Séries
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général. 1) (**) un = 2n3?3n2+1. (n+3)!. 2) (***) un = n! (a+1)(a+2)(a+n) n ? 1
Analyse combinatoire
6 mars 2008 Notation : le nombre de permutations de k parmi n est noté Ank. Exemple : les arrangements de 2 éléments pris dans {1
Calcul Algébrique
2n. = (n + 1)2n. 2n + ··· + 2n. = (n + 1)2n . 2. Page 3. Maths en L?1gne. Calcul Algébrique. UJF Grenoble.
Suites 1 Convergence
Posons u2 = 1? 1. 22 et pour tout entier n ? 3 un = (. 1?. 1. 22. )( 1?. 1. 32. ) ···. (. 1?. 1 n2. ) . Calculer un. En déduire que l'on a limun =.
Exo7 - Exercices de mathématiques
n=1. [. 33+. 1 n2. [ et I2 = +?. ? n=1. ] ?2?. 1 n.
Exercices corrigés sur les séries entières
1 n(n + 2). an = 1 n cos. (. 2n?. 3. ) . Exercice 6 Calculer. ?. ? n=0 n 2. 1 + n. ?1. 1+(n. ?. 2)?1. ?. 1. ?. 2. (. 1 +. 1 n. )( 1 ?. 1 n.
Arithmétique dans Z
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120. Correction ?. Vidéo ?. [000257]. Exercice 3. Montrer que si n est
L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques
(d) Étudier le cas ? < 1. Exercice 3 Calculer la somme des séries. ? n?1. 1.
Exercices corrigés
Cours no 2 : « Contrôle du flux d'instructions ». 1. Utilisez une exception pour calculer dans une boucle évoluant de -3 à 3 compris
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
+ 3? n2 ? 3= n2 + 2n +1+ 3? n2 ? 3= 2n +1. La différence entre un terme et son précédent ne reste pas constante. (vn) n'est pas une suite arithmétique.
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1 Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ? ?= 0;1;2;3;4
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n=1 [ 33+ 1 n2 [ et I2 = +? ? n=1 ] ?2? 1 n 4+n2 ] Correction ? [000136] Exercice 37 Montrez que chacun des ensembles suivants est un
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Vérifier que : n2 + 5n + 7 = (n + 2)(n + 3) + 1 puis montrer que n2 + 5n + 7 est impair 1 – Déterminer la parité des nombres suivants : A = n(n + 1) ; B= (2n+1)
[PDF] Suites 1 Convergence - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 4 Soit (un)n?N une suite de R Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un)n converge vers un réel l alors (u2n)n et (u2n+1)n
[PDF] Séries - Exo7 - Exercices de mathématiques
n n ? 2 diverge et est positive la série de terme général un diverge 3 Pour n ? 1 on pose un = ( n+3 2n+1 )
[PDF] chapitre 3 : congruences et arithmétique modulaire
Par la division euclidienne on peut écrire a = qn + r avec q r entiers et 0 ? r ? n ? 1 Et a ? r (mod n) car leur différence est qn Donc a est congru à
[PDF] Analyse combinatoire
6 mar 2008 · Notation : le nombre de permutations de k parmi n est noté Ank Exemple : les arrangements de 2 éléments pris dans {1234} sont {12}{
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1 Si n est pair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k) alors n2 est pair donc n2 +n est pair Si n est impair (c'est-à-dire qu'il existe un
[PDF] Exercice1 : Exercice3 : Exercice4: Exercice5: - Moutamadrisma
1 Déterminer la parité des nombres suivants : A (n 3)(n 4) 5 2 Montrer que si n 5k 2 = + alors n² 1 + est divisible par 5 3
[PDF] Calcul Algébrique
Ce chapitre est consacré à la manipulation de formules algébriques constituées de variables formelles de réels ou de complexes
Analyse combinatoire
Mathematiques Generales B
Universite de Geneve
Sylvain Sardy
6 mars 2008
1 Le but de l'analyse combinatoire (techniques de denombrement) est d'ap- prendre a compter le nombre d'elements d'un ensemble ni de grande cardinalite.Notation : la cardinalite d'un ensemble
, noteecard( ) =j j= # , est le nombre d'elements contenus dans l'ensemble .Analyse combinatoire 21. Principe de multiplication
Permet de compter le nombre de resultats d'experiences qui peuvent se decomposer en une succession de sous-experiences. Principe : suppose qu'une experience est la succession demsous-experiences. Si laieme experience aniresultats possibles pouri= 1;:::;n, alors le nombre total de resultats possibles de l'experience globale est n= mi=1ni=n1n2:::nm:Analyse combinatoire 3 Exemple : Vous achetez une valise a code 4 chires. Combien de possibilites avez-vous de choisir un code? Reponse :m= 4avecn1= 10,n2= 10,n3= 10,n4= 10, donc le nombre total de code possible est10101010 = 104. Exemple : les plaques mineralogiques aux U.S.A. sont formees de 3 lettres, suivies de 3 chires. Quel est le nomb rede plaques m ineralogiquesp ossibles? Quel est le nomb rede plaques qui commencent pa rla lettre U ?Analyse combinatoire 42. Permutations
Denition : une
p ermutation de nelementsdistincts e1;:::;enest un rearrangement o rdonne sans r epetition de ces nelements. Exemple : "a", "b" et "c" sont trois elements. Les arrangements possibles sont abc;acb;bac;bca;cab;cba:Le nombre d'arrangements est donc 6.
Notation : La fonction `factorielle' est la fonction de domaineN=f0;1;2;:::g qui a toutn2 Nassocien! =n(n1):::321. Ainsi0! = 1,1! = 1,2! = 2,3! = 6,:::,10! = 306280800.Analyse combinatoire 5 Le nombre de permutations denelementsdistincts est n!. Demonstration : par application du principe de multiplication a une experience anetapes :1 ere etape: n1=nchoix possibles.
2 eme etape: n2= (n1)choix possibles.
{nieme etape :nn= 1choix possible. Exemple : 4 Americains, 5 Suisses et 7 japonais doivent s'asseoir sur un m^eme banc, et doivent rester groupes par nationalite. Combien y a-t-il de dispositions possibles?Reponse :3!4!5!7!.Analyse combinatoire
6Denition : Un
a rrangement est une p ermutationde kelements pris parmi nelementsdistincts ( k6n). Les elements sont prissans r epetitionet sont ordonnes Notation : le nombre de permutations dekparminest noteAn;k. Exemple : les arrangements de 2 elements pris dansf1;2;3;4gsontIl y en a 12.
Peut-on trouver une formule pour compter le nombre d'arrangements?Analyse combinatoire 7 Il s'agit encore du principe de multiplication a une experience aketapes :1 ere etape: n1=nchoix possibles.
2 eme etape: n2= (n1)choix possibles.
{kieme etape :nk= (nk+ 1)choix possible.Donc :
A n;k=n(n1)(nk+ 1) =n(n1)(nk+ 1)(nk)(nk1)21(nk)(nk1)21:Le nombre d'arrangements est :
A n;k=n!(nk)!:Analyse combinatoire 8Exemple : Combien de mots de 3 lettres
distinct es p euvent^ etrefo rmesdans un alphabet de 26 lettres?Reponse :A26;3= (26)(25)(24) = 150600.
Exemple : Combien de mots de 3 lettres peuvent ^etre formes dans un alphabet de 26 lettres? Reponse :263= 170576, naturellement plus de possibilite qu'avec les arrange- ments.Analyse combinatoire 93. Combinaisons et coecients binomiaux
Denition : Un
combinaison de kelements pris dans un ensemble anelements distincts est un sous-ensemble akelements de cet ensemble. Les elements sont pris san sr epetition et ne sont pas o rdonnes Notation : le nombre de combinaisons dekparminest noteCn;koun k qui est appele coecient binomial. Exemple : les combinaisons de 2 elements pris dansf1;2;3;4gsont f1;2g;f1;3g;f1;4g;f2;3g;f2;4g;f3;4g:Il y en a 6.
Peut-on trouver une formule pour compter le nombre de combinaisons?Analyse combinatoire 10 Dans un sous-ensemble, les elements ne sont pas ordonnes, au contraire d'un arrangement. Par consequence, a chaque sous-ensemble correspondk!arrangements, donc : C n;k=An;kk! n!k!(nk)!: Exemple : on a 15 medicaments et on veut tester leur compatibilite en groupe de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles?Reponse :C15;4=15!4!11!
= 10365possibilites.Analyse combinatoire 11Proprietes :
{Cn;k=Cn;nkF ormulede r ecurrenceCn;k=Cn1;k1+Cn1;k.
Demonstration : Soit
=fw1;:::;wng. Le nombreCn;kest le nombre de sous-ensembles de de cardinalitek. Soit kcet ensemble de sous- ensembles; il se decompose en l'union de deux ensembles disjoints : k= k;w1=a[ k;w16=a Orj kj=j k;w1=aj+j k;w16=aj j k;w1=aT k;w16=aj. Doncj kj=Cn1;k1+Cn1;k0. Le tr ianglede P ascalest une cons equencede la f ormulede r ecurrence: Analyse combinatoire 12 0 0 1 0 1 1 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 3 3 etc... 1 1 1 1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 1.........Analyse combinatoire
13 Combien y a-t-il de sous-ensembles d'un ensemble de ca rdinaliten? fe1,e2,:::,engoui non oui non :::oui non soit un total de2nsous-ensembles.Le b in^omede Newton : (x1+x2)n=Pn
k=0n k x k1xnk2.Analyse combinatoire 144. Coecients multinomiaux
Le but est de decouper un ensemble denelements enrsous-ensembles de taillesn1;n2;:::;nr, tels quen1+n2+:::+nr=n, et de determiner le nombre de decoupages possibles. Exemple : L'ensemblef1;2;3;4gen 3 sous-ensembles de tailles 2, 1 et 1.Il y en a 12.
Peut-on trouver une formule pour compter le nombre de decoupage?Analyse combinatoire 15On applique le principe de multiplication :
il y a Cn;n1choix pour le premier sous-ensemble il y a Cnn1;n2choix pour le deuxieme sous-ensemble il y a Cnn1:::nr1;nrchoix pour lerieme sous-ensembleSoit au total :
C n;n1Cnn1;n2Cnn1:::nr1;nr n!n1!(nn1)!(nn1)!n
2!(nn1n2)!(n(n1 nr1))!n
r!(n(n1 nr))! n!n1!n2!nr!=:n
n1;n2;;nr
:Analyse combinatoire 16Proprietes :
Quand r= 2, on retrouve le coecient binomial puisque n k;nk =n k =n nkTh eorememultinomial
(x1++xr)n=X n1;:::;nr:Pri=1ni=n
n n1;n2;;nr
x n11xn22xnrr:Analyse combinatoire 17 Exemple : Quatre joueurs Georges, Jacques, Tony et Angela recoivent 13 cartes d'un jeu de 52. Combien y a-t-il de repartitions possibles des cartes entre ces 4 joueurs?Reponse :52
13;13;13;13
52!(13!)
45:361028.
Exemple : Une usine delocalise et envoie les employes d'un bureau d'etude de 23 personnes dans un bureau de 13 personnes en Chine, et deux bureaux de 5 pesonnes en Pologne et Irlande. Combien de groupes peuvent ^etre formes?Reponse :23
13;5;5
.Analyse combinatoire 184. Applications
P1 : Quatre couples doivent ^etre assis dans une rangee de 8 chaises.Combien y a-t-il de facon de le faire si :
Il n'y a pas de contraintes.
R :8! = 400320
Les hommes doivent rester ensemble et les femmes au ssi.R :2(4!)2= 10152
Les hommes doivent rester ensemble.
R :5(4!)2= 20880
Chaque couple ma riedoit rester ensemble.
R :24(4!) = 384Analyse combinatoire
19 P2 : Combien de mots dierents (qui ont un sens ou non) peut-on former avec les lettres des mots suivants? v elos papier banane minimum Analyse combinatoire 20 P3 : on verra que, pour des evenements elementaires equiprobables, la probabilite d'un evenementGest donnee par : P(G) =Nombre de cas favorables pour Gnombre de cas possibles Exemple : on lance une piece de monnaie equitable deux fois de suite. Quelle est la probabilite que deux resultats soient identiques?Analyse combinatoire 21R : L'univers (ensemble des cas possibles) de l'experience est =f(P;P);(P;F);(F;P);(F;F)g: Doncj j= 4. L'ensemble "les deux resultats sont identiques" est
G=f(P;P);(F;F)g;
de cardinalitejGj= 2. Donc la probabilite que deux resultats soient identiques estP(G) =jGjj
j=24 = 0:5Analyse combinatoire 22Exemple : Il y anpersonnes dans une classe. Quelle est la probabilite de l'evenementG="au moins deux personnes ont le m^eme anniversaire"?
R : L'univers est
=f1;2;:::;365gn de cardinalitej j= 365n. Plut^ot que de travailler avec l'ensembleG, travaillons avec son complementaireGc="lesnanniversaires sont distincts".Cet ensemble a pour cardinalitejGcj=A365;n, donc
P(Gc) =A365;n365
n; et par consequentP(G) = 1P(Gc) = 1A365;n365 n.Q : Cette formule marche-t-elle pourn >365?
Q : A partir de quelle valeur dencette probabilite est superieure a 0.5?Analyse combinatoire 23Exemple : On repetenfois le lancer de deux des. Calculer la probabilite que le 6 apparaisse au moins une fois. Quelle valeur donner anpour que cette probabilite atteigne 1/2? La probabilite que le 6 n'apparaisse pas est52=62pour un jet. Par le principe de multiplication, la probabilite que le 6 n'apparaisse pas dans njets est(52=62)n. Donc la probabilite que le 6 apparaisse au moins une fois dansnjets est
1(5=6)2n:
Pour que cette probabilite soit superieure a 1/2, il faut quen>?.Analyse combinatoirequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] les différentes couleurs et leurs noms
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