Vecteurs et applications linéaires
Une famille qui contient le vecteur nul O = (00
Les vecteurs
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même longueur même direction et Pour tout point A
Chapitre 2 - Espaces vectoriels réels
réel. Le vecteur nul est dans ce cas la matrice nulle. 0 ··· 0.
Vecteurs et coordonnées
Le vecteur qui a une longueur nulle est appelé vecteur nul et on le note 0 . Ce vecteur n'a ni direction ni sens. Pour tout point A du plan
PRODUIT SCALAIRE
1) Norme d'un vecteur 0 si l'un des deux vecteurs u ! et v ! est nul ... Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.
3. Calcul vectoriel
Puisque le vecteur nul n'a pas de direction on utilise comme convention que le vecteur nul est orthogonal à tous les autres vecteurs. Si l'angle entre deux
CHAP 2. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées I
Ce sous-espace vectoriel de E est constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à la valeur propre ?. 4. L'ensemble des valeurs propres de
Cours 2
(. ) La seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0. Page 11. Preuve: Si sont linéairement
Espaces vectoriels
1 ??? 2014 Le singleton contenant seulement le vecteur nul est un espace vectoriel particulier. Ce n'est pas le plus intéressant.
VECTEURS ET DROITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Réciproquement si xy' – yx' = 0. Le vecteur v ! étant non nul
Chapitre 6 : Les vecteurs - CNRS
Remarque II 12 Si k est non nul et !u et !v v eri ent !u = k!v alors !v = 1 k!u D e nition II 13 Si !u et !v sont deux vecteurs on dit qu’il sont colin eaires s’il existe un r eel k tel que !v = k!u ou !u = k!v Remarque II 14 Le vecteur nul est colin eaire a tout autre vecteur (et c’est le seul vecteur satisfaisant cette propri
COURS SUR LES VECTEURS (S ) COURS (1/3)
Cette translation est appelée translation de vecteur AB II VECTEURS DU PLAN Un vecteur est un trajet que l’on représente à l’aide d’une flèche a Egalité de deux vecteurs On dit que deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont : - la même direction - le même sens - la même longueur Exemple :
Chapitre 8 : Vecteurs - e-lyco
Le vecteur ?BA est appelé vecteur opposé du vecteur ?AB et noté ??AB Les vecteurs ?AB et??AB ont même direction même norme mais sont de sens contraires Définitions : ?u et ?v désignent deux vecteurs • L’opposé du vecteur ?u est le vecteur noté ??u tel que ?u+(??u)=?0
03 : Les vecteurs I Notion de vecteur 1 Translation et vecteur
I Notion de vecteur 1 Translation et vecteur Définition Soit A et B deux points distincts du plan La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur Si le point D est l’image du point C par la translation de vecteur alors ABDC est un parallélogramme Interprétation
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Cours de Mathématiques – Classe de Première S – Chapitre 2 : Vecteurs et Droites Les coordonnées de M sont alors les a et b cherchés : il suffit de tracer les parallèles passant par M à (OI) et à (OJ) pour les trouver et elles sont uniques comme toutes coordonnées de point 3) Exemple
Comment définir un vecteur ?
1. Notion de vecteur Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur . Le mot direction désigne la direction de la droite qui "porte" ce vecteur; le mot sens permet de définir un sens de parcours sur cette droite parmi les deux possibles.
Est-ce que le vecteur nul n'a pas de direction?
Remarque : le vecteur nul n'a pas de direction, n'a pas de sens et sa norme est égale à 0. 4 /16 Vecteurs-cours Seconde IV. Somme de vecteurs 1. Somme de deux vecteurs Définition : Soit?u et ?vdeux vecteurs du plan.
Qu'est-ce que le vecteur nul ?
Le vecteur nul est assez particulier. En effet, contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction, ni sens! Mais il intervient souvent dans les calculs. On appelle norme du vecteur overrightarrow {AB} AB et on note ||overrightarrow {AB}|| ??AB?? la longueur du segment left [ABright] [AB] .
Comment calculer les vecteurs égaux?
Vecteurs égaux Définition : Dire que deux vecteurs?ABet?CDsont égaux signifie que le point D est l’image du point C par la translationde vecteur?AB. Exercice 2 Dans le carré ABCD de centre O ci-contre, compléter les égalités suivantes : ?AB= ?CB= ?OC= ?DO= Propriétés : A, B, C et D désignent quatre points du plan.
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur
u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v×cosu
;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB×AC
×cosBAC
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.
AB .AC =AB×AC
×cosBAC
=a×a×cos60° =a 2×0,5
a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur
u et v , on a : u .v =v .uDémonstration : On suppose que
u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v×cosu
;v =v ×u×cosu
;v =v ×u×cos-v
;u =v ×u×cosv
;u =v .u4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs
u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs
u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2Démonstration pour le 2) :
u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur
u , on a : u .u =u ×u×cosu
;u =u 2×cos0=u
2 et u .u =u 2On a ainsi :
u 2 =u .u =u 2Propriété : Soit
u et v deux vecteurs. On a : u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 2 et u .v 1 2 u +v 2 -u 2 -v 2Démonstration de la première formule :
u -v 2 =u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 =u 2 -2u .v +v 2 donc u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 24YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriété : Soit A, B et C trois points du plan. On a :
AB .AC 1 2 AB 2 +AC 2 -BC 2Démonstration :
AB .AC 1 2 AB 2 +AC 2 -AB -AC 2 1 2 AB 2 +AC 2 -CB 2 1 2 AB 2 +AC 2 -BC 2Exemple : Vidéo https://youtu.be/GHPvfaHnysg
CG .CF 1 2 CG 2 +CF 2 -GF 2 1 2 6 2 +7 2 -3 2 =38 III. Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u .v =0. Démonstration : Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente. Supposons le contraire.
u .v =0 ⇔u ×v×cosu
;v =0 ⇔cosu ;v =0Les vecteurs
u et v sont orthogonaux5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2) Projection orthogonale Définition : Soit une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. Propriété : Soit
u et v deux vecteurs non nuls du plan tels que u =OA et v =OB . H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). On a :quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] comment fabrique t on de l électricité
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