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CAPES externe 2007 de Mathématiques

Deuxième composition : CORRIGÉ

Martial LENZEN

webmaster@capes-de-maths.com Les mathématiques sont une gymnastique de l"esprit et une préparation à la philosophie-Isocrate

2CAPES externe 2007:Deuxième composition

Introduction

Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On munitRndu produit scalaire usuel : i=1x iyi et on définit la norme d"un vecteurx=(x1,...,xn)?Rnpar ?x?=? n? i=1x2 i. Soitaun vecteur deRnnon nul, on notesala symétrie orthogonale deRndansRndéfinie par ?x?Rn,sa(x)=x-2?a,x? ?a,a?a. On dit qu"une partieRdeRnest unsystème de racinesdansRnsi elle vérifie les conditions suivantes : - la partieRest finie, ne contient pas0et engendre leR-espace vectorielRn; - pour toutα?R,sα(R)=R(en particulier,-α?R); - pour tousα,β?R,nα,β=2?α,β? ?α,α??Z; - pour toutα?R, les seuls éléments deRproportionnels àαsontαet-α.

Les coefficientsnα,β(α,β?R) sont appelés lescoefficients de structuredu système de racines

R. On dit que deux systèmes de racinesRetR?sont dessystèmes de racines isomorphess"il existe un isomorphisme d"espaces vectoriels?:Rn-→Rnvérifiant : Dans la partie I, on étudie les systèmes de racines du plan. Cette partie permet de se familiariser avec cette notion et d"avoir des exemples sur lesquels s"appuyer pour la suite du problème. Puis dans la partie II, on étudie des relations d"ordretotal compatibles avec la structure d"espace vectoriel deRn. Cette partie est indépendante de la partie I. Ces relations d"ordre permettront, dans la partie III, d"extraire d"un système de racines une base deRn.

Même si le fait d"avoir traité la partie I permet de mieux aborder celle-ci, le seul résultat

utile est rappelé en début de la partie III et pourra être admis. Seule la dernière question

dépend de la partie I. La partie IV est consacrée à l"étude d"un groupeengendré par les

symétries associées à un système de racines. On montrera que lessymétries associées à

une base suffisent à engendrer le groupe. Pour cela, on utilisera des résultats établis dans

la partie III. Ensuite, dans la partie V, on étudiera les groupesdiédraux et on montrera

qu"ils sont engendrés par deux éléments d"ordre 2. Cette partie est indépendante de ce qui

précède (sauf pour traiter la dernière question). Dans la partie VI, on associe à un système

de racines un ensemble de parties connexes deRnsur lesquelles agit le groupe défini dans la partie IV. On montre ensuite, par des arguments de dualité etde topologie, que toutes les bases extraites du système de racines sont en bijection avec cesconnexes. Cette partie se finit en montrant que le groupe agit simplement transitivementsur l"ensemble de ces connexes et sur l"ensemble des bases du système de racines.

CAPES externe 2007:Deuxième composition3

1 Systèmes de racines dansRn

Dans cette partie, on supposeran=2. SoitRun système de racines deR2. Pourα,β?R, on

noteθα,βl"angle géométrique entreαetβ, i.e. le nombre réel compris entre0etπdéfini

par cos(θα,β)=?α,β?

1.Soientα,β?R.

(a)Montrer quenα,βnβ,α=4cos2(θα,β). Remarquons que la commutativité de la multiplication dansRentraîne celle du produit sca- laire. Autrement dit, pour tousx,y?Rn,?x,y?=?y,x?. On a alors n

α,βnβ,α=2?α,β?

(b)En déduire les valeurs possibles deθα,β.

Puisqueα,β?R, on anα,β,nβ,α?Z, donc 4cos2(θα,β)?Z. Or 0?cos2(θα,β)?1, ce qui im-

plique que 4cos

2(θα,β)?{0,...,4}. On en déduit alors que

4cos

2(θα,β)?{0,...,4}

?cos2(θα,β)?? 0,1

4,12,34,1?

?cos(θα,β)?? -1,-? 3 2,-? 2

2,-12,0,12,?

2 2,? 3 2,1?

0,π

La dernière équivalence provient du fait queθα,βse trouve par définition dans [0,π].

(c)Montrer que le couple(nα,β,nβ,α)ne peut pas prendre les valeurs(1,4),(4,1), (-1,-4)et(-4,-1). Supposons que (nα,β,nβ,α)=(1,4) ou (nα,β,nβ,α)=(-1,-4). ?Nous avons d"une part que n impliquent ?α,α?=4?β,β???α?2=4?β?2??α?=2?β?. (?) ?D"autre part, nous avons quenα,β=±1 etnβ,α=±4 impliquent que cos α,β?[0,π]?θα,β=0 ouθα,β=π. (?)

4CAPES externe 2007:Deuxième composition

(?) et (?) impliquent queβest proportionnel àα, mais de norme différente : cela contredit le

fait que les seuls éléments deRproportionnels àαsontαet-α. Donc il n"est pas possible

que l"ont ait (nα,β,nβ,α)=(1,4) ou (nα,β,nβ,α)=(-1,-4).

En échangeant les rôles deαetβ, on montre de manière analogue que (nα,β,nβ,α)?=(4,1) et

(nα,β,nβ,α)?=(-4,-1). (d)Pourθα,β?=π

2, montrer que?α?2?β?2=nβ,αnα,βet en déduire les valeurs possibles du

rapport

Remarquons que

2?nα,βnβ,α?=0?nα,β?=0 etnβ,α?=0,

donc le quotientnβ,α/nα,βest bien défini. On a alors : n nα,β=2?β,α? On en déduit alors les valeurs possibles du rapport ?β?grâce au tableau 1 page suivante. La dernière ligne s"explique par le fait que siα,β?=0, alors n

α,β=0?2?α,β?

(e)En supposant?α???β?, présenter sous forme d"un tableau, les différentes valeurs

On suppose maintenant (quitte à échangerαetβ) que?α???β?. On fera bien attention au

fait qu"on demande maintenant (en particulier) la valeur du quotient?β? ?α?, et non son inverse.

Il suffit donc de reprendre le tableau ci-dessous, en supprimant les lignes oùnβ,α>nα,β,

donnant le tableau 2.

CAPES externe 2007:Deuxième composition5

nβ,α nα,β

0,π4-2-21

0,π4221

5π

6,π63-1-3?3

5π

6,π6313?3

5π

6,π63-3-11?3

5π

6,π63311?3

3π

4,π42-1-2?2

3π

4,π4212?2

3π

4,π42-2-11?2

3π

4,π42211?2

2π

3,π31-1-11

2π

3,π31111

2000non déterminé

TAB. 1 - Valeurs possibles du rapport?α??β?

0,π4±2±21

5π

6,π63±3±1?3

3π

4,π42±2±1?2

2π

3,π31±1±11

2000non déterminé

TAB. 2 - Valeurs possibles denα,β,nβ,α,θα,βet?β??α?

6CAPES externe 2007:Deuxième composition

2.Dessiner les figures correspondant à quatre systèmes de racines dansR2non deux à

deux isomorphes (dans chacun des cas, l"une des racines devra être(1,0)). On les or- donnera dans l"ordre croissant du nombre de racines et on les appelleraA1×A1,A2,B2 etG2(ayant respectivement4,6,8et12racines). Posonsα=(0,1). Avant de donner quelques explications sur les constructions des systèmes de racines, voici les dessins correspondants : A

1×A1

αβsα(β)

A 2 s

β(α)s

B 2 G 2??

Comme le dit l"énoncé,α?R? -α?Retα,β?R?sα(β)?R. Cela nous simplifiera un peu le

travail de recherche... Notons encore que ces systèmes sont chacun de cardinal différent, donc ils

sont bien non isomorphes deux à deux. A

1×A1:On considèreθα,β=π/2. Tout vecteurβorthogonal àαvérifie les conditions requises

pour queβ?R. Les deux autres vecteurs s"obtiennent en prennant les opposés de ceux-ci. A

2:On considèreθα,β=π/3. On a alors (par exemple)nα,β=1 etnβ,α=1. Ceci est équivalent à

?2 ?α,α?=1 2 ?ββ?=1??2?α,β?=?α?2

On peut alors construire le vecteurβ, puis le vecteursα(β)=β-α, et les trois manquant sont

donc-α,-βet-sα(β). B

2:On considèreθα,β=π/4. On a alors (par exemple)nα,β=2 etnβ,α=1. Ceci est équivalent à

?2 ?α,α?=2 2 ?ββ?=1??2?α,β?=2?α?2

2?α?=?2.

On peut alors construire le vecteurβ, puis les vecteurssα(β)=β-2αetsβ(α)=α-β, et les

quatre manquants sont alors-α,-β,-sα(β) et-sβ(α).

CAPES externe 2007:Deuxième composition7

G2:On considèreθα,β=π/4. On a alors (par exemple)nα,β=3 etnβ,α=1. Ceci est équivalent à

?2 ?α,α?=3 2 ?ββ?=1????2?α,β?=3?α?2

3?α?=?3.

Ceci nous donne le vecteurβ. On construit alorsα?,β?par rotation deαetβ, d"angleπ/3,

ainsi queα??,β??par rotation deαetβd"angle 2π/3 (de sorte que chaque couple de vecteurs

les opposés deαet des cinq autres vecteurs construits à l"instant.

3.Soitαune racine deRde norme minimale. Supposons qu"il existe une racineβdeR

non proportionnelle et non orthogonale àα. Quitte à transformerRpar une rotation, une homothétie ou une symétrie orthogonale d"axeR×{0}(qui laisse invariants les coefficients de structure du système de racines), on peut supposerα=(1,0)etβde deuxième coordonnée strictement positive. (a)Montrer quenα,β?=0. En posantγ=sα(β), montrer quenα,γ=-nα,β. On supposeα=(1,0). Puisqueβest une racine deRnon orthogonale àα, le produit sca-

laire deαetβn"est pas nul, impliquant directement quenα,β?=0. Posons alorsγ=sα(β), et

montrons quenα,γ=-nα,β. On a n

α,γ=2?α,γ?

=2?α,β? Quitte à remplacerαparsα(β), on supposeranα,β<0et d"après le tableau des valeurs deθα,β, trois cas peuvent se présenter. Dans la suite de cette question 3, on supposeranα,β<0. De plus, puisqu"une symétrie, une homothétie ou une rotation laissent invariants les coefficients de structure du système de racines, on supposera aussi queα=(1,0). (b)cas 1 : Supposons que?β? =?

2?α?etθα,β=3π4. Calculersα(β)etsβ(α)et re-

présenter graphiquement les quatre racinesα,β,sα(β)etsβ(α). En déduire que B

2?R. En supposant qu"il existeγ?R\B2, montrer qu"alors l"angle entreγet une

racine deB2est inférieur àπ

8. En conclure queR=B2.

On a?β? =?

2 etβ=(-1,1). De plus, d"après le tableau, on sait quenα,β= -2 etnβ,α= -1.

Par conséquent,

s α(β)=β-nα,βα=2α+β=(1,1) etsβ(α)=α-nβ,αβ=α+β=(0,1). On retrouve au moins les huit vecteurs (les quatre non dessinés sont les opposés de ceux qui le sont, à savoir-α,-β,-sα(β) et-sβ(α)) deB2, donc B 2?R. αs

α(β)sβ(α)β

8CAPES externe 2007:Deuxième composition

Soitγ?R. Supposons alorsγ??B2. On a déjà que

0,π

car sinonγ?B2. Séparons alors les différents cas :

6: alorsθγ,sα(β)=π4-π6=π12<π8;

3: alorsθγ,sα(β)=π3-π4=π12<π8;

?θα,γ=2π

3: alorsθγ,β=3π4-2π3=π12<π8;

?θα,γ=5π

6: alorsθγ,β=5π6-3π4=π12<π8;

Ceci contredit le fait que l"angle géométrique entre deux racines distinctes est d"au moins

π/6 (partie I, 1.b). On en déduit queγ?B2, doncR?B2, et puisqu"on a déjà démontré que

B

2?R, il vient queR=B2.

(c)cas 2 : Supposons que?β?=?

3?α?etθα,β=5π6. Calculer

s et les représenter graphiquement ainsi queαetβ. En déduire queG2?R. En rai- sonnant par l"absurde, montrer queR=G2.

Ona?β?=?

3etβ=?3?

-?3 2,12? -32,? 3 2? etnβ,α=-1. Par conséquent, s 3 2,? 3 2? 12,? 3 2?

De même, après quelques calculs, et en utilisant les propriétés du produit scalaire, on déter-

mine facilement que s

α◦sβ(α)=2α+β=?

1 2,? 3 2? On retrouve au moins les douze vecteurs (les six non dessinés sont les opposés de ceux qui le sont, à savoir-α,-β,-sα(β),-sβ(α), -sα◦sβ(α) et-sβ◦sα(β)) deG2, donc G 2?R. Soitγ?R. Supposons alors queγ??G2. On aurait alors automati- quement que sα(β)sα◦sβ(α) sβ◦sα(β) sβ(α) min

α?G2θα,γ<π

6,

CAPES externe 2007:Deuxième composition9

ce qui est impossible puisque l"angle géométrique entre deux racines distinctes deRest d"au queG2?R, il vient queR=G2. (d)cas 3 : supposons que?β? = ?α?etθα,β=2π

3. Calculersα(β)et en déduire que

A

2?R. Supposons queR?=A2, soitγ?R\A2. Montrer que l"angle entreγet deux

vecteurs adjacents deA2est égal àπ

6. Quitte à réindexer les éléments deA2,

montrer qu"on peut supposerθα,γ=5π

6. En déduire queR=G2.

On a?β? =1 etβ=?

-1 2,? 3 2? . De plus, d"après le tableau, on sait quenα,β= -1. Par consé- quent, s 1 2,? 3 2? On retrouve au moins les six vecteurs (les deux non dessinés sontles opposés de ceux qui le sont, à savoir-α,-βet-sα(β)) deA2, donc A 2?R. αs Supposons alorsR?=A2, et supposons alorsγ?R\A2. On a déjà que

0,π

3,2π3,π?

car sinonγ?A2. Séparons alors les différents cas :

6: alorsθγ,α=θγ,β=π6;

4: alorsθγ,β=π12<π8→impossible;

2: alorsθγ,β=θγ,sα(β)=π6;

?θα,γ=3π

4: alorsθγ,sα(β)=π12<π8→impossible;

?θα,γ=5π

6: alorsθγ,sα(β)=θγ,-α=π6;

On en déduit que l"angle géométrique entreγet deux vecteurs adjacents deA2est toujours

égal àπ/6. Puisqu"une rotation ne modifie pas les coefficients de structure du système de

racines, on peut supposer queθα,γ=5π

6. D"après le tableau de la question 1.e (partie I), on

sait que?γ?=?

3?α?. Le cas précédent permet donc de conclure queR=G2.

4.En conclure qu"à isomorphisme près, il n"y a que quatre systèmes de racines dansR2.

Considérons un systèmeRde racine deR2, possédant une racine de norme minimale notéeα, et

distinguons deux cas : Il existe une racineβdeRnon proportionnelle et non orthogonale àα:Dans ce cas, le travail effectué dans la question précédente permet d"affirmer queRest isomorphe àA2,B2ouG2 selon l"angleθα,β.

10CAPES externe 2007:Deuxième composition

Il existe une racineβdeRproportionnelle ou orthogonale àα:Dans ce cas,Rengendre l"es- pace vectorielR2par définition même du système de racine, donc nécessairementβest or- thogonale àα. Les vecteurs deRsont alorsα,βet leurs opposés. Puisqu"une rotation, une homothétie ou une symétrie orthogonale d"axeR×{0} laisse inva- riants les coefficients de structure deR, on peut supposer queα=(1,0). Considérons alors l"application?:R2-→R2dont la matrice est (1 001 On vérifie aisément que?est un isomorphisme qui envoieRsurA1×A1. De plus, par ortho- gonalité, n ?(α),?(β)=nα,β.

On en déduit queRest isomorphe àA1×A1.

Au final, il n"y a que quatre systèmes de racines dansR2, à isomorphisme près :A1×A1,A2,B2et

G 2.

2 Relations d"ordre dansRn

Une relation d"ordre?surRnest dite compatible avec la structure d"espace vectoriel deRn si elle vérifie les deux conditions suivantes : -?x,y,z?Rn,x?y?x+z?y+z; -?x,y?Rn,?λ?R+,x?y?λx?λy. La relation d"ordre strict associée est notée?.

1.Soit?une relation d"ordre total surRncompatible avec la structure d"espace vectoriel.

(a)Montrer que ?x,y?Rn,?λ?R-,x?y?λy?λx.

Soientx,y?Rnetλ?R-. Alors

x?y?x-(x+y)?y-(x+y)-λ?R+ ?(-λ)(-y)?(-λ)(-x)quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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