[PDF] Décision dans lincertain - Une courte introduction

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D´ecision dans l"incertain

Une courte introduction

Denis Bouyssou

CNRS

Paris, FranceULB - mars 2006

Plan Plan

1Introduction

2Crit`eres classiques

3Approche subjectiviste (SEU)

4Valeur de l"information

5R´esum´e et extensions

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

D´ecision dans l"Incertain

Contexte

impossibilit´e de pr´evoir avec certitude les cons´equences de la mise `a ex´ecution d"une d´ecisionpas de probabilit´es laNatured´ecide de tout ce qui n"est pas sous mon contrˆole les cons´equences de mes d´ecisions d´ependent `a la fois de mes d´ecisions et des d´ecisions de la Nature ("´etats de la Nature»ou "sc´enarios»)la Nature est indolente (beurrer sa tartine du cˆot´e Pile n"implique pas qu"elle tombera du cˆot´e Pile en cas de chute)Probl`eme on doit choisir une actionavantd"avoir connaissance de la d´ecision de la Nature

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

Mod´elisation

Mod´elisation

A: ensemble d"actions. Un ´el´ementa?Arepr´esente une action

qu"il est possible pour vous de mettre `a ex´ecutionE: ensemble d"´etats de la nature. Un ´el´emente?Erepr´esente

une d´ecision que peut prendre la Nature et susceptible d"influencer les cons´equence de l"ex´ecution de l"une, au moins, des

actions deAX: ensemble de cons´equencesc: fonction associant `a chaque couple deA×Eun ´el´ement deX

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

Matrice de d´ecision (cas fini :mactions,n´etats)Matrice de d´ecision c e

1e2···ei···ena

a a a L"obtention d"une telle"matrice de d´ecision»requiert, en pratique, un lourd travail de mod´elisation

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

Exemple : Confection d"une omelette

L"omelette

A={Saladier,Poubelle,Bol}

E={Bon,Mauvais}cBon MauvaisSaladier O. de 6 Pas d"O.

Poubelle O. de 5 O. de 5

Bon O. de 6 + Bol `a laver O. de 5 + Bol `a laverRemarques pas de probabilit´es goˆuts et croyances possibilit´e d"acqu´erir de l"information (exp´erimentation)

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

Exemples

D´ecision bancaire

D´efaillantD´efaillant

Accepter ... ...

Refuser ... ...

Accepter avec garantie ... ...D´ecision marketing

R´eussiteR´eussite

Lancer ... ...

Lancer ... ...

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

Exemple

Exemple

X=R, la pr´ef´erence croˆıt avec les valeurs (e)c e

1e2e3a

140 70-20

a

2-10 40 100

a

320 40-5Crit`eres classiques

aucune information concernant la vraisemblance relative des divers ´etats de la Nature

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

Dominance

Definition

a?Adomine (strictement)b?A(a D b) si :c(a,e)≥c(b,e),?e?E,?e?Etel quec(a,e)>c(b,e)Remarque Dest une relation binaire transitive et asym´etriqueDefinition a?Aestefficacesi elle n"est domin´ee par aucune autre action deA. LorsqueAetEsont finis, l"ensemble des actions efficacesA??A d´efini par : A ?={a?A: Non[b D a],?b?A} est toujours non vide

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

Dominance

Remarques

a D b?a?b, quelle que soit la vraisemblance relative des divers ´etats de la Naturedans les probl`emes r´eels il est rare qu"une action en domine une autre et l"on a souventA?=Arestreindre son attention au sous-ensembleA?peut ne pas ˆetre pertinent si l"on a des doutes sur la faisabilit´e des actions deA.

L"ensembleA?peut ne pas contenir les"brillants seconds»mˆemes difficult´es qu"en multicrit`ere

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

Exemple

c e

1e2e3e4e5e6a100 100 100 100 100 100

b99 99 99 99 99 99 c100,5 0 0 0 0 0 d0 100,5 0 0 0 0A={a,b,c,d}A ?={a,c,d}cara D bbest un"brillant second»

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

Remarque

toute action solution du probl`eme (P) Max a?A? e?Ep(e)c(a,e) sous les contraintes e?Ep(e) = 1 p(e)>0,e?E(P) est n´ecessairement efficaceSupposonsasolution de (P) etanon efficace. Puisque c(b,e)≥c(a,e),?e?Eetc(b,e?)>c(a,e?) on a e?Ep(e)c(b,e)>? e?Ep(e)c(a,e)

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsMod´elisation

Dominance

R´eciproque

e 2e 114
41

1,81,8ba

c

A=A?={a,b,c}bne peut ˆetre solution de (P)

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Crit`ere de Wald (Max Min)

Id´ee

prudence : fonder son choix sur la situation lapire(Max Min) choisir toute actiona?Asolution de : max a?Amine?Ec(a,e)Exemple choisira3 (perte maximale =-5) a

1(perte maximale =-20)

a

2(perte maximale =-10)c e

1e2e3min

a

140 70-20-20a

2-10 40 100-10a

320 40-5-5

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Remarques

mauvaise utilisation de l"information aucune compensation possible entre les cons´equences sur les divers ´etats de la natureprime austatu quosuppose seulement queXest ordonn´eExemple c e

1e2e3...e1000a-100 10000 10000...10000

b-99-99-99...-99

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Crit`ere du Max Max

Id´ee

optimisme : fonder son choix sur la situation lameilleure(Max

Max)choisir toute actiona?Asolution de :

max a?Amaxe?Ec(a,e)Exemple choisira2 (gain maximal = 100) a

1(gain maximal = 70)

a

3(gain maximal = 40)c e

1e2e3max

a

140 70-2070

a

2-10 40 100100

a

320 40-540

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Remarques

mauvaise utilisation de l"information aucune compensation possible entre les cons´equences sur les divers ´etats de la naturesuppose seulement queXest ordonn´e

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Crit`ere de Hurwicz

Id´ee

compromisentre prudence (Max Min) et optimisme (Max Max) ´etant donn´e un nombreα?[0;1] appel´e"coefficient de pessimisme», choisir toute actiona?Asolution de : max a?A? αmine?Ec(a,e) + (1-α)maxe?Ec(a,e)?α= 1/2Choisira2 (90/2 = 45) a

1(50/2)

a

3(35/2)c e

1e2e3min maxα= 1/2a

140 70-20-20 7025

a

2-10 40 100-10 10045

a

320 40-5-5 4017.5

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Remarques

mauvaise utilisation de l"information compromis entre deux mauvaises solutions Xdoit avoir une structure l´egitimant l"op´eration de combinaison lin´eaire!d´etermination pratique du coefficient de pessimismeα?

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Crit`ere de Savage (Min Max Regret)

Id´ee

crit`ere adapt´e aux univers

"bureaucratiques»choix dea2ete1survientmeilleure d´ecision :a1(40)d´ecision prise :a2(-10)regrets : 40-(-10) = 50c e

1e2e3a

140 70-20

a

2-10 40 100

a

320 40-5D´efinition

Choisir toute action dea?Asolution de :

min a?Amaxe?ER(a,e) avec

R(a,e) = maxb?Ac(b,e)-c(a,e)

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Exemple

c e

1e2e3a

140 70-20

a

2-10 40 100

a

320 40-5R e

1e2e3max

a

10 0 120120

a

250 30 050

a

320 30 105105

Choisira2(regret maximum 50)a1(120),a3(105)Remarques

ce crit`ere distinct du Max Min (choix dea3)Xdoit avoir une structure l´egitimant d"effectuer des diff´erencesla diff´erence doit"mesurer»les regrets de fa¸con ad´equatele choix d´epend de l"ensemble des actions deA. L"adjonction de

nouvelles actions peut modifier le choix de fa¸con impr´evisible

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Exemple

c e 1e2a
18 0 a

22 4R e

1e2max

a 10 44 a 26 06

Choix dea1Exemple (ajout dea3)c e

1e2a
18 0 a 22 4
a

31 7R e

1e2max

a 10 77 a 26 36
a 37 07
Choix initial dea1Choix dea2apr`es ajout dea3!risque de"manipulations»

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Crit`ere de Laplace

Id´ee

Principe de"raison insuffisante»D´einition

Choisir toute action deAsolution de :

max a?A? e?E1|E|c(a,e)Exemple

Choisira2

(130/3) a

1(90/3)

a

3(55/3)c e

1e2e3a

140 70-2090/3a

2-10 40 100130/3a

320 40-555/3

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Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Remarques

Xdoit avoir une structure l´egitimant l"op´eration de combinaison lin´eaire!soit vous deviendrez Pr´esident de la R´epublique ivoirienne soit non. Peut-on pour autant consid´erer que ces deux ´etats sont

´egalement vraisemblables?crit`ere sensible au choix, g´en´eralement arbitraire, du nombre des

´etats de la Nature consid´er´e (Epeut toujours se subdiviser :"E

et il pleuvra demain»et"Eet il ne pleuvra pas demain»)l"esp´erance de gain est-elle un bon crit`ere de choix mˆeme en

supposant tous les ´etats ´egalement vraisemblables?aller plus vite

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Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Exemple de synth`ese

Exemple

c e

1e2e3e4a2 2 0 1

b1 1 1 1 c0 4 0 0 d1 3 0 0R´esultats

Wald :bMax Max :cLaplace :aSavage :d

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Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsCrit`ere du Max Min

Crit`ere du Max Max

Crit`ere de Hurwicz

Crit`ere de Savage

Crit`ere de Laplace

Conclusion

Crit`eres"classiques»aucun de ces divers crit`eres n"est r´eellement satisfaisant! n´ecessit´e de mod´eliser la vraisemblance relative des divers ´etats

de la nature (croyances)n´ecessit´e de mod´eliser la d´esirabilit´e des cons´equences (goˆuts)

Questions centrales

pourquoi n"y-a-t-il pas de probabilit´es? d"o`u viennent les probabilit´es?

En pratique

´etat le plus vraisemblable + analyses de sensibilit´e?

Introduction

Crit`eres classiques

Approche subjectiviste (SEU)

Valeur de l"information

R´esum´e et extensionsRappels de probabilit´es´

Ecole Classique´

Ecole SubjectivisteDifficult´es

Heuristiques et biais

Rappels

Exp´erience al´eatoire

exp´erience dont on ne peut pr´evoir le r´esultat avec certitude avant de l"effectuerExemples jet d"une pi`ece de monnaiequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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