXi, Cov(Xi,Xj) =0,i?=j Var n? i=1X i? =n? i=1Var(Xi). Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 20209 / 31

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VECTEUR ET MATRICE DE VARIANCE-COVARIANCE

X= (X1,...,Xn)un vecteur deRn.Γmatrice de

variance-covariance deX ?Cov(Xi,Xj)? ?Permet de calculer Var??n i=1λiXi? Var n? i=1λ iXi? =λTΓλ=n? i=1n j=1λ iλjΓij. ?Γest une matricesymétrique,positive(λTΓλ≥0, pour toutλ). Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 202010 / 31 9

FonctionnementRendement d"un actifRappelsChoix de portefeuille: théorie de MarkowitzCompléments algorithmiques(bio et biblio)graphie

ESPÉRANCE ET VARIANCE COMME CRITÈRES DE

DÉCISION

Comment choisir entre 2 v.a.XetYdont on ne connait que la loi ?On utilise (souvent) l"espérance et la variance comme critère de choix (plus l"espérance est grande ou plus la variance est petite,

“meilleure" est la v.a.).

?C"est discutable2, mais c"est l"approche la plus simple, bien justifiée dans le cas (restrictif) d"un vecteur gaussien. ?Des “mesures de risque" mieux fondées (Voir

“value at risk", “expected shortfall", ...

?... au prix toutefois d"une complexité accrue de la modélisation et/ou des calculs. partiel suggéré (voir la feuille d"exercice pour un exemple). Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 202011 / 31

FonctionnementRendement d"un actifRappelsChoix de portefeuille: théorie de MarkowitzCompléments algorithmiques(bio et biblio)graphie

PORTEFEUILLE DEMARKOWITZ:LE MODÈLE

dactifs (actions, obligations, ...).Rile rendement, aléatoires, du ième actif.

1E en actifien 0→(1+Ri)E enT.

?R= (R1,...,Rd)le vecteur, aléatoire, des rendements ?r= (E(R1),...,E(Rd)), le vecteur des moyennes des rendements, par convention on suppose r ?Γla matrice de variance-covariance deR.

2i=Var(Xi) = Γii.

Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Vendredi 3 avril 202012 / 31 10

FonctionnementRendement d"un actifRappelsChoix de portefeuille: théorie de MarkowitzCompléments algorithmiques(bio et biblio)graphie

PORTEFEUILLE DEMARKOWITZ:LES PORTEFEUILLES

On va considérer des portefeuilles, composés de quantités d"actifsλi, de valeur initialeV0égale (par convention) à 1E V 0=d? i=1λquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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