Séries
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général. 1) (**) un = 2n3?3n2+1. (n+3)!. 2) (***) un = n! (a+1)(a+2)(a+n) n ? 1
Analyse combinatoire
6 mars 2008 Notation : le nombre de permutations de k parmi n est noté Ank. Exemple : les arrangements de 2 éléments pris dans {1
Calcul Algébrique
2n. = (n + 1)2n. 2n + ··· + 2n. = (n + 1)2n . 2. Page 3. Maths en L?1gne. Calcul Algébrique. UJF Grenoble.
Suites 1 Convergence
Posons u2 = 1? 1. 22 et pour tout entier n ? 3 un = (. 1?. 1. 22. )( 1?. 1. 32. ) ···. (. 1?. 1 n2. ) . Calculer un. En déduire que l'on a limun =.
Exo7 - Exercices de mathématiques
n=1. [. 33+. 1 n2. [ et I2 = +?. ? n=1. ] ?2?. 1 n.
Exercices corrigés sur les séries entières
1 n(n + 2). an = 1 n cos. (. 2n?. 3. ) . Exercice 6 Calculer. ?. ? n=0 n 2. 1 + n. ?1. 1+(n. ?. 2)?1. ?. 1. ?. 2. (. 1 +. 1 n. )( 1 ?. 1 n.
Arithmétique dans Z
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120. Correction ?. Vidéo ?. [000257]. Exercice 3. Montrer que si n est
L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques
(d) Étudier le cas ? < 1. Exercice 3 Calculer la somme des séries. ? n?1. 1.
Exercices corrigés
Cours no 2 : « Contrôle du flux d'instructions ». 1. Utilisez une exception pour calculer dans une boucle évoluant de -3 à 3 compris
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
+ 3? n2 ? 3= n2 + 2n +1+ 3? n2 ? 3= 2n +1. La différence entre un terme et son précédent ne reste pas constante. (vn) n'est pas une suite arithmétique.
[PDF] ENSEMBLES DE NOMBRES - maths et tiques
1 Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ? ?= 0;1;2;3;4
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
n=1 [ 33+ 1 n2 [ et I2 = +? ? n=1 ] ?2? 1 n 4+n2 ] Correction ? [000136] Exercice 37 Montrez que chacun des ensembles suivants est un
[PDF] Exercices corrigés darithmétique dans N Partie I - AlloSchool
Vérifier que : n2 + 5n + 7 = (n + 2)(n + 3) + 1 puis montrer que n2 + 5n + 7 est impair 1 – Déterminer la parité des nombres suivants : A = n(n + 1) ; B= (2n+1)
[PDF] Suites 1 Convergence - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 4 Soit (un)n?N une suite de R Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un)n converge vers un réel l alors (u2n)n et (u2n+1)n
[PDF] Séries - Exo7 - Exercices de mathématiques
n n ? 2 diverge et est positive la série de terme général un diverge 3 Pour n ? 1 on pose un = ( n+3 2n+1 )
[PDF] chapitre 3 : congruences et arithmétique modulaire
Par la division euclidienne on peut écrire a = qn + r avec q r entiers et 0 ? r ? n ? 1 Et a ? r (mod n) car leur différence est qn Donc a est congru à
[PDF] Analyse combinatoire
6 mar 2008 · Notation : le nombre de permutations de k parmi n est noté Ank Exemple : les arrangements de 2 éléments pris dans {1234} sont {12}{
[PDF] Les entiers naturels (c)
1 Si n est pair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k) alors n2 est pair donc n2 +n est pair Si n est impair (c'est-à-dire qu'il existe un
[PDF] Exercice1 : Exercice3 : Exercice4: Exercice5: - Moutamadrisma
1 Déterminer la parité des nombres suivants : A (n 3)(n 4) 5 2 Montrer que si n 5k 2 = + alors n² 1 + est divisible par 5 3
[PDF] Calcul Algébrique
Ce chapitre est consacré à la manipulation de formules algébriques constituées de variables formelles de réels ou de complexes
Séries
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1Nature de la série de terme général1) (*)lnn2+n+1n
2+n12) (*)1n+(1)npn
3) (**)n+32n+1
lnn4) (**)1ln(n)ln(chn)5) (**)arccos3q11n
26) (*)n2(n1)!7)
cos1pn n1pe8) (**)ln2p
arctann2+1n9) (*)
Rp=20cos2xn
2+cos2xdx10) (**)np2sin(p4
+1n )11) (**)e1+1n nNature de la série de terme général
1) (***)
4pn4+2n23pP(n)oùPest un polynôme.2) (**)1n
aS(n)oùS(n) =å+¥p=21p n.3) (**)unoù8n2N,un=1n
eun1.4) (****)un=1p
noùpnest len-ème nombre premier (indication : considéreråNn=1ln
111pn
åNn=1ln(1+pn+p2n+:::)).
5) (***)un=1n(c(n))aoùc(n)est le nombre de chiffres denen base 10.
6) (*)
(Õnk=2lnk)a(n!)ba>0 etb>0.7) (**)arctan1+1n a arctan11n a8) (**)
1n aånk=1k3=2.9) (***)Õnk=11+kn a1.Nature de la série de terme général
1) (***)sinpn2n+1
2) (**)(1)nn+(1)n13) (**)ln
1+(1)npn
4) (***)einan
,cos(na)n etsin(na)n5) (**)(1)nlnnn
(1)nP(n)Q(n)oùPetQsont deux polynômes non nuls7) (****)(sin(n!pe))ppentier naturel non nul.
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.1) (**)
å+¥n=0n+13
n2) (**)å+¥n=32n1n34n3) (***)å+¥n=01(3n)!
4) (*)
å+¥n=21pn1+1pn+12pn
5) (**)
å+¥n=2ln
1+(1)nn
6) (***)
å+¥n=0lncosa2
na20;p2 textbf7)å+¥n=0th
a2 n2 n 1 converge. Montrer queun=n!+¥o1n . Trouver un exemple de suite(un)n2Nde réels strictement positifs telleque la série de terme généralunconverge mais telle que la suite de terme généralnunne tende pas vers 0.
2diverge.
u n)etRun0dx1+xesont de mêmes natures. terme généralpu nnconnaissant la nature de la série de terme généralunpuis en calculer la somme en cas de convergence.
Pourn2N, on poseSn=u0+:::+un. Etudier en fonction dea>0 la nature de la série de terme généralun(Sn)a.
2a,n>1.
+13 14 +:::=ln2.A partir de la série précédente, on construit une nouvelle série en prenantptermes positifs,qtermes négatifs,p
termes positifs ... (Par exemple pourp=3 etq=2, on s"intéresse à 1+13 +15 12 14 +17 +19 +11116 18 2
Convergence et somme de cette série.
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général1) (**)un=2n33n2+1(n+3)!2) (***)un=n!(a+1)(a+2):::(a+n),n>1,a2R+donné.
n!(a+1)(a+2):::(a+n)quandntend vers l"infini (aréel positif donné).å+¥k=n+11k
2quandntend vers l"infini.
Partie principale quandntend vers+¥de
1) (***)
å+¥p=n+1(1)plnpp
2) (**)ånp=1pp.
n2N;n6=p1n 2p2 etån2N
p2N;p6=n1n 2p2 . Que peut-on en déduire ?å+¥n=0(1)n3n+1.
. Montrer que si la série de terme général(un)2converge alors la série de terme général(vn)2converge et queå+¥n=1(vn)264å+¥n=1(un)2(indication :
majorerv2n2unvn). 3ånk=0(1)k2k+1,n>0.
Correction del"exer cice1 N1.Pour n>1, on poseun=lnn2+n+1n 2+n1 .8n>1,unexiste u n=ln1+1n +1n2ln1+1n
1n2=n!+¥
1n +O1n 21n+O1n 2=O1n 2.
Comme la série de terme général
1n2,n>1, converge (série de RIEMANNd"exposanta>1), la série de
terme généralunconverge. 2.Pour n>2, on poseun=1n+(1)npn
.8n>2,unexiste et de plusunn!+¥1n . Comme la série de terme général 1n ,n>2, diverge et est positive, la série de terme généralundiverge. 3.Pour n>1, on poseun=n+32n+1
lnn. Pourn>1,un>0 et ln(un) =ln(n)lnn+32n+1 =ln(n) ln12 +ln 1+3n ln 1+12n n!+¥ln(n) ln2+O1n n!+¥ln2ln(n)+o(1):Doncun=eln(un)n!+¥eln2lnn=1n
ln2. Comme la série de terme général1n ln2,n>1, diverge (série de RIEMANNd"exposanta61) et est positive, la série de terme généralundiverge. 4. Pour n>2, on poseun=1ln(n)ln(chn).unexiste pourn>2. ln(chn)n!+¥lnen2 =nln2n!+¥net unn!+¥1nln(n)>0. Vérifions alors que la série de terme général1nlnn,n>2, diverge. La fonctionx!xlnxest continue,
sur]1;+¥[). Par suite, la fonctionx!1xlnxest continue et décroissante sur]1;+¥[et pour tout entierk
supérieur ou égal à 2,1klnk>Rk+1
k1xlnxdxPar suite, pourn>2,
nk=2klnk>ånk=2R
k+1 k1xlnxdx=Rn+1Doncunest positif et équivalent au terme général d"une série divergente. La série de terme généralun
diverge. 5.Pour n>1, on poseun=arccos3q11n
2.unexiste pourn>1. De plusun!n!+¥0. On en déduit que
u nn!+¥sin(un) =sin arccos 3r11n 2! =s1 11n 2 2=3 =n!+¥s11+23n2+o1n 2 n!+¥r2 3 1n >0terme général d"une série de RIEMANNdivergente. La série de terme général un diverge.
6. Pour n>1, on poseun=n2(n1)!.unexiste etun6=0 pourn>1. De plus, 5 un+1u n =(n+1)2n2(n1)!n!=(n+1)2n
3n!+¥1n
!n!+¥0<1. D"après la règle de d"ALEMBERT, la série de terme généralunconverge. 7.Pour n>1, on poseun=
cos1pn n1pe .unest défini pourn>1 car pourn>1,1pn 20;p2 et donc cos 1pn >0. Ensuite ln cos1pn n!+¥ln112n+124n2+o1n
2 n!+¥12n+124n218n2+o1n 2 n!+¥12n112n2+o1n 2Puisnln
cos1pn =n!+¥12112n+o1n
et donc u n=enln(cos(1=pn)1pe =n!+¥1pe e112n+o(1n )1 n!+¥112npe <0.La série de terme général112npe
est divergente et donc la série de terme généralundiverge. 8. ln 2p arctann2+1n =ln 12p arctannn 2+1 n!+¥2p arctannn 2+1 n!+¥2p nn2+1n!+¥2np<0:
Donc, la série de terme généralundiverge. 9.Pour n>1, on poseun=Rp=2
0cos2xn
2+cos2xdx.
Pourn>1, la fonctionx7!cos2xn
2+cos2xdxest continue sur0;p2
et positive et donc,unexiste et est positif.De plus, pourn>1,
06un6Rp=2
01n2+0dx=p2n2.
La série de terme général
p2n2converge et donc la série de terme généralunconverge.10.p2sin
p4 +1n =sin1n cos1n =n!+¥1+O1n puis p2sin p4 +1n lnn=n!+¥ln(n)+Olnnn =n!+¥ln(n)+o(1).Par suite,
0 (p4 +1n )lnnn!+¥elnn=1n La série de terme général
1n diverge et la série de terme généralundiverge. 11.nln1+1n
=n!+¥112n+o1n et donc u n=n!+¥ee112n+o(1n )=n!+¥e11+12n+o1n n!+¥e2n>0. 6 La série de terme général
e2ndiverge et la série de terme généralundiverge.Correction del"exer cice2 N1.Si Pn"estpasunitairededegré3,unnetendpasvers0etlasériedetermegénéralundivergegrossièrement.
SoitPun polynôme unitaire de degré 3. PosonsP=X3+aX2+bX+c. u n=n 1+2n 2 1=4 1+an +bn 2+cn 3 1=3! n!+¥n 1+12n2+O1n
3 1+a3n+b3n2a29n2+O1n
3 n!+¥a3 +12 b3 +a29quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
La série de terme général
1n diverge et la série de terme généralundiverge.11.nln1+1n
=n!+¥112n+o1n et donc u n=n!+¥ee112n+o(1n )=n!+¥e11+12n+o1n n!+¥e2n>0. 6La série de terme général
e2ndiverge et la série de terme généralundiverge.Correction del"exer cice2 N1.Si Pn"estpasunitairededegré3,unnetendpasvers0etlasériedetermegénéralundivergegrossièrement.
SoitPun polynôme unitaire de degré 3. PosonsP=X3+aX2+bX+c. u n=n 1+2n 2 1=4 1+an +bn 2+cn 3 1=3! n!+¥n1+12n2+O1n
31+a3n+b3n2a29n2+O1n
3 n!+¥a3 +12 b3 +a29quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] les différentes couleurs et leurs noms
[PDF] conjugaison passé simple pdf
[PDF] elle m'a offerte
[PDF] la robe que tu m'as offerte
[PDF] il les a offertes
[PDF] les fleurs que tu m'as offert
[PDF] les fleurs que vous m'avez offertes
[PDF] que devient l'âme après la mort
[PDF] photo d'âme
[PDF] combien de temps l'ame quitte le corps
[PDF] ame qui sort du corps pendant le sommeil
[PDF] photo de l âme
[PDF] quand l'âme quitte le corps islam
[PDF] sentiment suscité chez le spectateur par les personnages tragiques