MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 3: Solutions stationnaires de l
Le premier terme en exp(ik2x) correspond à une onde plane allant de gauche vers la droite: il représente donc l'onde transmise.
Notes de cours sur la mécanique quantique
2 févr. 2015 1.7.3 Signification probabiliste de la fonction d'onde ? (x) . . . . . . . . . 79 ... En mécanique quantique : problèmes 1D stationnaire.
Chapitre V
solution stationnaire on entend une solution du type Suivant les principes généraux de la mécanique quantique
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Lorsque le potentiel V est indépendant du temps V(rt)=V(r) l'équation de Schrödinger devient: ? ? ( r t ) 2 ? ? ? h = ? h ? + V ( r ) ? ( r t ) = H ? ( r t ) ? t 2 m H est appelé Hamiltonien du système
MÉCANIQUE QUANTIQUE III - usherbrookeca
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Chapitre 3:
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Solutions stationnaires de
Solutions stationnaires de
Pr. M. ABDPr. M. ABD--LEFDILLEFDIL
Université Mohammed V
Université Mohammed V--AgdalAgdal
Faculté des Sciences
Faculté des Sciences
Département de Physique
Département de Physique
Année universitaire 07
Année universitaire 07--08 08
Filières SM
Filières SM--SMISMI
du temps était donnée par: )t,r(()t,r(Vm2t)t,r(i 2 Lorsque le potentiel V est indépendant du temps )t,r(H)t,r()r(Vm2t)t,r(i 2H est appelé Hamiltonien du système.
ditessolutions stationnaires. Le système est dit conservatif et son énergie est constante. 2On On avuavudans le TD n°2 que la fonction d'onde dans le TD n°2 que la fonction d'onde peut être écrite sous forme d'un produit de peut être écrite sous forme d'un produit de fonction spatiale fonction spatiale et de fonction temporelle u: et de fonction temporelle u: (x,t)= (x,t)= (x) u(t)(x) u(t)
On a montré que:
On a montré que:
)x( e A)t,x( tEiA 3 dimensions, on obtient:
)r( e A)t,r( tEiOn a vu dans le TD n°2 que la fonction d'onde peut être On a vu dans le TD n°2 que la fonction d'onde peut être
écrite sous forme d'un produit de fonction spatiale écrite sous forme d'un produit de fonction spatiale et et de fonction temporelle u: de fonction temporelle u: (x,t)= (x,t)= (x) u(t)(x) u(t)On a montré que:
On a montré que:
)x(E)x()x(Vxm2 222La résolution de l'équation de La résolution de l'équation de SchrodingerSchrodingerse réduit alors àse réduit alors à
A 1 dimension
3 Etude de quelques systèmes Etude de quelques systèmes unidimensionnels unidimensionnels 11--Saut de potentiel Saut de potentiel
22--Barrière de potentiel Barrière de potentiel
33--Puits de potentiel finiPuits de potentiel fini
44--Puits de potentiel infiniPuits de potentiel infini
55--Particule dans une boite (3D) Particule dans une boite (3D)
11--Saut de potentielSaut de potentiel
II région 0 x si V I région 0 x si 0)x(V0 xikxik 1 11BeAe)x(
Il est défini par:
L'énergie E de la particule doit être positiveafin que l'onde incidente soit une onde de propagation. On supposera que La particule vient du coté négatif de l'axe des abscisses x.Nous allons distinguer deux cas: x< 0 et x> 0.
1- x< 0: l'équation de Schrodinguer s'écrit:
La solution générale est alors
donnée par: 2212 1 22
222
mE2k où 0)x(kdx)x(d)x(Edx)x(d m2
A- E > V
0 4 L'onde incidente est représentée par le terme exp(ik 1 x) et qui correspond à une onde plane allant de gauche vers la droite. Lorsque la particule arrive en x=0, elle peut soit être réfléchie, soit être transmise. L'onde réfléchie est représentée par le terme exp(-ik 1 x).2- x> 0:l'équation de Schrodinguer s'écrit:
0)x(kdx)x(d)x(E)x(Vdx)x(d
m2 2 2 220 222
20 2 2 )VE(m2k Avec: xikxik 2 22
DeCe)x(
La solution générale est alors
donnée par:Le premier terme en exp(ik
2 x) correspond à une onde plane allant de gauche vers la droite: il représente donc l'onde transmise. Par contre le second terme représente une onde venant de + l'infini allant vers la gauche. Comme nous n'avons pas de particule qui provient dans ce sens, nous poserons D= 0 2 )x( 5Conditions aux limites:
La fonction (x) et sa première dérivée '(x) doivent être continues en x= 0.Ckk)BA()0(')0('CBA)0()0(
12On trouve:
Akkk2C et AkkkkB
2112121
Remarque:L'onde incidente et l'onde réfléchie interférent comme le montre la figure précédente. )2(2)(1)(1 21212
212122
1 xkCoskkkk kkkkAx Pour x< 0, la densité de probabilité =*(x) (x) est donnée par: Pour x> 0, la densité de probabilité =*(x) (x) est donnée par: 2 2121222
2
4)(kkkACx
6 Détermination de la densité de courant de probabilité J: dN/dt est le taux de comptage dans un détecteur de surface S exposé à un flux de particules dont la densité est j=v. étant la densité des particules et v leur vitesse. 2 21212 t2 21211
r1 i
4 J : transmise J :réfléchie J :incidente
kkkAAmkOndekkkkAAmkOndeAA mkOnde mp vJLa probabilité de réflexion s'exprime par:
2 2121ir kkkk JJ R
La probabilité de transmission s'exprime par:
2 2121it kkkk4 JJ T
On remarque que:1TR
Remarque:Dans une situation analogue en mécanique classique, la particule serait toujours transmise, alors qu'en mécanique quantique elle a une probabilité non nulle d'être réfléchie 7B- E < V
0 xikxik 1 11BeAe)x(
1- x< 0: l'équation de Schrodinguer ne change pas:
2- x> 0:l'équation de Schrodinguer s'écrit:
2212 1 22
222
mE2k où 0)x(kdx)x(d)x(Edx)x(d m2
0)x(kdx)x(d
2 2 2220 2 2 )EV(m2k avec xkxk 2 22
DeCe)x(
La solution générale est donnée par:
L'exponentielle positive diverge et ne représente donc pas une solution physique: C= 0.Il reste: xk 2 2 De)x( I 2 tend vers 0 à l'infini: C'est une onde évanescente.Il n'y a pas d'onde transmise.
8 )x( 2 2 2 )x(Conditions aux limites:
La fonction (x) et sa première dérivée '(x) doivent être continues en x= 0.DkkiBADBA
12 2121)()0(')0(')0()0(
On trouve:
121121
kikk
2DB et kikk
2DA 9 mp vJDétermination de la densité de courant de
probabilité J comme dans la première partie: mk kkkDmk kkkDJkikk kikkDmk i 1 2 12 2212 r1 2 12 22
12121
12121
i 41J
4141J
On a le coefficient de réflexion R:
1JJ R irRemarquesRemarques
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