[PDF] Formules de Taylor. Applications. 1 Formule de Taylor avec reste

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CAPES 2007D´ecembre 2007

Oral Analyse

Formules de Taylor. Applications.

RemarquesLe niveau naturel de cette le¸con est celui du Deug.

Pr´e-requis

1. Continuit´e, d´erivabilit´e, in´egalit´e des accroissements finis, th´eor`eme de Rolle, d´erivabilit´e

d"ordre sup´erieur, int´egration.

2. Pour les applications : s´eries enti`eres.

1 Formule de Taylor avec reste int´egral

1.1 Th´eor`eme

Th´eor`eme 1.1Soitf: [a,b]→IR une fonction de classeCn+1. On a: f(b) =f(a) +n? k=1f (k)(a) k!(b-a)k+1n!? b a(b-t)nf(n+1)(t)dt. PreuveElle se fait par r´ecurrence surnen int´egrant par parties le reste int´egralRn(f) = 1 n!? b a(b-t)nf(n+1)(t)dt. D´efinition 1.1On appelle partie r´eguli`ere d"ordrendu d´eveloppement de Taylor def enale polynˆomePn(x)d´efini parPn(x) =f(a) +n? k=1f (k)(a) k!(x-a)k. RemarqueApr`es le changement de variablet=a+(b-a)s, le reste int´egral peut s"´ecrire sous la forme R n(f) =(b-a)n+1 n!? 1

0(1-s)nf(n+1)(a+s(b-a))ds.

1.2 Applications

•D´eveloppement en s´erie enti`ere

On va traiter l"exemple classique suivant. On d´efinit la fonction exponentielle exp comme l"unique fonction d´erivable sur IR, solution de l"´equation diff´erentielle : y ?(x) =y(x) pour toutx?IR, y(0) = 1. Il vient imm´ediatement (par r´ecurrence) que exp est de classeC∞sur IR et que, pour toutn?IN, exp(n)(0) = 1. On d´emontre sans probl`eme que exp ne s"annule pas (on rappelle pour cela qu"il suffit d"´etudier la fonctionx→exp(x)exp(-x)) et donc reste positive et est croissante. La formule de Taylor avec reste int´egral `a l"ordre n s"´ecrit alors : exp(x) = 1 +n? k=1x k k!+xn+1n!? 1

0(1-t)nexp(tx)dt(?)

On peut alors majorer grossi`erement le reste de la mani`eresuivante : ?exp(x)-? 1 +n? k=1x k k!? ?=?????x n+1n!? 1

0(1-t)nexp(tx)dt?????

|x|n+1 n!exp(|x|)? 1

0(1-t)ndt=|x|n+1(n+ 1)!exp(|x|)

Le dernier terme de droite tend vers 0 quandntend vers +∞. Il en r´esulte que, pour toutx?IR, on a exp(x) = 1 ++∞? k=1x k k!

RemarqueGrˆace `a (?), on a :e= 1 +n?

k=11 k!+1n!? 1

0(1-t)nexp(t)dt. En´etudiant

sur [0,1] la fonctiont→(1-t)nexp(t), on voit qu"elle reste comprise entre 0 et 1 quandn≥1. On en d´eduit l"encadrement : 1 + n? k=11 k=11k!+1n! et en particulier, le fait queeest irrationnel. •On peut alors citer quelques d´eveloppements en s´eries enti`eres c´el`ebres: ceux de sinx, cosx, (1 +x)αo`uαest un r´eel non nul ...

•Exercice

Montrer qu"une fonction de classeC∞sur IR est une fonction polynˆome si, et seule- ment si, ses d´eriv´ees successives sont nulles `a partir d"un certain rang.

2 Formule de Taylor-Lagrange

2.1 Th´eor`eme(s)

Th´eor`eme 2.1Soitf: [a,b]→IR une fonction de classeCn+1. Alors il existec?[a,b] tel que f(b) =f(a) +n? k=1f (k)(a) k!(b-a)k+(b-a)n+1(n+ 1)!f(n+1)(c). PreuveOn d´eduit ce r´esultat de la formule de Taylor avec reste int´egral et de la formule de la moyenne. Si on notemle minimum de la fonction continuef(n+1)sur [a,b] etM son maximum, on remarque que 1 Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires assure alors l"existence d"unc?[a,b] tel que f (n+1)(c) = (n+ 1)? 1

0(1-s)nf(n+1)(a+s(b-a))ds

et on conclut.

On a le r´esultat plus pr´ecis suivant :

Th´eor`eme 2.2* Soitf: [a,b]→IR une fonction de classeCnsur[a,b]et dont la d´eriv´een+ 1i`eme existe sur]a,b[. Alors il existec?]a,b[tel que f(b) =f(a) +n? k=1f (k)(a) k!(b-a)k+(b-a)n+1(n+ 1)!f(n+1)(c). Preuve 1Le casn= 0 correspond `a l"´egalit´e des accroissements finis. Pourn≥1, on consid`ere la fonction n(t) =f(b)-f(t)-n? k=1f (k)(t) k!(b-t)k-λ(b-t)n+1(n+ 1)! o`u l"on a choisiλpour que Θn(a) = 0. (On ne cherche pas pour le moment `a exprimer ce λ.) Comme Θn(b) = 0, on applique le th´eor`eme de Rolle. Il existe doncc?]a,b[ tel que n(c) = 0. Cette ´egalit´e s"´ecrit -f?(c)-n? k=1f (k+1)(c) k!(b-c)k+n? k=1f (k)(c)(k-1)!(b-t)k-1+λ(b-c)nn! qui, apr`es simplications, donne

λ=f(n+1)(c)

Dans l"expression Θ

n(a) = 0, il suffit de remplacerλpar la valeur que l"on vient de trouver. Ce qui termine cette preuve.

Preuve 2Elle utilise le th´eor`eme des accroissements finis g´en´eralis´es que l"on rappelle et

d´emontre pour le confort du lecteur. Proposition 2.1* (Accroissements finis g´en´eralis´es) Soientfetgdes fonctions de[a,b] dans IR, continues sur[a,b]et d´erivables sur]a,b[. Alors il existec?]a,b[tel que: ?f(b)-f(a)f?(c) g(b)-g(a)g?(c)????? = 0.

(Comment cela se traduit-il g´eom´etriquement pour une courbe param´etr´ee r´eguli`ere?)

Preuve de la propositionOn applique le th´eor`eme de Rolle `a la fonction d´efinie sur [a,b] par:h(t) = (g(t)-g(a))(f(b)-f(a))-(f(t)-f(a))(g(b)-g(a)). Suite de la preuve 2On d´efinit le resteRn(x) =f(a+x)-f(a)-n? k=1f (k)(a) k!xkpour x?[0,b-a] et on le compare `aSn(x) =xn+1 (n+ 1)!. On a R n(0) =R?n(0) =...=R(n)n(0) = 0, S n(0) =S?n(0) =...=S(n)n(0) = 0.

De l"utilisation r´ep´et´ee du th´eor`eme des accroissements finis g´en´eralis´es il r´esulte l"existence

telle que R n(x) CommeS(n+1)n(ξn+1) = 1, on obtient, pourx=b-a,Rn(b-a) =(b-a)n+1(n+ 1)!f(n+1)(a+ξn+1). RemarqueNoter que la formule de Taylor-Lagrange (de mˆeme que le th´eor`eme de Rolle) n"est pas valable sifest `a valeurs dans lC. Penser par exemple `a la fonction f(x) =eixsur l"intervalle [0,2π].

2.2 Applications

•Convexit´eSoitf:I→IR (Iintervalle de IR) de classeC2surI. Sif??≥0 surI alors la courbe repr´esentative defest au dessus de ses tangentes. •In´egalit´es de KolmogorovSoitf:]a,+∞[→IR une fonction deux fois d´erivable. On suppose que|f|et|f??|sont born´ees respectivement parM0etM2. Alors|f?| est born´ee par 2⎷ M0M2. preuveSoitx?]a,+∞[ etu?]0,+∞[. Il existe alorscx,u?[x,x+u] tel que f ?(x) =1 u? f(x+u)-f(x)-u22!f??(cx,u)?

On en d´eduit que

u+u2M2. SiM2= 0, on fait tendreuvers +∞dans l"in´egalit´e pr´ec´edente et on obtientf?= 0 sur ]a,+∞[ et le r´esultat annonc´e est ´evidemment v´erifi´e. SiM2?= 0, on minimise l"expression de droite dans l"in´egalit´e en choisissantu= 2? M0

3 Formule de Taylor-Young

3.1 Th´eor`eme(s)

Th´eor`eme 3.1Soitf:I→IR une fonction de classeCnsur l"intervalleI. Soita?I. Alors il existe une fonction?:I→IR v´erifiantlimx→a?(x) = 0telle que, pour toutx?I, f(x) =f(a) +n? k=1f (k)(a) k!(x-a)k+ (x-a)n?(x). PreuveSoitx?I. On ´ecrit la formule de Taylor-Lagrange `a l"ordren-1 sur l"intervalle [a,x] (ou [x,a]); Il existecx?[a,x] tel que f(x) =f(a) +n-1? k=1f (k)(a) k!(x-a)k+(x-a)nn!f(n)(cx) =f(a) +n? k=1f (k)(a) k!(x-a)k+(x-a)nn!?f(n)(cx)-f(n)(a)?.(?)

On pose, pourx?=a,

?(x) =1 (x-a)n? f(x)-f(a)-n? k=1f (k)(a)k!(x-a)k? et, commef(n)est continue ena, on d´eduit de l"´egalit´e (?) que limx→a?(x) = 0.

On a le r´esultat plus fort suivant:

Th´eor`eme 3.2* Soita?I. On suppose que la fonctionf:I→IR admet une d´eriv´ee d"ordrenau pointa. Alors il existe une fonction?:I→IR v´erifiantlimx→a?(x) = 0telle que, pour toutx?I, f(x) =f(a) +n? k=1f (k)(a) k!(x-a)k+ (x-a)n?(x). Preuve* La preuve se fait par r´ecurrence surn. Soit doncn?N?et notonsHnl"assertion: pour toute fonctionf:I→IR,nfois d´erivable au pointa, on a : lim x→a,x?=a1 (x-a)n? f(x)-f(a)-n? k=1f (k)(a)k!(x-a)k? = 0 H

1est clairement vraie : c"est la d´efinition de la d´erivabilit´e au pointa. Supposons donc

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