Un memento sur les coniques
Lorsque 0 <e< 1 on dit que C est une ellipse lorsque e = 1 une parabole
1 Équations cartésiennes des coniques
e) Par calcul déterminer si B(8;4) est dans la cercle ou en dehors du cercle ?. Réponses en valeur exacte. Exercice 3. 1) Déterminer l'équation cartésienne du
coniques.pdf
4 déc. 2012 Plus généralement dans un repère centré sur le foyer et dans lequel la directrice a pour équation r = d cos(? ? ?0).
Coniques quadriques et formes quadratiques
que l'on se fixe l'équation d'une même conique dans le plan est donnée par un polynôme de degré 2 en les coordonnées (x
ÉQUATIONS POLAIRE DES CONIQUES
1) Une équation polaire qui a une des quatre formes suivantes est une section conique. (parabole ellipse
Discussion dune conique donnée par une équation enveloppe ou
des problèmes sur les enveloppes des cordes de coniques. I. Théorème. p et q cette relation est l'équation enveloppe d'une conique. Démonstration.
LES CONIQUES
que la distance de M à un point fixe (appelé foyer de la conique) équation polaire d'une ellipse avec origine au foyer F l'axe polaire.
TECHNIQUES & MÉTHODES S09 CONIQUES Équations
1 sept. 2011 Comment obtenir une équation cartésienne d'une conique? Tout dépend de la définition de la conique ?! ? Si ? est définie par un foyer F une ...
AL 6 - Matrices symétriques - Coniques 1 Matrices symétriques 2
De plus : • ?1 et ?2 sont les valeurs propres de la matrice associée à la partie quadratique de l'équation de. C ;. • u (resp. v) est un vecteur propre unitaire
Coniques
équation cartésienne x = -h avec h > 0
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19 sept 2021 · k = 0 La conique se réduit à un seul point o • k < 0 La conique ne possède aucun point • k > 0 La conique est une ellipse d'équation du type
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On dit que C est une conique lorsqu'il existe un repère ? de ? dans lequel C admet une équation du type ax2 + 2?xy + by2 + 2cx + 2dy + e = 0 avec (a ?
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Soit D une droite F un point F /? D et e un réel > 0 On appelle conique de directrice D de foyer F et d'excentricité e l'ensemble C des points M de E
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12 déc 2011 · l'hyperbole dont l'équation est particulièrement simple dans un On appelle conique de directrice D de foyer F et d'excentricité e
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Une application de cette équation polaire est les lois de Kepler sur le mouvement des planètes : dans les coordonnées polaires avec le Soleil comme base on
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? Nous définirons tout d'abord (paragraphes 2 à 6) les coniques comme lieu géométrique des points dans le plan vérifiant une certaine équation appelée équation
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Les coniques sont des courbes planes Elles sont caractérisées par le fait que leur équation dans le plan en géométrie analytique est de la formeP(x
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CONIQUES I - Courbes planes du second degré Il s'agit des courbes planes qui ont dans un repère orthonormé )( jiO ?? une équation de la forme :
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Equations des coniques à centre dans un repère lié aux axes de la conique L'axe focal sera l'axe des x le centre de la conique l'origine et l'axe des y
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4 déc 2012 · 1 Définition monofocale des coniques 1 1 Équations cartésienne et polaire Définition 1 Soit D une droite du plan F un point du plan
Comment trouver l équation d'une conique ?
La conique C a pour équation cartésienne x2 + y2 = e2(x ? h)2 et pour équation polaire, au choix, l'une des deux suivantes : ? = eh ecos? + 1 ou ? = eh ecos? ? 1 . Démonstration. Soit M = (x, y) un point du plan.Comment calculer le discriminant d'une conique ?
Pour (x,y) ? R2, posons f(x,y) = 2x2 +6xy+5y2 +4x+6y+1 et Q((x,y)) = 2x2 +6xy+5y2. Le discriminant de cette conique est ? = 2??32 = 1 > 0 et la courbe (?) est du genre ellipse c'est-à- dire soit une ellipse, éventuellement un cercle, soit un point, soit l'ensemble vide.Comment construire une conique ?
On peut construire une conique ? comme le lieu des points situés à égale distance d'un foyer F et d'un cercle centré en F' et de rayon R. Si F est à l'intérieur du cercle (FF' < R) on obtient une ellipse, sinon une hyperbole. En effet soit M un point de ? et N l'intersection du cercle avec le rayon [F' M).- si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse ; dans le cas maximal où l'angle d'inclinaison du plan de coupe est droit, cette ellipse est même un cercle.
Un memento sur les coniques
On se place dans un plan euclidien orient´eE. La distance de deux pointsA,Best not´ee AB.1 D´efinition par foyer et directrice
SoitDune droite,Fun point,F /?Deteun r´eel>0. On appelleconiquededirectrice D, defoyerFet d"excentricit´eel"ensembleCdes pointsMdeEqui v´erifientMF=eMH (Hd´esigne la projection deMsurD). Lorsque 0< e <1 on dit queCest uneellipse, lorsquee= 1 uneparabole, lorsquee >1 unehyperbole.SoitKla projection deFsurD. On ´ecrit
l"´equation deCdans le rep`ere orthonorm´e d"ori- gineKet dont les axes sont port´es parKFetD, voir Figure 1. On poseF= (d,0), avecd?R. On a alors, siM= (x,y),MF2= (x-d)2+y2= e2MH2=e2x2doncx2(1-e2)+y2-2dx+d2= 0.
On constate queCest donn´ee par une ´equation de la formef(x,y) = 0 avecfpolynˆome de degr´e 2. D y x KF (d,0)
M (x,y)
HFigure 1
Dans le cas de la parabole on a l"´equationy2-2dx+d2. SoitS= (0,d/2) le point d"intersection deCavec l"axe desx(lesommetde la parabole). Il est commode de faire le changement de rep`ereX=x-d/2 etY= yqui met l"origine au sommet. On a alors l"´equation Y2-2dX= 0. L"axe desyest tangent `aCenS, voir
Figure 2.
D y x K FSFigure 2
2 D´efinition bifocale
2.1 L"ellipse
On se donne deux points distinctsF,F?et un nombrea >0. On consid`ere l"ensembleC des pointsMqui v´erifientMF+MF?= 2a. On note que si 2a < FF?,Cest vide et que si2a=FF?,Cest le segment [FF?]. On suppose d´esormais 2a > FF?.
2.1 Proposition.L"ensembleCest une ellipse.
Le plus simple est d"´ecrire l"´equation dans le rep`ere centr´e enOmilieu deFF?et dont les axes sontFF?et la perpendiculaire `aFF?enO. On poseF= (c,0),F?= (-c,0) (on a0< c < a) et on a, siM= (x,y),MF2= (x-c)2+y2,MF?2= (x+c)2+y2, d"o`uMF?2-MF2=
4cx= (MF?-MF)(MF+MF?) = 2a(MF?-MF). On en d´eduitMF?-MF= 2cx/aet,
avec la somme :MF=a-cx/a, d"o`u, en ´elevant au carr´ex2(1-c2/a2) +y2=a2-c2ou encorex2/a2+y2/(a2-c2) = 1. Soit alorsDla perpendiculaire `aFF?en le pointK= (a2/c,0). On v´erifie queCest l"ellipse de foyerF, de directriceDet d"excentricit´ee=c/a. (Faire le changement de rep`ere X=x-a2/c,Y=yet poserd= (c2-a2)/c). On notera que la mˆeme chose marche avec le foyerF?et la directriceD?sym´etrique deDpar rapport `aO. On dit queFetF?sont les foyersdeCetD,D?sesdirectrices.2.2 Description deC
On poseb=⎷a
2-c2. On ab < a. L"´equation deCest alors :
(?)x2a 2+y2b 2= 1. On note queCadmet les axes de coordonn´ees comme axes de sym´etrie etOcomme centre de sym´etrie. Le pointOest lecentrede l"ellipse. L"ellipse coupe l"axe desxenA= (a,0) et A ?= (-a,0) et l"axe desyenB= (0,b) etB?= (0,b?). Ces quatre points sont lessommetsde C. Le segment [A?A] est legrand axe, le segment [BB?] lepetit axe. On retrouve la relation a2=b2+c2en ´ecrivantBF+BF?= 2aet en appliquant Pythagore au triangleBOF.
La figure 3 r´esume la plupart des propri´et´es de l"ellipse. D D'F (c,0)
a y x OA (a,0)
B (0,b)
B' A'F' M K (a 2 /c,0)HFigure 3
2.3 L"hyperbole
On se donne encore deux points distinctsF,F?et un nombrea >0. On consid`ere cette fois l"ensembleCdes pointsMqui v´erifient|MF-MF?|= 2a. On note que si 2a > FF?,Cest vide et que si 2a=FF?,Cest la r´eunion de deux demi-droites. On suppose d´esormais 2a < FF?.2.2 Proposition.L"ensembleCest une hyperbole.
On travaille dans le mˆeme rep`ere que pour l"ellipse (avec toujoursF= (c,0),F?= (-c,0)) et le calcul est analogue (il faut distinguer selon queMF≥MF?ou non). On trouve encore l"´equationx2(1-c2/a2) +y2=a2-c2qui s"´ecrit cette fois : x2/a2-y2/(c2-a2) = 1 (on ac > a).
SiDest la perpendiculaire `aFF?en le pointK= (a2/c,0) on v´erifie comme dans le cas de l"ellipse queCest l"hyperbole de foyerF, de directriceDet d"excentricit´ee=c/a >1. L`a encore, la mˆeme chose marche avec le foyerF?et la directriceD?sym´etrique deDpar rapport `aO. On dit queFetF?sont lesfoyersdeCetD,D?sesdirectrices.2.4 Description deC
On poseb=⎷c
2-a2. L"´equation deCest alors :
(??)x2a 2-y2b 2= 1. On note queCadmet les axes de coordonn´ees comme axes de sym´etrie etOcomme centre de sym´etrie. Le pointOest lecentrede l"hyperbole. L"hyperbole coupe l"axe desxenA= (a,0) etA?= (-a,0) mais ne coupe pas l"axe desy. Les pointsAetA?sont lessommetsdeC. L"hyperbole admet les droitesy=±(b/a)xcommeasymptotes(´ecrire l"´equation sous la forme y=±(b/a)⎷x2-a2). Ces asymptotes sont perpendiculaires si et seulement sia=b(ou encore
sie=⎷2). On dit alors que l"hyperbole est´equilat`ere. Si on rapporte l"hyperbole `a un rep`ere
port´e par ses asymptotes son ´equation devientXY= 1. Attention, ce rep`ere n"est orthonorm´e
que si l"hyperbole est ´equilat`ere. La figure 4 r´esume la plupart des propri´et´es de l"hyperbole. x y D' D OA (a,0)
F (c,0)
A' F'KFigure 4
3 R´eduction des ´equations
On suppose maintenantE=R2. On consid`ere une courbe Γ d"´equationf(x,y) = 0 avec f(x,y) =ax2+ 2bxy+cy2+ 2dx+ 2ey+f. On supposea,b,cnon tous nuls (sinon la courbe est une droite).3.1 Proposition.Il existe un rep`ere orthonorm´e dans lequelΓa pour ´equationAX2+BY2+
2CX+ 2DY+E= 0avecAetBnon tous deux nuls.
D´emonstration.On consid`ere la forme quadratiqueax2+ 2bxy+cy2, de matriceQ=?a b
b c? Il existe une base orthonorm´ee deR2dans laquelle cette matrice est diagonale, comme en- domorphismeetcomme forme quadratique. Dans cette base on a, siX,Ysont les nouvelles coordonn´ees,ax2+ 2bxy+cy2=AX2+BY2et la courbe a l"´equation cherch´ee. On ´etudie maintenant les courbes donn´ees par une ´equation : AX2+BY2+ 2CX+ 2DY+E= 0.
1) SiAB= 0, disons, par exemple,A?= 0 etB= 0. Il y a deux cas :
a)D= 0. L"´equation estAX2+ 2CX+E= 0. Elle d´efinit deux droites parall`eles `a l"axe desy(resp. une droite double, resp. le vide) selon que le discriminantC2-AEest>0 (resp. nul, resp.<0). b)D?= 0. L"´equation s"´ecritA(X+C/A)2+2D(Y+((EA-C2)/2AD)) = 0 et un changement de variables imm´ediat montre que Γ est une parabole.2) SiAB?= 0. On ´ecrit l"´equation sous la forme
A(X+C/A)2+B(Y+D/B)2+E-C2/A-D2/B= 0.
En changeant l"origine en (-C/A,-D/B), l"´equation devient de la formeAX2+BY2=ket quitte `a multiplier tous les coefficients par-1 on peut supposerA >0. a)B >0. Sik <0, Γ est vide. Sik= 0, Γ est r´eduit `a l"origine. Sik >0 la courbe est une ellipse (et si on posea2=k/A,b2=k/Bl"´equation est de la forme (?)). b)B <0. Sik= 0 on trouve la r´eunion de deux droites passant par l"origine. Sik?= 0, Γ est une hyperbole et son ´equation est de la forme (??) avec (sik >0),a2=k/Aetb2=-k/B.4 Equation en polaires
On travaille dansR2avec les coordonn´ees polaires (ρ,θ). On a doncx=ρcosθ,y=ρsinθ.
4.1 Proposition.SoitCla conique de foyerF= (0,0), de directriceDd"´equationx=het
d"excentricit´ee >0. La coniqueCa pour ´equation cart´esiennex2+y2=e2(x-h)2et pour ´equation polaire, au choix, l"une des deux suivantes :ρ=ehecosθ+ 1ouρ=ehecosθ-1.
D´emonstration.SoitM= (x,y) un point du plan. Il est surCsi et seulement si on aMF= eMH, ce qui ´equivaut `aMF2=e2MH2et donne l"´equation cart´esienne. NotonsE+(resp.E-) l"ensemble des pointsM= (x,y) = (ρcosθ,ρsinθ) qui v´erifient lapremi`ere ´equation polaire (resp. la seconde). On note d"abord (et c"est le point essentiel) qu"on
aE+=E-. En effet, si le point de coordonn´ees polaires (ρ,θ) est surE+, ce point a aussicomme syst`eme de coordonn´ees polaires (-ρ,θ+π) et on voit qu"il est surE-et inversement.
Montrons queE+est contenu dansC. SiM= (x,y) = (ρcosθ,ρsinθ) v´erifieρ=ehecosθ+ 1,
on aρ+ex=eh, d"o`uρ=e(h-x) et, en ´elevant au carr´e, on aMF2=e2MH2. Montrons queCest contenu dansE+?E-=E+. SiM= (x,y) = (ρcosθ,ρsinθ) v´erifie x2+y2=e2(x-h)2, ou encoreρ2=e2(ρcosθ-h)2, on aρ=e(ρcosθ-h) ouρ=e(h-ρcosθ).
Dans le premier casMest dansE-, dans le second il est dansE+.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] equation ellipse inclinée
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