[PDF] TECHNIQUES & MÉTHODES S09 CONIQUES Équations

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MPSI du lyc´ee Rabelaishttp://mpsi.saintbrieuc.free.frsemaine du 3+1erseptembre 2011

TECHNIQUES & M´ETHODES S09

NB :cette fiche reprend les techniques n´ecessairesminimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis!

CONIQUES

´Equations cart´esiennes des coniques

Comment obtenir une ´equation cart´esienne d"une conique? Tout d´epend de la d´efinition de la conique Γ!

Si Γ est d´efinie par un foyer, une directriceet son excentricit´e, on traduit en coordonn´ees cart´esiennes la

d´efinition monofocale :() =().

Si Γ est une ellipse d´efinie par ses deux foyers,et son grand axe 2, on traduit analytiquement la d´efinition

bifocale() +() = 2.

Si Γ est une hyperboleHdonn´ee par ses deux foyers,et son axe focal 2, on traduit en coordonn´ees la

d´efinition bifocale()?()= 2. Comment obtenir une ´equation cart´esienne de la tangente Soit Γ la courbe d"´equation2++2+++= 0, o`u ()= (000). La tangente `a Γ au point

0(00) a pour ´equation cart´esienne

0+

2(0+0) +0+2(+0) +2(+0) += 0

Cette ´equation est obtenue `a partir de l"´equation de Γ par"d´edoublement des termes»:

2et2sont remplac´es dans l"´equation de la tangente en0par0et0;

etsont remplac´es dans l"´equation de la tangente en0par1

2(+0)12(+0);

est remplac´e dans l"´equation de la tangente en0par1

2(0+0).´Etude des courbes alg´ebriques de degr´e 2

Plan d"´etude

Soit Γ la courbe alg´ebrique d"´equation cart´esienne2++2+++= 0 (). dans un rond= (). Le plan d"´etude d"une telle courbe est le suivant : 1 d´eterminer la nature de Γ; 2 obtenir l"´equation r´eduite de Γ; 3 pr´eciser les ´el´ements caract´eristiques de Γ; 4 dessiner Γ. C"est gagn´e! Comment d´eterminer la nature d"une courbe alg´ebrique Pour d´eterminer la nature de Γ, je calcule le discriminant associ´e : si Δ =2?= 0 la conique est de type parabole; si Δ =2? 0 la conique est de type ellipse; si Δ =2? 0 la conique est de type hyperbole. Remarque :il ne faut pas conclure trop hˆativement

une conique de type parabole, peut ˆetre vide, r´eunion de droites parall`eles, ou une parabole;

une conique de type ellipse peut ˆetre vide, un point, un cercle ou une ellipse;

une conique de type hyperbole peut ˆetre r´eunion de deux droites s´ecantes, ou une hyperbole.

Comment r´eduire l"´equation cart´esienne d"une courbe alg´ebrique

C"est l"´etape la plus importante de l"´etude de Γ. Il s"agitde d´eterminer un rond,= (Ω) dans lequel l"´equation

de Γ est r´eduite. Pour cela, 1 j"´elimine tout d"abord les termes enau moyen d"une rotation d"angleR: Soit ==et= () le rep`ere polaire d"angle, o`uest choisi de la fa¸con suivante : si=,=

4convient;

si=,=1

2Arctan() convient.

2

Les formules de changement de rond permettent d"exprimer les coordonn´ees () d"un point de Γ dansen

fonction de ses coordonn´ees () dans.?= cos+sin=?sin+cos?= cos?sin = sin+cos

J"obtiens l"´equation de Γ dans le rep`ereen rempla¸cant dans (),etpar leurs expressions en fonction deet

3

Je pr´esente cette derni`ere ´equation sous forme canonique pour obtenir les coordonn´ees de l"origine Ω du rep`ere

= (Ω) dans lequel l"´equation de Γ est r´eduite. 1

Partant de l"´equation r´eduite de la conique, on peut poursuivre l"´etude en d´eterminant les ´el´ements caract´eristiques.

Comment d´eterminer les caract´eristiques d"une courbe parabole Si 0, la parabole d"´equation r´eduite2= 2, admet pour sommet, pour foyer(20), pour directrice la droite d"´equation=? 2.

Si 0 alors par sym´etrie par rapport `a (), la parabole d"´equation r´eduite2= 2admet pour sommet,

pour foyer(20), pour directrice la droite d"´equation=? 2. SiR, alors la parabole d"´equation r´eduite2= 2admet pour sommet, pour foyer(02), pour directrice la droite d"´equation=? 2. Comment d´eterminer les caract´eristiques d"une ellipse Si 0 , on note 0 tel que2=2+2.L"ellipse d"´equation r´eduite2

2+22= 1 avec 0 admet

pour sommets(?0)(0)(0)(0?), pour foyers(0)(0?), pour directrices, les droites =2 et pour excentricit´e=.

Si 0 , l"ellipse d"´equation r´eduite2

2+22= 1 s"y ram`ene en ´echangeant les rˆoles deet de, deet

de. Comment d´eterminer les caract´eristiques d"une hyperbole Si 0, on note 0 tel que2=2+2. L"hyperbole d"´equation r´eduite2

2?22= 1 a pour som-

mets(?0)(0), pour foyers(0),(?0), pour directrices les droites d"´equations=2 et pour excentricit´e=

Si 0, l"hyperbole d"´equation r´eduite?2

2+22= 1 se ram`ene au cas pr´ec´edent en ´echangeant les rˆoles de

et de, deet de.

Conique en polaires

La m´ethode est particuli`erement simple :

1 On commence par se ramener `a une ´equation de la forme :=1 +cos(?), ce qui permet d"identifier directement : le foyeret l"axe focal=; la directricequi a pour ´equation= cos(?); le param`etreet l"excentricit´e. 2

S"il s"agit d"une parabole, on a tous les ´el´ements caract´eristiques. S"il s"agit d"une conique `a centre,

on d´etermine les sommets focauxet, en calculant() et(+); on en d´eduit finalement le centre Ω =[],=1

2,=,=Ω.

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