Vecteurs et applications linéaires
Une famille qui contient le vecteur nul O = (00
Les vecteurs
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même longueur même direction et Pour tout point A
Chapitre 2 - Espaces vectoriels réels
réel. Le vecteur nul est dans ce cas la matrice nulle. 0 ··· 0.
Vecteurs et coordonnées
Le vecteur qui a une longueur nulle est appelé vecteur nul et on le note 0 . Ce vecteur n'a ni direction ni sens. Pour tout point A du plan
PRODUIT SCALAIRE
1) Norme d'un vecteur 0 si l'un des deux vecteurs u ! et v ! est nul ... Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.
3. Calcul vectoriel
Puisque le vecteur nul n'a pas de direction on utilise comme convention que le vecteur nul est orthogonal à tous les autres vecteurs. Si l'angle entre deux
CHAP 2. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées I
Ce sous-espace vectoriel de E est constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à la valeur propre ?. 4. L'ensemble des valeurs propres de
Cours 2
(. ) La seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont 0. Page 11. Preuve: Si sont linéairement
Espaces vectoriels
1 ??? 2014 Le singleton contenant seulement le vecteur nul est un espace vectoriel particulier. Ce n'est pas le plus intéressant.
VECTEURS ET DROITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Réciproquement si xy' – yx' = 0. Le vecteur v ! étant non nul
Chapitre 6 : Les vecteurs - CNRS
Remarque II 12 Si k est non nul et !u et !v v eri ent !u = k!v alors !v = 1 k!u D e nition II 13 Si !u et !v sont deux vecteurs on dit qu’il sont colin eaires s’il existe un r eel k tel que !v = k!u ou !u = k!v Remarque II 14 Le vecteur nul est colin eaire a tout autre vecteur (et c’est le seul vecteur satisfaisant cette propri
COURS SUR LES VECTEURS (S ) COURS (1/3)
Cette translation est appelée translation de vecteur AB II VECTEURS DU PLAN Un vecteur est un trajet que l’on représente à l’aide d’une flèche a Egalité de deux vecteurs On dit que deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont : - la même direction - le même sens - la même longueur Exemple :
Chapitre 8 : Vecteurs - e-lyco
Le vecteur ?BA est appelé vecteur opposé du vecteur ?AB et noté ??AB Les vecteurs ?AB et??AB ont même direction même norme mais sont de sens contraires Définitions : ?u et ?v désignent deux vecteurs • L’opposé du vecteur ?u est le vecteur noté ??u tel que ?u+(??u)=?0
03 : Les vecteurs I Notion de vecteur 1 Translation et vecteur
I Notion de vecteur 1 Translation et vecteur Définition Soit A et B deux points distincts du plan La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur Si le point D est l’image du point C par la translation de vecteur alors ABDC est un parallélogramme Interprétation
Searches related to vecteur nul PDF
Cours de Mathématiques – Classe de Première S – Chapitre 2 : Vecteurs et Droites Les coordonnées de M sont alors les a et b cherchés : il suffit de tracer les parallèles passant par M à (OI) et à (OJ) pour les trouver et elles sont uniques comme toutes coordonnées de point 3) Exemple
Comment définir un vecteur ?
1. Notion de vecteur Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur . Le mot direction désigne la direction de la droite qui "porte" ce vecteur; le mot sens permet de définir un sens de parcours sur cette droite parmi les deux possibles.
Est-ce que le vecteur nul n'a pas de direction?
Remarque : le vecteur nul n'a pas de direction, n'a pas de sens et sa norme est égale à 0. 4 /16 Vecteurs-cours Seconde IV. Somme de vecteurs 1. Somme de deux vecteurs Définition : Soit?u et ?vdeux vecteurs du plan.
Qu'est-ce que le vecteur nul ?
Le vecteur nul est assez particulier. En effet, contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction, ni sens! Mais il intervient souvent dans les calculs. On appelle norme du vecteur overrightarrow {AB} AB et on note ||overrightarrow {AB}|| ??AB?? la longueur du segment left [ABright] [AB] .
Comment calculer les vecteurs égaux?
Vecteurs égaux Définition : Dire que deux vecteurs?ABet?CDsont égaux signifie que le point D est l’image du point C par la translationde vecteur?AB. Exercice 2 Dans le carré ABCD de centre O ci-contre, compléter les égalités suivantes : ?AB= ?CB= ?OC= ?DO= Propriétés : A, B, C et D désignent quatre points du plan.
![Espaces vectoriels Espaces vectoriels](https://pdfprof.com/Listes/18/6863-18ev.pdf.pdf.jpg)
Espaces vectoriels
Bernard Ycart
Vous devez vous habituer à penser en termes de " vecteurs » dans un sens trèsgénéral : polynômes, matrices, suites, fonctions, etc. Le problème est que, contrairement
àR2ouR3, il est difficile de visualiser des vecteurs dans un espace de dimension infinie... quand ce sont des fonctions par exemple! Avoir assimilé la théorie de la dimension finie serait une bonne idée avant d"attaquer ce chapitre.Table des matières
1 Cours 1
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Projections et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Récurrences linéaires d"ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Entraînement 24
2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Compléments 40
3.1 Kate and William : so romantic! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Équations de récurrence linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Polynômes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1 erdécembre 2014 Maths en LigneEspaces vectorielsUJF Grenoble1 Cours1.1 Définition
Unespace vectorielest un ensemble sur lequel sont définies : •une addition interne (on peut ajouter entre eux deux éléments de l"ensemble et cela donne un élément de l"ensemble) •une multiplication externe (on peut multiplier un élément de l"ensemble par un nombre réel et cela donne un élément de l"ensemble).Ces deux opérations doivent vérifier certaines propriétés de compatibilité qui sont listées
dans la définition 1. Définition 1.On dit queEest un espace vectoriel surRsiEest muni d"une addition et d"une multiplication externe vérifiant les propriétés suivantes. •Addition :?E×E-→E (v,w)?-→v+w1.Associativité :?u,v,w?E , u+ (v+w) = (u+v) +w
2.Élément neutre :?e?E ,?v?E , v+e=e+v=v
3.Opposé :?v?E ,?v??E , v+v?=v?+v=e
4.Commutativité :?v,w?E , v+w=w+v
Ces propriétés font de(E,+)un groupe commutatif. •Multiplication externe :?R×E-→E (λ,v)?-→λv5.Associativité :?λ,μ?R,?v?E , λ(μv) = (λμ)v
6.Élément neutre :?v?E ,1v=v
7.Distributivité (1) :?λ,μ?R,?v?E ,(λ+μ)v=λv+μv
8.Distributivité (2) :?λ?R,?v,w?E , λ(v+w) =λv+λw
La proposition suivante nous autorisera à noter0l"élément neutre pour l"addition (nous l"appellerons " vecteur nul ») et-vl"opposé dev.Proposition 1.SoitEun espace vectoriel.
1. Le produit par le réel0d"un vecteurvquelconque est l"élément neutre pour l"ad-
dition : ?v?E ,0v=e .2. Le produit par le réel-1d"un vecteurvquelconque est son opposé pour l"addition :
?v?E , v+ (-1)v=e . 1Maths en LigneEspaces vectorielsUJF GrenobleDémonstration: Notons (provisoirement)v?l"opposé devpour l"addition :v+v?=e.
En utilisant les propriétés de la définition 1 :0v= 0v+epar2.
= 0v+ (v+v?)par3. = 0v+ (1v+v?)par6. = (0v+ 1v) +v?par1. = (0 + 1)v+v?par7. = 1v+v?=v+v?=epar6. Ceci démontre le premier point. Pour le second, il suffit d"écrire v+ (-1)v= 1v+ (-1)v= (1 + (-1))v= 0v=e . Le singleton contenant seulement le vecteur nul est un espace vectoriel particulier. Ce n"est pas le plus intéressant. Voici quelques ensembles, naturellement munis d"une addition et d"une multiplication externe. Nous démontrerons plus loin que tous sont effectivement des espaces vectoriels.1.Nombres complexes :C={a+ ib, a,b?R}.
L"ensemble des complexes est muni de l"addition et de la multiplication par un réel, qui agissent sur les parties réelles et imaginaires. •Addition :(2 + 3i) + (1-2i) = 3 + i •Multiplication externe :(-2)(2-3i) =-4 + 6i2.n-uplets de réels :Rn={(x1,...,xn), x1,...,xn?R}.
L"ensemble desn-uplets de réels (couples pourn= 2, triplets pourn= 3, ...) est muni de l"addition et de la multiplication par un réel, coordonnée par coordonnée. •Addition :(1,2,3,4) + (3,-1,-2,2) = (4,1,1,6) •Multiplication externe :(-2)(3,-1,-2,2) = (-6,2,4,-4)3.Matrices à coefficients réels :Mm,n={(ai,j), ai,j?R,16i6m,16j6n}.
L"ensemble des matrices àmlignes etncolonnes, à coefficients réels, est muni de l"addition et de la multiplication par un réel, coefficient par coefficient. •Addition :?1-2 3 -4 5-6? +?-6 5-43-2 1?
=?-5 3-1 -1 3-5? •Multiplication externe :(-2)?1-2 3 -4 5-6? =?-2 4-68-10 12?
4.Suites de réels :RN={(un),?n?N,un?R}.
L"ensemble des suites de réels est muni de l"addition et de la multiplication par un réel, terme à terme. •Addition :(2-n) + (3n) = (2-n+ 3n) •Multiplication externe :(-2)(2-n) = (-2-n+1) 2Maths en LigneEspaces vectorielsUJF Grenoble5.Polynômes :R[X] ={a0+a1X+...+anXn, n?N,(a0,...,an)?Rn+1}.
L"ensemble des polynômes d"une variable, à coefficients réels est aussi muni na- turellement d"une addition et d"une multiplication externe. •Addition :(-1 + 2X+ 3X2) + (3X-X2-2X4) =-1 + 5X+ 2X2-2X4 •Multiplication externe :(-2)(3X-X2-2X4) =-6X+ 2X3+ 4X46.Applications :RR={f:x?→f(x),?x?R, f(x)?R}.
L"ensemble des applications deRdansRest muni de l"addition des images et de leur multiplication par un réel. •Addition :(cos+sin) :x?→cos(x) + sin(x) •Multiplication externe :(-2) cos :x?→ -2cos(x)Il est inutile de s"inquiéter de la quantité de propriétés à vérifier dans la définition 1.
Dans tous les exemples que l"on rencontrera, les opérations sont parfaitement natu-relles et leurs propriétés évidentes. On ne vérifie d"ailleurs jamais les8propriétés de la
définition 1. La raison pour laquelle c"est inutile sera explicitée dans la section suivante. Remarquons seulement pour l"instant que tous les exemples ci-dessus peuvent être mis en correspondance avec l"ensemble des applications d"un certain ensembleA, dansR. Cela va sans dire pour les applications deRdansR. Lesn-uplets de réels sont des applications de{1,...,n}dansR. Les nombres complexes peuvent être identifiés à des couples de réels, les matrices à des applications de{1,...,m}×{1,...,n}dansR. Les suites sont des applications deNdansR. Nous verrons plus loin comment les poly- nômes se ramènent à des suites. Nous nous contenterons donc de vérifier pour l"instant que l"ensemble des applications deAdansRest un espace vectoriel. Théorème 1.SoitAun ensemble quelconque etE=RAl"ensemble des applications deAdansR:E={v:x?A?-→v(x)?R}.
L"ensembleEest muni des deux opérations suivantes. •Addition :(v+w) :x?-→v(x) +w(x) •Multiplication externe :(λv) :x?-→λv(x) Muni de ces deux opérations,Eest un espace vectoriel surR. Démonstration: Chacune des propriétés requises par la définition 1 provient d"unepropriété analogue des réels. Plutôt que de répéter formellement les énoncés des pro-
priétés, il est plus intéressant de comprendre quels sont les objets que l"on manipule. Par exemple, l"élément neutre pour l"addition, même si on le note aussi0n"est pas le réel0: c"est l"application nulle. 0 : ?A-→R x?-→0 De même, l"opposé devest l"application qui àxassocie-v(x). -v:?A-→R x?-→ -v(x) 3Maths en LigneEspaces vectorielsUJF GrenobleConsidérons la propriété5.de la définition 1.
?λ,μ?R,?v?E , λ(μv) = (λμ)vElle signifie ici :
" si on multiplie parλl"application qui àxassocieμv(x), on trouve la même chose que si on multiplie parλμl"application qui àxassociev(x), c"est-à-dire l"application qui àxassocie(λμ)v(x), » ...ce qui est bien vrai, n"est-ce pas? Nous laissons au lecteur le plaisir de traduire de même chacune des propriétés de la définition 1. Nous ne parlerons dans ce chapitre que d"espaces vectoriels surR. Cependant, on peut remplacerRpar un autre corps commutatif dans la définition 1, sans modifier notablement la théorie. HormisR, les corps les plus utilisés sontCetZ/2Z.1.2 Sous-espaces vectoriels
La raison pour laquelle il est inutile en général de vérifier les8propriétés de la définition 1. est que tous les espaces vectoriels que l"on utilise sont dessous-espaces d"un espace vectoriel d"applications, c"est-à-dire qu"ils sont des sous-ensembles, sur lesquels on applique localement les opérations de l"espace entier. Définition 2.SoitEun espace vectoriel etFun sous-ensemble non vide deE. On dit queFest unsous-espace vectorieldeEs"il est un espace vectoriel pour l"addition et la multiplication externe deE. Observons que tout sous-espace vectoriel deEcontient au moins le vecteur nul. La notion prend tout son intérêt grâce au théorème suivant. Théorème 2.SoitEun espace vectoriel etF?Eun sous-ensemble non vide deE. L"ensembleFest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si : ?v,w?F v+w?F ?v?F ,?λ?Rλv?F(1) Démonstration: SiFest un sous-espace vectoriel deE, alors c"est un espace vectoriel et (1) est vrai. Montrons la réciproque. Parmi les 8 propriétés de la définition 1, celles qui ne font intervenir que le quantificateur?(associativités, commutativité, distributivités), puisqu"elles sont vraies dansE, restent vraies dansFà cause de (1). Il suffit doncde vérifier les2propriétés impliquant une existence (élément neutre et opposé). Nous
devons démontrer queFcontient le vecteur nul, ainsi que l"opposé de tout vecteur de F. D"après le premier point de la proposition 1, le vecteur nul s"écrit0vpour tout 4Maths en LigneEspaces vectorielsUJF GrenoblevecteurvdeE, donc pour tout vecteur deF. CommeFest non vide, il est donc dans
F. De même sivest un vecteur deF, alors son opposé, qui s"écrit(-1)vd"après le second point de la proposition 1, est aussi dansF. Voici une première application. Une suite(un)n?Nde réels estnulle à partir d"un certain rang(on dit aussià support fini) s"il existen0?Ntel que pour toutn>n0, u n= 0. Tout polynôme peut être identifié à la suite de ses coefficients, qui est nulle à partir d"un certain rang (le degré du polynôme, plus1). La proposition suivante démontre donc du même coup que l"ensemble des polynômes, muni de l"addition et de la multiplication externe, est un espace vectoriel. Proposition 2.L"ensemble des suites nulles à partir d"un certain rang est un sous- espace vectoriel de l"espace vectoriel des suites de réels. Démonstration: Soit(un)une suite, nulle à partir du rangn0, et(vn)une suite nulle à partir du rangn1. Alors la suite(un+vn)est nulle, au moins à partir du rang max{n0,n1}(et peut-être avant). Pour toutλ?R, la suite(λun)est nulle, au moinsà partir du rangn0.
Le résultat suivant découle tout aussi facilement du théorème 2. Proposition 3.L"intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vec- toriel. La réunion de deux sous-espaces vectoriels n"est pas un espace vectoriel en général (pensez à deux droites distinctes). Pour chacun des espaces vectoriels donnés en exemple à la section précédente, nous donnons dans les tableaux ci-dessous des sous-ensembles qui sont des sous-espaces vectoriels, et d"autres qui n"en sont pas. Nous conseillons au lecteur de le démontrer pour chacun. Pour démontrer qu"un ensemble est un sous-espace vectoriel, il suffit d"appliquer le théorème 2. Pour démontrer qu"un ensemblen"est pasun sous-espace vectoriel, il suffit de trouver un contre-exemple : vérifiez d"abord si0appartient àl"ensemble : si ce n"est pas le cas, c"est terminé. Sinon, vérifiez si l"opposé d"un vecteur
de l"ensemble est dans l"ensemble. Si c"est encore vrai, trouvez deux vecteurs particuliers de l"ensemble, tels que leur somme n"y soit pas.ComplexesOuiNon
{z?C,Re(z) = 0}{z?C,Re(z) = 1}{z?C,|z|= 0}{z?C,|z|= 1}{z?C,|z-eiπ/4|=|z+ eiπ/4|}{z?C,|z-eiπ/4|=|z|}5
Maths en LigneEspaces vectorielsUJF GrenobleCouples de réelsOuiNon
{(x,y)?R2, x= 0}{(x,y)?R2, x= 1}{(x,y)?R2,3x-2y= 0}{(x,y)?R2,3x2-2y2= 0}{(x,y)?R2,2x+ 3y= 0}{(x,y)?R2,sin(3x+ 2y) = 0}Matrices
OuiNon
{A? M2,2(R), A=tA}{A? M2,2(R), A=A2}{A? M2,2(R), A?1 1?=?00?}{A? M2,2(R), A?1
1?=?11?}{A? M2,2(R),tr(A) = 0}{A? M2,2(R),det(A) = 0}Suites de réels
OuiNon
{(un), u0= 0}{(un), u0= 1}{(un),?llimun=l}{(un),limun= +∞}{(un),?n, un+1= 2un}{(un),?n, un+1=un+ 1}Polynômes
OuiNon
{P?R[X],deg(P)65}{P?R[X],deg(P) = 5}{P?R[X], P(X) =P(-X)}{P?R[X], P2(X) =P2(-X)}{P?R[X], P(2) +P?(2) = 0}{P?R[X], P(2) +P?(2) = 1}Fonctions deRdansROuiNon
{f , f(0) = 0}{f , f(1) = 1}{f ,continues en0}{f ,|f|continue en0}{f ,dérivables sur]0,1[}{f ,non dérivables en0}Dans un espace vectoriel, l"associativité de l"addition permet d"écrire (sans parenthèses)
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] comment fabrique t on de l électricité
[PDF] vidéo
[PDF] comment produire de l'électricité
[PDF] propagation des ondes électromagnétiques exercices corrigés
[PDF] qu'est ce qu'un nombre relatif
[PDF] nombre décimal définition
[PDF] définition nombre rationnel
[PDF] un voyage de 10 ans bordeaux
[PDF] joseph vernet le port de bordeaux
[PDF] alimentation de la grenouille
[PDF] premiere vue du port de bordeaux
[PDF] joseph vernet une commande royale port de bordeaux
[PDF] vue du port de la rochelle vernet description
[PDF] whatsapp voir qui a lu groupe