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ANNÉE SCOLAIRE2010-2011

Travaux pratiques

en classe de Seconde

DIDIERPIHOUÉ

Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique

Table des matières

TP n°1 : Conjecture et preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2

TP n°2 : Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4

TP n°3 : Introductionà l"algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 6

TP n°4 : Algorithmique,suite! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 8

Mr PIHOUELycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique ?TP n°1 : Conjecture et preuve?

Dans la figure ci-contre, ODEF et

OABC sont deux carrés construits

dans un repère d"origine O. On a de plus A(0;1), C(-1;0) et D(a;0) oùa est un nombre strictement positif.

Il s"agit d"établir une conjecture non

triviale liant les deux droitesd1et d

2àl"aided"unlogicieldegéométrie

dynamique puis de la prouver.

Partie 1: réaliser la figure avec GeoGebra

- Créer un curseuravariant de 0 à 10; - Dans la fenêtre de saisie, créer le point O par la commande "O=(0,0)». - Procéder de la même manière pour créer les points A, C et D puis E, F et B.

- Construire alors les deux carrés par l"icônePolygoneen pointant les quatre sommets successive-

ment.

- Construirela droited1par la commande "d1: Droite[C,F]» puis la droited2de la même manière.

-→Appeler l"enseignant pour valider la construction.

Partie 2: établir une conjecture

- Déplacer le curseurapour renforcer vos observations. - Avec unclic droitsur le curseur, choisirAnimer. - Trouver l"icôneRelation entre deux objetspuis sélectionnerd1etd2. - Rédiger la conjecture. -→Appeler l"enseignant pour valider la conjecture.

Partie 3: chercher une preuve

Quelques repères pour engager cette démonstration: - Compléter la figure si nécessaire; - Mobiliser des propriétés du carré; - Penser aussi aux droites remarquables d"un triangle. -→Appeler l"enseignant pour valider les étapes. Partie 4: rédiger la démonstrationà deux et la rendre mardi 14 septembre.

Partie 5: explorer plus avant la situation.

-→Appeler l"enseignant pour valider les conjectures.

Mr PIHOUELycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique ?Élémentspour l"enseignant?

Partie4

COAD est un carré, donc COA est un triangle rectangle isocèleen O d"où?OCA=45°. De la même

manière, DOE est un triangle rectangle isocèle en D et ?DOE=45°. Comme les points D, O et C sont alignés, on en déduit que (CA)?(OE). Les diagonales d"un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu, d"où(DF)?(OE)dans le carré ODEF. Comme (CA)?(OE)et(DF)?(OE)on en déduit que(CA)?(DF).

Par ailleurs, on a aussi

(FO)?(OD)puisque FODE est un carré. Ainsi, dans le triangle CFD,(FO)est la hauteur issue de F et (CA)est la hauteur issue de C puisque(CA)?(DF). Or A?(FO)et donc A est l"orthocentre de CFD puisqu"il est le point d"intersectionde deux hauteurs.

On en conclut que

(DA)est la troisième hauteur d"oùd2=(DA)?(CF)=d1.

Mr PIHOUELycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique ?TP n°2 : Équations de droites?

On a vu en cours qu"une droite non parallèle à l"axe des ordonnées avait une équationy=mx+p

dans un repère (O, I, J). Ce TP a pour objectif de parvenir à une interprétation graphique des nombres metp.

Partie 1: avec le logicielGeoGebra

• Créer les curseursmetpvariant entre-5 et 5 avec un pas de 1. • Créer la droitedd"équationy=mx+ppar la commanded:y=m*x+p. • Créer le point P(0;p) par la commandeP=(0,p).

Questions

1. Le nombremétant fixe, faire varierp. Écrire les conjectures.

2. Le nombrepétant fixe, faire varierm, . Écrire les conjectures.

-→Appeler l"enseignant pour valider les conjectures. • Créer le point A(1;m+p) par la commandeA=(1,m+p). • Créer le curseurtvariant de-5 à 5 avec un pas de 1. • Créer le point B(t;mt+p) par la commandeB=(t,m*t+p).

Questions

3. Faire variert. Où sont situés les points A et B? Le démontrer.

4. Pourmetpfixés, calculer le quotientyB-yA

xB-xApour différentes valeurs det.

Écrire la conjecture.

-→Appeler l"enseignant pour valider les preuves et la conjecture.

Partie 2: des exercices avecWims.

Avec le navigateurFirefox, aller à la page :

http://www.netvibes.com/dpihoue#Classes puis cliquer sur le lienWIMS : accueil 2nde 4.

Le login est le même que celui du lycéemais écrit en majusculeset le mot de passe par défaut est

SD04.A changer lors de la première connexion.

Mr PIHOUELycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique ?Élémentspour l"enseignant?

Mr PIHOUELycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique ?TP n°3 : Introduction à l"algorithmique?

Au collège et même avant, vous avez déjà appliqué des algorithmes comme par exemple, pour cal-

culer le PGCD de deux nombres entiers naturels.

1. Calculer le PGCD de 8136 et de 492. Ecrire une phrase décrivant cet algorithme.

2. Ecrire la série des instructions à exécuter pour calculerle PGCD de deux entiers naturelsnetm

quelconques. -→Appeler l"enseignant pour valider le résultat.

3. Tester "à la main» l"algorithme"mystère» ci-dessous à gauche. Que fait-il?

algorithme"mystère»

Variable

S,n:entiers naturels

Début

S←1

n←1

TantQueS<1000000Faire

n←n+1

S←S+n

FinTantQue

Affichern

Fin programmeXcas boucle ():={ local S,n; S:=1; n:=1; tantque S<1000000 faire n:=n+1;

S:=S+n;

ftantque return n -→Appeler l"enseignant pour valider le résultat.

4. L"exécution d"algorithmes par une machine suppose un langage de programmation dans lequel

on traduit l"algorithme.Nous allons utiliser iciXcas en ligneen se rendant à l"adresse : http ://www.netvibes.com/dpihoue#Classes

Cliquer sur

pour saisir le programme écrit ci-dessus à droite. L"exécuter dans la fenêtre située au-dessus par la commandeboucle().

Interpréter la réponse.

-→Appeler l"enseignant pour valider le résultat.

5.Problème: Charlotte essaie de faire des économies car elle n"a plus d"argent dans sa tirelire. La

première semaine elle met 1?dans sa tirelire et elle décide de mettre chaque semaine 1?de plus que ce qu"elle a mis la semaine précédente. Charlotte se demande combien de semaines il lui faudra patienter et économiser pour avoir au moins 220?dans sa tirelire. Que faut-il modifier dans l"algorithme"mystère» pour résoudre le problème de Charlotte? Modifier le programmeXcasassocié afin d"obtenir la réponse. -→Appeler l"enseignant pour valider le résultat.

6. Ecrire maintenantl"algorithmedu calcul du pgcd de deux nombres entiers naturelsnetmpuis le

traduire en langageXcas.

Vérifier le programme avec l"exemple initial.

-→Appeler l"enseignant pour valider le résultat.

Mr PIHOUELycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique ?Élémentspour l"enseignant?

1. On écrit les divisions euclidiennes successives et on trouve 12. L"objectif est d"amener les élèves à

englober les actions successives en une seule procédure.

2. On clarifie la phase précédente sans pour autant introduire un langage codé. On attend ici un

langage naturel.

3. On passe à un exemple d"algorithme en langage codé avec uneboucletant quecomme dans

l"algorithmedu PGCD.

4. On fait le choix de fournir un premier exemple de programme.Xcaspropose une programmation

proche de l"écriture algorithmique dans cet exemple. Pour autant, l"interprétation du résultat ne

va pas nécessairement de soit.

On trouven=1414.

On pourra faire saisir la commandesomme(k,k,1,1413);somme(k,k,1,1414)après avoir expli- quer sa syntaxe, pour conforter l"analyse de l"algorithme.Onremarquera aussique cet algorithme permet de résoudre une inéquation non résoluble autrement.

5. Il faut remplacer 1000000par 220 et?=par<. On trouven=21 semaines etS=231?.

6. On obtient par exemple :

algorithmePGCD

Variable

n,m,r:entiers naturels

Début

r←reste de la division denparm

TantQuer?=0Faire

n←m m←r r←reste de la division denparm

FinTantQue

Afficherm

Fin programmeXcas

PGCD(n,m):={

local r ; r :=n-floor (n/m)*m; tantque r!=0 faire n:=m; m:=r ; r :=n-floor (n/m)*m; ftantque return "Le PGCD vaut : "+m; Bien entendu il faut guider les élèves pour le calcul du restede la division euclidienne. A noter que la commandesaisirn"est pas disponible avec la version en ligne deXcas; il faut donc passernetmen arguments du programme parPGCD(n,m)en les supprimant des variables

locales et en éliminant les deux commandessaisirqui résulteraient de la traduction littérale de

l"algorithme.

En prolongementil peut être envisager de stocker les résultatsintermédiairesdans des listespour

reconstituer les divisions successives.

Mr PIHOUELycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique ?TP n°4 : Algorithmique, suite!?

Consignes

Commencer par repérer les variables en les nommant et les décrivant, écrire ensuite sur papier un

algorithmerépondant au problème. -→Appeler alors l"enseignant pour valider l"algorithme. Passer seulement ensuite à la programmationavecXcas.

PROBLÈME1

Le but de ce problème est de déterminer un algorithme qui, à partir d"un nombre d"allumettes

tion ci-dessous en partant du haut et en la poursuivant vers le bas au maximum et selon les mêmes principes. Pensez à bien identifier les variables à in- troduire et écrivez l"algorithme avant de le traduire en langageXcas.

Combien peut-on réaliser d"étages avec

150 allumettes?10440? 20372?

PROBLÈME2

Le but de ce problème est de déterminer un algorithmequi calcule le nombre de segments reliantn

points distincts et non alignés 3 par 3. Pour vous aider, réaliser un dessin puis compléter le tableau ci-dessous : nombre de points2345678 nombre de segments1 Combien de segments relient 150 points ainsi disposés? 1234?

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Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique ?Élémentspour l"enseignant?

Il s"agit de faire manipuler des variables par les élèves dont certaines sont cachées dans l"énoncé et

ne surviennent que par une recherche papier-crayon. On prend appui sur l"algorithmique pour travailler cette dimension fondamentale de la notion de fonction.

PROBLÈME1

• Il y a un paramètreNpour le nombre d"allumettes disponibles, et trois variablesn,ketrpour compter lenombred"étages, d"allumettespar étageet d"allumettesrestantespour éventuellement poursuivre la construction. • Il y a trois formules liant les variablesn=n+1 etk=k+4 qui sont directes etr=r-kqui est croisée.

• Une des difficultés est d"isoler la variablekdans le problème. Une autre est de ne pas prendre une

nouvelle variable à chaque fois pour affecter le résultat d"un calcul. Enfin, il faudra passer d"un

raisonnement sur les allumettes utilisées à la prise en compte des allumettes restantes mais pour

cela il faut bien remarquer le risque de dépassement du nombre d"allumettes disponibles. Cela peut être traité dans un second temps.

Souvent les élèves introduisent un nombre plus important devariables et se perdent alors dans les

mises à jour. Il faut alors leur proposer de bien passer en revue les variables introduites et de dire pré-

cisément à quoi elles correspondent. On peut ensuite passerà une ré-écriture de l"algorithme avec une

simplification à la clef et une meilleure compréhension des processus et de l"usage des variables en

algorithmique. On écrit l"algorithmeet le programmeXcascorrespondant : algorithmeallumettes

Procédureallumettes(N:entier)

Variable

n,k,r:entiers

Début

n←0 k←3 r←N

TantQuek?rFaire

n←n+1 r←r-k k←k+4

FinTantQue

Affichern,N-r,r

Fin programmeXcas allumettes(N):={ local n,k, r ; n:=0; k:=3; r :=N; tantque k<=r faire n:=n+1; r :=r-k; k:=k+4; ftantque return n,N-r , r

PROBLÈME2

Avec un dessin, on complète le tableau :

Mr PIHOUELycée VAUGELAS (Chambéry)

Année scolaire 2010-2011 2nde 4 TP Maths-Informatique nombre de points2345678 nombre de segments13610152128

avec lequel on repère la quantité à ajouter à chaque étape. Onpeut justifier le résultat en notant qu"un

point ajouté peut être relié à chacun des points précédemment présent, d"où l"on déduit un algorithme

après avoir à nouveau bien organisé les variables. Il y a un paramètreNqui est le nombre de points disponibles et deux variablessetnpour calculer le nombre de segments et parcourir les points disponibles 1 à1.

Cette fois, on connaît à l"avance le nombre d"étapes à réaliser, ce qui conduit à choisir une bouclepour

qui permettra aussi de traiter le cas de moins de 2 points. Cela peut à nouveau être vu dans un second

temps après avoir conçu un algorithmepourN?2. algorithmesegments

Procéduresegments(N:entier)

Variable

n,s:entiers

Début

s←0

PournvariantDe2àNFaire

s←s+(n-1)

FinPour

Affichers

Fin programmeXcas segments(N):={ local n, s ; s:=0; pour n de 2 jusque N faire s:=s+(n-1); fpour return s

A noter qu"avec untant quecet algorithme est

très proche de l"algorithmemystère. Pour 150 points on trouve 11175 segments et pour 1234 points on en obtient 760761.

Mr PIHOUELycée VAUGELAS (Chambéry)

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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