[PDF] MECANIQUE QUANTIQUE solutions de l'équation de

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MESURE,DE,L,IMPULSION,D'UNE,PARTICULE•Projet : comment trouver la vitesse vou l'impulsionp?mvd'une particule quantique ?•Resultatprobabiliste comme pour la position•On introduit la fonction d'onde dans l'espace des positions.•Il y a un lien de transforméede Fourier entre et •Notions sur la transforméede FourierIntroduction à la mécanique ondulatoire5MUpTMUpT

n UfT? G T M THP MTHP fUtTe MiPM n T t dtS Animation de la synthèseadditive d'un signal carrépar augmentation du nombred'harmoniques.x carre UtT? 1 M M M k?G sinUPMUPkMGTftT

UPkMGT

1 M E sinUPMftTO G L sinU'MftTO G 2 sinUGRMftTOááá C

INTRODUCTION,A,LA,TRANSFORMEEDE,FOURIERIntroduction à la mécanique ondulatoire8•Question: Peut-on toujoursexprimerunefonctionnon-périodiquegUxTde L2commeunesommecontinue d'exponentiellesoscillantes?•OUI ! On saitmêmedonnerles coefficients :M•En Physique on utilise les notations suivantes (en 1D) : On se placera dans l'espace de Schwartz : fonctions décroissant plus vite que toute puissance de x à l'infini.MME

MUpT(?

G M PEM M OM EM CUxTe

EipxHM

dx TFSC M

INVERSION,DE,LA,TRANSFORMEEDE,FOURIER•On sait donc que l'on peut exprimerunefonctionnon-périodiquede L2commeunesommecontinue d'exponentiellesoscillantes dont les coefficients sont : A partir de la fonction d'onde dans l'espace position, on peut donc calculer la fonction d'onde dans l'espace impulsion.•Inversement, peut on retrouver la fonction d'onde si on connait sa transformée de Fourier ?Et bien OUI ! C'est la formule d'inversion de la TF : On dit que est la TF directe de et la TF réciproque de Introduction à la mécanique ondulatoire9MUxT

MUpT(?

G M PEM M OM EM CUxTe

EipxHM

dx

MUxTMUpTMUpTMUxTMUpTMUxT

DEUX,PROPRIETES,IMPORTANTES,DE,LA,TF,(I)La transforméede Fourier estuneisométrie:Théorèmede Parseval-Plancherel.Celaimplique: estde carrésommablessil'estaussi. Pour construireun paquetd'onde, on choisiradoncdes coefficients de carrésommable. Danscecasestautomatiquementunefonctiond'ondephysiquementacceptable ! Deuxcaslimites(on y reviendra) : •Approximation d'uneondeplane. •Approximation d'uneparticulebienlocalisée. Introduction à la mécanique ondulatoire10MM

G |M P E?ME G |E P E

ProduitscalaireDEUX,PROPRIETES,IMPORTANTES,DE,LA,TF,(II)Dérivationet transforméede Fourier.Introduction à la mécanique ondulatoire11On part deOn dérivesous l'intégrale:On en déduit:Dériverpar rapport àx dansl'espace position correspond àmultiplier par dansl'espaceimpulsion A QUELFACTEURMULTIPLICATIFDANSL'ESPACEDES POSITIONS CORRESPOND LA DERIVATION DANSL'ESPACEDES IMPULSIONSA.B.C.D.

x

DEFINITION,DES,OBSERVABLES•A toute grandeur physique Aon peut associer uneobservable åS •åestun opérateurlinéairehermitienagissantdansl'espacedes fonctionsd'onde.Hermitiensi: On géneralisealorsles resultatsprécedentsàla valeurmoyenned'un observable pour un grand nombrede réalisations: Commeåesthermitienalorsestréel.•A noter: on verraau cours3 queles seulesvaleurspossibleslorsd'unemesured'uneobservable åsontles valeurspropresde åSIntroduction à la mécanique ondulatoire15M

M M G UxT E AM P UxT C dx? M E AM G UxT C M M P UxTdx MaE

ProduitscalaireMaE

t M M M Ur,tT E AMUxT C dx x x x IiM I M M P I ixpHM

PAQUETD'ONDESIntroduction à la mécanique ondulatoire19Paquet d'ondes : Onde planeParticule bien localiséeOn a toujours :PRINCIPE,D'INCERTITUDE,D'HEISENBERGPaquetd'ondes:On voit que: estla TF de (et vice-versa)Les mathématiciens nous disent queavec et et Introduction à la mécanique ondulatoire20MxMpM

M P Mp? M Mp P ECMpE P Mx? M Mx P ECMxE P D'oùvient le caractèrequantique decette inégalité?Mp n E? M p n |MUpT| P dx

QUESIGNIFIEA.Le produitde la resolution des mesuresde x et de p doittoujoursêtreplus grand queB.Il estimpossible de prépareruneparticuledansun Žtatoùsaposition et son impulsion sontsimultanŽmentarbitrairementbiendŽfinies. C.Le paquetd'ondes'étaledansle temps.D.Si vousmesurezla position d'uneparticulevousperturbezson impulsion.MxMpM

M P MHP

EQUATION,DE,SCHRODINGER,POUR,UNE,PARTICULE,LIBREOn a :On cherche une méthode générale de résolution en utilisant la TF.Introduction à la mécanique ondulatoire22iM

MEUx,tT

Mt ?M M P Pm M P

EUx,tT

Mx P P

EUx,tT

Mx P ME p P M P

CUp,tTiM

MEUp,tT

Mt p P Pm

EUp,tT

|MUp,tT| P ?|MUp,RT| P

EQUATION,DE,SCHRODINGER,POUR,UNE,PARTICULE,LIBREIntroduction à la mécanique ondulatoire23On a obtenu en fonction dePour trouver il suffit de faire une TF inverse de :La condition initiale se déduitde la fonctiond'ondedansl'espacedes positions àt?R:MŽthodegŽnŽralede rŽsolutionde lՎquationde SchroMdingerpour uneparticulelibreMUp,RTMUx,tT

MUp,RT?

G M PEM M OM EM

CUx,RTe

EipxHM

dx

MUp,RT

RESOLUTION,DE,L'EQUATION,DE,SCHRODINGER•Equation généraleen présenced'uneforce conservative•Etatsstationnaires: étatspropresde l'Hamiltonien•Passage d'une marche de potentiel•Un effet purement quantique : l'effet tunnelIntroduction à la mécanique ondulatoire24

MEUx,tT

Mt ?M M P Pm M P

EUx,tT

Mx P

MUx,tTMEiM

EMUx,tT

Ex iM

MEUx,tT

Mt P Pm

EUx,tT

H? P Pm iM ME Mt HE ME Mt HE H? P Pm iM

MEUx,tT

Mt ?M M P Pm M P

EUx,tT

Mx P H? P Pm

MEUx,tT

Mt

HEUx,tT

H HM M UxT?E M M M UxTE M

HMUx,tT?M

M UxTe

MiEMtHM

M M P Pm MM M

UrTOVUrTM

M UrT?E M M M UrT M UxTe

MiEMtHM

E G HME G BE P BE L E P

FONCTIONS,PROPRES,DE,L'ENERGIE,ETATS,STATIONNAIRESLes étatsstationnairessontde la formeCesontles étatspropresde l'Hamiltoniendoncde l'observableénergie.Pourquoiles nomme-t-on ainsi?•La probabilitéde présenceestindépendantedu temps•La valeurmoyennede tout observable ne dépendantpas explicitementdu temps estégalementindépendantedu temps.•Un étatd'énergiebiendéfinien'estpas en mouvement! On l'appelleradoncun étatstationnaire.Introduction à la mécanique ondulatoire29MUx,tT?M

M UxTe

MiEMtHM

|MUx,tT| P ?|M a UxT| P M UxTe

MiEMtHM

MUx,tTMUx,t?RT?

M M C M M M

UxTMUx,tT?

M M C M M M UxTe

MiEMtHM

M P Pm M MM

UxTOVMUxT?EMUxTM

M P Pm M MM

UxTOUVMETMUxT?R

MUxT?E

O e ipxHM OE M e

MipxHM

p P

HPm?EMV

oup P HPm

MARCHE,DE,POTENTIELPrenons la situation suivante :On cherche des solutions dela forme :•Cas 1 :Dans ce cas les solutions s'écrivent :avec A l aide de la continuité en x=0 de et on en déduit Introduction à la mécanique ondulatoire32MUx,tT?MUxTe

MiEtHM

EBV R MM M

MARCHE,DE,POTENTIELPrenons la situation suivante :On cherche des solutions dela forme :•Cas 2 :Dans ce cas les solutions s'écrivent :avec Si on prend une particule incidente venant de gauche : et On peut en déduire Introduction à la mécanique ondulatoire33MUx,tT?MUxTe

MiEtHM

E>V R M M ?RM O ?G

Prenons la situation suivante :On cherche une solutione dela forme :avec etA l aide de la continuité en x=0 de et on déduit :qui se simplifie pour en EFFET,TUNNELIntroduction à la mécanique ondulatoire34M

M M

PmUEMV

R THMMM M M M aMG iM

MEUx,tT

Mt

HEUx,tT

H

MUp,tT?

G M PEM M

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MipxHM

dxMxMpM M P t M M M Ur,tT E AM M Ur,tT C dr MaE t x ]?iMMUr,tT?M M UrTe

MiEMtHM

M M UrT HM M UrT?E M Mquotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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