[PDF] [PDF] Calcul des arbres Application au cas de larbre-tambour du Treuil oil

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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIREMINISTERE DE L"ENSEIGNEMENT SUPERIEURET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUEUNIVERSITEKASDIMERBAHOUARGLAFACULTE DES HYDROCARBURESETENERGIESRENEVLABLESET SCIENCES DE LA TERRE ET DE L"UNIVERSDEPARTEMENTDEFORAGE ET MECANIQUE DESCHANTIERSPETROLIERSOPTION:MECANIQUEDESCHANTIERSPETROLIERSMEMOIRE DE FIN D"ETUDEMaster ProfessionnelPrésenté par:GOHMES Abd erraoufBOUNEGAB Abd errezzak

Devant le jury composé de:Mr: LEGHRIB YoucefPrésidentM . C . BUKMouarglaMr: ABD ESSALEM Yacine ExaminateurM . A . AUKM ouarglaMr: BRAHMIA Allaoua Rapparteur M . A .A U K M ouargla

Année universitaire: 2015/2016

Calcul des arbresApplication au cas de l"arbre-tambour duTreuil oil well 840E

Enpremierlieu,noustenonsàremercierDieu,notrecréateurpournousavoirdonnélaforcepouraccomplircetravail.NoustenonsàremercierPr.BRAHMIAAllaouanotrepromoteurpoursongrandsoutienetsesconseilsconsidérables.NousremercionségalementtouslesprofesseursduDépartementdeforageetmécaniquedesdeschantiers pétrolierQuetoutepersonneayantparticipéedeprèsoudeloinàlaréalisationdecetravailacceptenosgrandsetsincèresremerciements.

Enpremierlieu,noustenonsàremercierDieu,notrecréateurpournousavoirdonnélaforcepouraccomplircetravail.NoustenonsàremercierPr.BRAHMIAAllaouanotrepromoteurpoursongrandsoutienetsesconseilsconsidérables.NousremercionségalementtouslesprofesseursduDépartementdeforageetmécaniquedesdeschantiers pétrolierQuetoutepersonneayantparticipéedeprèsoudeloinàlaréalisationdecetravailacceptenosgrandsetsincèresremerciements.

Enpremierlieu,noustenonsàremercierDieu,notrecréateurpournousavoirdonnélaforcepouraccomplircetravail.NoustenonsàremercierPr.BRAHMIAAllaouanotrepromoteurpoursongrandsoutienetsesconseilsconsidérables.NousremercionségalementtouslesprofesseursduDépartementdeforageetmécaniquedesdeschantiers pétrolierQuetoutepersonneayantparticipéedeprèsoudeloinàlaréalisationdecetravailacceptenosgrandsetsincèresremerciements.

SommaireListe des figures:Figure I.1.a:Arbres de transmission oude renvoiFigure I.1.b: EssieuFigureI.2: Comparaison entre deuxmontagesd"un engrenage et d"une poulie sur un arbreFigure II.1: Elément de surface d"un arbre ayant une contrainte de cisellementτxyconstante et unecontrainte normaleσxalternéeFigure II.2:Diagramme de soderberg montrant la ligne de sécurité A-P Parallèle à la ligne desoderberg et tangente àl"ellipseFigure II.3:Approximation du diagramme S-N pour les aciersFigure II.4Représente les valeurs de facteur de fini de surface (ka) en fonction de la limite derupture Sut.Figure II.5:Diagramme de Goodman modifié.Figure II.6:Relation entre laflèche tangentielleAB, la différence de penteAB et le diagrammedes M/EI.Figure II.7 :Forme des courbes élastiques relatives au premier mode de vibration.Figure II.8:Montage d"arbre avec deux poulies.Figure III.1Schéma définition de l"arbretambour de treuil oil well 840 E.Figure III.2:Embrayage pneumatique de type airflex '38VC1200".Figure III.2:Tamboure de treuil oil well 840-E.FigureIII.3:Angle de déflection.FigureIII.4:Schéma de calcul de l"arbre-tambour.Figure III.5: Laméthode des tronçons.Figure III.6:Diagramme du moment fléchissant dans le plan vertical (câble à l"extrémité gauche).Figure III.7:Diagramme du moment fléchissant dans le plan vertical (câble à l"extrémité droite).Figure III.8:Diagramme du momentfléchissant dans le plan vertical (câble au milieu).Figure III.9:Diagramme du moment fléchissant dans le plan horizontal (câble à l"extrémité gauche).FigureIII.10:Diagramme du moment fléchissant dans le plan horizontal (câble à l"extrémité droite).

Liste de tableauxTableau II.1: facteurs de charge du code ASME.Tableau II.2: facteur de fiabilité correspondant à un écart type 8% pour la limite d"endurance.Tableau III.1 forces et réactions dans le plan vertical et le plan horizontal.Tableau III.2 moments fléchissant dans le plan vertical et le plan horizontal.

Introduction.............................................................................................1ChapitreI: généralité sur les arbresI.1Introduction..........................................................................................2I.2Montage des éléments demachines sur l"arbre...................................................3I.3Les aciers qui entrent dans la fabrication des arbres............................................3ChapitreII:méthodes de calculII.1 Introduction........................................................................................5II.2 Critères de résistance..............................................................................5II.2.2 Marche à suivre...................................................................................5II.2.3 Code ASME......................................................................................6II.2.4 Théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse)....................................7II.2.4.1 Calcul de la limite de l"endurance Se.....................................................10II.2.4.1.1Expression de la limite d"endurance Se................................................11II.2.4.1.2 Les facteurs affectant sur la limite d"endurance........................................11II 2.5Théorie deVonmises-hencky................................................................13II 2.5.1Diagramme de Goodman modifié.........................................................16II.2.6 Comparaison des trois méthodes...............................................................17II.2.7 Conception basé sur les contraintes équivalentes............................................17II.2.8 Formules de Tresca............................................................................18II.3 Critère de la déformation........................................................................19II.3.1Déformation latérale............................................................................19II.3.1.1Méthode de calcul de la déformation latérale............................................19II.3.2Déformation en torsion........................................................................20

II.4 Vitesse critique de rotation.......................................................................21II.4.1Vibration latéral.................................................................................21II.4.2 Vibrations de torsion...........................................................................23Chapitre III: Dimensionnement de l"arbre tambourIII.1 Introduction.......................................................................................25III.2 Définitionde l"arbre-Tambour..................................................................25III.3 Les embrayages qui supportent sur l"arbre-tambour.........................................25III.3.1 Gamme de vitesse de l"arbre tambour.......................................................26III.4 Calculdu poids max au crochet................................................................26III.5Calcul delaforcedetractionmaximalesurlebrinactifducâbleFtmax................27III.5.1 Calcul de la résistance effective de traction du cable Reff..........................27III.6 Choix du tambour..............................................................................27III.6.1 Longeur active du càble qui doit enroulésur le tambour.............................28III.6.2 Le diamétre éxtérieur du tambour.........................................................28III.6.3Le diamétre intrieur du tambour................................................................28III.6.4Calcul des diaméters d"enroulement......................................................29III.7 Calcul de l"arbre-tambour.........................................................................30III.7.1 Calcul des réactions dans le plan vertical.....................................................30III.7.2 Calcul des réactions dans le plan horizontal...................................................33III.8 Calcul des moments fléchissant et résultants....................................................36III.8.1Calcul des moments fléchissant dans le plan vertical.......................................36III.8.2 Calcul des moments fléchissant dans le plan horizontal....................................40III.8.2.1Calculdes moments résultants................................................................43

III.9 Calculdes couples de torsion......................................................................44III.9.1 Calculdu couple de torsion maximal causé par la force de tractiondu câble............44III.9.2Calculdu couple de torsion maximale causée par les chaines..............................45III.10 Calculdu diamètre de l"arbre-tambour.........................................................46III.10.1 Calcul basé sur la méthode ASME............................................................46III.10.2 Calcul de vérification...........................................................................47III.11Méthode du code Westinghouse..................................................................47III.12Méthode de Von Mises-Hencky.................................................................48III.11 Discussion des résultats..........................................................................49

Introduction GénéraleIntroduction GénéraleLesarbressontdes éléments très important dansla construction des machines, et surtoutdans les machines tournantes. Pour cela, le calcul des arbres c"est une étape primordiale pourconcevoir une machine.L"arbre est une pièce rotative ou fixe, normalement de section circulaire, qui supporte deséléments permettantla transmission d"un mouvement ou une puissance d"une partie de la machine àune autre partie.Suivant le rôle qui lui est dévolu, l"arbre est soumis à des contraintes de flexion, à descontraintes de torsion, ou à un chargement complexe de torsion, de flexion et de charge axiale.Notre contribution dans ce travailest de réaliser une conception et une vérification del"arbre-tambour d"un treuil de forage type 840 E, et cela par l"application des méthodes basées surdes critères de résistances (ils existent d"autres critères basés sur la rigidité et d"autres sur la vitessecritique de rotation).Ce mémoire estdiviséentroisgrandschapitres. Le premier chapitre se rapporte sur l"étudedes types des arbres (généralités sur les arbres). Le deuxième chapitre est consacré à l"indicationdedifférentes méthodes utilisées dans le calcul des arbres. On a abordé dans le troisième chapitre, ledimensionnement de l"arbre-tambour du treuil de forage 840 E par la méthode du code ASME(American Society of Mechanical Engineers), et on a réalisé une vérification du facteur de sécuritépar la méthode du code Westinghouse et la méthode de Von Mises-Hencky.

CHAPITRE IGénéralités sur les arbres

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I.1 IntroductionUn arbre estunepièce rotative ou fixe, normalement de section circulaire, qui supportegénéralement engrenages, poulies, volants manivelles, pignons de chaine ou autre élément quitransmettent un mouvement ouunepuissance.L"arbre est un élément de machine le plus fréquemment utilisé, son rôle est multiple: engénérale, il sert à transmettre la puissance d"un partie de la machine à un autre partie, àcause de sagéométrie et de ses fonctions, un arbre peut porter différents noms tels que:iArbre de transmission:il transmet un couple d"un moteur àunemachine ou à un élément demachine.iArbre de renvoi:ilsupporte des élémentsdes machines (engrenages, poulies, etc.) etiltransmet un couple entrechaque élément.

FigureI.1.a: arbres de transmission oude renvoisiEssieu:arbre stationnaire( axe)ou rotative qui ne transmet pas de couple, c"est-à-dire quisert au positionnementsuivant le rôle qui lui est dévolu, l"arbre est soumis à des contraintesde flexion, à des contraintes de torsion, ou à un chargement complexe de torsion, de flexionet de charge axiale.

FigureI.1.b:Essieu

CHAPITRE IGénéralités sur les arbres

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I.1 IntroductionUn arbre estunepièce rotative ou fixe, normalement de section circulaire, qui supportegénéralement engrenages, poulies, volants manivelles, pignons de chaine ou autre élément quitransmettent un mouvement ouunepuissance.L"arbre est un élément de machine le plus fréquemment utilisé, son rôle est multiple: engénérale, il sert à transmettre la puissance d"un partie de la machine à un autre partie, àcause de sagéométrie et de ses fonctions, un arbre peut porter différents noms tels que:iArbre de transmission:il transmet un couple d"un moteur àunemachine ou à un élément demachine.iArbre de renvoi:ilsupporte des élémentsdes machines (engrenages, poulies, etc.) etiltransmet un couple entrechaque élément.

FigureI.1.a: arbres de transmission oude renvoisiEssieu:arbre stationnaire( axe)ou rotative qui ne transmet pas de couple, c"est-à-dire quisert au positionnementsuivant le rôle qui lui est dévolu, l"arbre est soumis à des contraintesde flexion, à des contraintes de torsion, ou à un chargement complexe de torsion, de flexionet de charge axiale.

FigureI.1.b:Essieu

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I.1 IntroductionUn arbre estunepièce rotative ou fixe, normalement de section circulaire, qui supportegénéralement engrenages, poulies, volants manivelles, pignons de chaine ou autre élément quitransmettent un mouvement ouunepuissance.L"arbre est un élément de machine le plus fréquemment utilisé, son rôle est multiple: engénérale, il sert à transmettre la puissance d"un partie de la machine à un autre partie, àcause de sagéométrie et de ses fonctions, un arbre peut porter différents noms tels que:iArbre de transmission:il transmet un couple d"un moteur àunemachine ou à un élément demachine.iArbre de renvoi:ilsupporte des élémentsdes machines (engrenages, poulies, etc.) etiltransmet un couple entrechaque élément.

FigureI.1.a: arbres de transmission oude renvoisiEssieu:arbre stationnaire( axe)ou rotative qui ne transmet pas de couple, c"est-à-dire quisert au positionnementsuivant le rôle qui lui est dévolu, l"arbre est soumis à des contraintesde flexion, à des contraintes de torsion, ou à un chargement complexe de torsion, de flexionet de charge axiale.

FigureI.1.b:Essieu

CHAPITRE IGénéralités sur les arbres

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I.2Montage des éléments de machines sur l"arbre[1]:Lorsque l"on conçoit un arbre. L"objectif visé, quel que soit le critère choisi consistera toujoursà chercher à obtenir la construction la plus économique possible et la plus sure. En d"autrestermes.il s"agira d"obtenir l"arbre ayant le plus petit diamètre possible. Quelles que soient lesdonnées qui ont servi de base au calcul (résistance, rigiditéou vitesse critique),lediamètredel"arbre est grandement influencé par la distribution des momentsfléchissant. Afin de réduire le pluspossibleces moments, est avantageux de monter les éléments de transmission le plusprèspossibledessupports de l"arbre. La figure(I.2) illustre deux montages dont l"un est de beaucoup préférable àl"autre certains types d"éléments de transmission, les embrayages et lesfreinsà tambour parexemple, ne produisent pas ou peu de flexion sur les arbres. Leur localisation par rapport auxsupports nerevêtdonc pas importance primordiale.Les arbres sont positionnés transversalement et axialement par descoussinetsou des roulements. Anoter; plusieurs élémentsdetransmission (embrayages, engrenageshélicoïdaux, engrenagesconiques,etc.) ainsi que les dilatations thermique, produisant des charges axiales qui peuvent, danscertains cas,êtretrès importantes. Desbutées doivent alorsêtreprévues pour reprendre cescharges,mêmelorsque, théoriquement,l"arbren"est pas soumis à des charge axiale, en effectuant le montageapproprié des roulements.

FigureI.2: Comparaison entre deux montage d"un engrenage et d"un poulie sur un arbre

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I.2Montage des éléments de machines sur l"arbre[1]:Lorsque l"on conçoit un arbre. L"objectif visé, quel que soit le critère choisi consistera toujoursà chercher à obtenir la construction la plus économique possible et la plus sure. En d"autrestermes.il s"agira d"obtenir l"arbre ayant le plus petit diamètre possible. Quelles que soient lesdonnées qui ont servi de base au calcul (résistance, rigiditéou vitesse critique),lediamètredel"arbre est grandement influencé par la distribution des momentsfléchissant. Afin de réduire le pluspossibleces moments, est avantageux de monter les éléments de transmission le plusprèspossibledessupports de l"arbre. La figure(I.2) illustre deux montages dont l"un est de beaucoup préférable àl"autre certains types d"éléments de transmission, les embrayages et lesfreinsà tambour parexemple, ne produisent pas ou peu de flexion sur les arbres. Leur localisation par rapport auxsupports nerevêtdonc pas importance primordiale.Les arbres sont positionnés transversalement et axialement par descoussinetsou des roulements. Anoter; plusieurs élémentsdetransmission (embrayages, engrenageshélicoïdaux, engrenagesconiques,etc.) ainsi que les dilatations thermique, produisant des charges axiales qui peuvent, danscertains cas,êtretrès importantes. Desbutées doivent alorsêtreprévues pour reprendre cescharges,mêmelorsque, théoriquement,l"arbren"est pas soumis à des charge axiale, en effectuant le montageapproprié des roulements.

FigureI.2: Comparaison entre deux montage d"un engrenage et d"un poulie sur un arbre

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I.2Montage des éléments de machines sur l"arbre[1]:Lorsque l"on conçoit un arbre. L"objectif visé, quel que soit le critère choisi consistera toujoursà chercher à obtenir la construction la plus économique possible et la plus sure. En d"autrestermes.il s"agira d"obtenir l"arbre ayant le plus petit diamètre possible. Quelles que soient lesdonnées qui ont servi de base au calcul (résistance, rigiditéou vitesse critique),lediamètredel"arbre est grandement influencé par la distribution des momentsfléchissant. Afin de réduire le pluspossibleces moments, est avantageux de monter les éléments de transmission le plusprèspossibledessupports de l"arbre. La figure(I.2) illustre deux montages dont l"un est de beaucoup préférable àl"autre certains types d"éléments de transmission, les embrayages et lesfreinsà tambour parexemple, ne produisent pas ou peu de flexion sur les arbres. Leur localisation par rapport auxsupports nerevêtdonc pas importance primordiale.Les arbres sont positionnés transversalement et axialement par descoussinetsou des roulements. Anoter; plusieurs élémentsdetransmission (embrayages, engrenageshélicoïdaux, engrenagesconiques,etc.) ainsi que les dilatations thermique, produisant des charges axiales qui peuvent, danscertains cas,êtretrès importantes. Desbutées doivent alorsêtreprévues pour reprendre cescharges,mêmelorsque, théoriquement,l"arbren"est pas soumis à des charge axiale, en effectuant le montageapproprié des roulements.

FigureI.2: Comparaison entre deux montage d"un engrenage et d"un poulie sur un arbre

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I.3Les aciers qui entrent dans la fabrication des arbres[1]:En générale, des aciers ordinaires aucarbone,laminésàchaud,entrentdans lafabrication des arbres de transmission et des arbres qui n"ontpas besoindecaractéristiquesderésistanceparticulières[leur pourcentage de carbone varie de 0,15à 0,30% (UNS G10150 à 10300)].Les arbres de machine soumis à des charges variableset les arbres tournant à haut vitessenécessitent des aciers de plus grande résistance, donc des aciersprouventsubir des traitementsthermiques (généralement de0,35% à0,55%de carbone) . Unconcepteurverra à consulter lesnormes SAE ou toutes autres sources pertinentes afin d"obtenir desinformationsappropriées.Il est important de noterque la rigidité ( de flexion ou de torsion) d"un arbre estdirectementproportionnelleau produit du moduled"élasticitésont pratiquement lesmêmespourtous les aciers,l"augmentationde la rigidité d"un arbre en acier entraine nécessairementl"augmentation de sondiamètre. En d"autres termes, l"acier le plus résistant n"est pratiquement pasplus rigide que l"acier le moins résistant.Pour remplir certaines fonctionsparticulières, les arbres peuvent fabriqués enmatériauxautres queles aciers; alliage d"aluminium ou de titane, matières plastiques renforcées de fibres, alliages decuivre.

CHAPITREIIMéthodes de Calculdes Arbres

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II.1 IntroductionSuivant le rôle qui lui estdévolu, l"arbre est soumis à des contraintes de flexion, à descontraintes de torsion, ou à unchargementcomplexede torsion, de flexion et de chargeaxiale.Onconçoitun arbre enconsidérantun ou deux des trois critères suivants, ou encore les trois à lafois;larésistance, larigiditéet la vitessecritique.Lecritèrechoisidépendde lagéométrieet desspécificationsimposéespar la fonctionéventuellede l"arbreparexemple,ondevrait calculer unarbrede turbine à gazdefaçonà ce qu"ilrésiste auxcharges et qu"il fonctionne sansvibrations.Parcontre, on devraitvérifierlarigide(flèche) d"un arbre supportant des engrenages de grandprécisionafin d"assurer le fonctionnement adéquat desengrenages [1].II.2.1Critères de résistance:II existe plusieurs méthodes pour calculer le diamètre d'un arbre ou pour vérifier larésistanced'un arbre d'un diamètre choisi. Les méthodes que nous verrons sont sures et leur degréd'exactitude est fonction des facteurs considérés. Toutefois, ces méthodes ne donnent pasnécessairement des résultats identiques[1].En pratique les arbres sontgénéralement sollicités par des sollicitations composées quipeuvent être regroupée en deux familles de difficultés, celles qui superposent des sollicitationssimples donnant des contraintes de même nature (ou?) dans la même direction comme (flexion +traction) et(torsion+ cisaillement) , cell es qui superpose nt des contraintes de nature différente(avec?) comme la(flexion+ torsion),(torsion+ traction), (flexion + traction + torsion),etc.[4].II.2.2 marche à suivreQuelle que soit laméthode de calcul employée. La marche à suivre pour résoudre unproblème est sensiblement la même. Voici donc les principales étapes[1]:a-calculer les réactions dans les plans vertical et horizontal.b-déterminer la répartition des couples de torsion.c-déterminer la répartition des moments de flexion.c-1 dans le plan vertical Mv.c-2 dans le plan horizontal Mh.

CHAPITREIIMéthodes de Calculdes Arbres

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d-calculer le moment résultant:2hM2vMMrés1.IIe-déterminerla répartitiondes charges axiales.f-déterminé la section critique.j-calculer le diamètre nécessaire pour résister aux charges de la section critique ou vérifier lasécurité à la section critique (si le diamètre est connu à cet endroit).II.2.3 code ASME (American society ofMechanical Engineers)[1]:La méthode du code ASME est simple à employer. C'est un outil très utile lors de laconception car il permet d"évaluer rapidement le diamètre des arbres en utilisant une théorie delimitation statiquebasée sur le cisaillement maximal.Le code ASME définit lacontrainte admissible comme étant la plus petite des deux valeurssuivantes:)30,0;.18,0.(SySutbSp2.IIb=1 sans concentration de contraintesb = 0,75 avec concentration de contraintesLe calcul de la contrainte maximale de cisaillement basé sur le cercle de Mohrsefait avec la formulesuivante :2)T.Ct(2)M.Cm(.3.d163.II?:contrainte maximale de cisaillement.d:diamètre de l'arbre.Cm,Ct:facteurs de charge (tableauII.1).M:momentfléchissant résultant maximal.T:couple de torsion maximal.

CHAPITREIIMéthodes de Calculdes Arbres

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Les équations (II.2 ) et ( II.3 ) peu vent être c ombiné es pour donner u ne équati on utilisée enconception:3/12/122).().(1,5TCtMCmSpd4.IILefacteur de sécuritéest implicitement inclus dans le calcul de SpTableauII.1: facteurs de charge du code ASME

II.2.4 théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse)[1]:Dans sa fonction la plus courante, l'arbre est soumis à descontraintes variablesdans letemps. Prenons le cas où les charges produisent un moment fléchissant M etun couple de torsion Tconstants. Même si M est constant. La contrainte à la fibreextérieure fera un cycle complet tension-compression à chaque tour de l"arbre. Parcontre, la contrainte de cisaillement due à la torsiondemeure constante si T estconstant.la figure II.1représente les contraintes agissant sur un élément de la surface d"un arbretournant à la vitesse(rd/s) et soumis à des moment de flexion et de torsion constants, supposonsqu"un plan P-Q coupe le coin inferieur droit de l"élément, l"angleentre le plan P-Q et le planhorizontale définit un élément triangulaire.

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Les équations (II.2 ) et ( II.3 ) peu vent être c ombiné es pour donner u ne équati on utilisée enconception:3/12/122).().(1,5TCtMCmSpd4.IILefacteur de sécuritéest implicitement inclus dans le calcul de SpTableauII.1: facteurs de charge du code ASME

II.2.4 théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse)[1]:Dans sa fonction la plus courante, l'arbre est soumis à descontraintes variablesdans letemps. Prenons le cas où les charges produisent un moment fléchissant M etun couple de torsion Tconstants. Même si M est constant. La contrainte à la fibreextérieure fera un cycle complet tension-compression à chaque tour de l"arbre. Parcontre, la contrainte de cisaillement due à la torsiondemeure constante si T estconstant.la figure II.1représente les contraintes agissant sur un élément de la surface d"un arbretournant à la vitesse(rd/s) et soumis à des moment de flexion et de torsion constants, supposonsqu"un plan P-Q coupe le coin inferieur droit de l"élément, l"angleentre le plan P-Q et le planhorizontale définit un élément triangulaire.

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Les équations (II.2 ) et ( II.3 ) peu vent être c ombiné es pour donner u ne équati on utilisée enconception:3/12/122).().(1,5TCtMCmSpd4.IILefacteur de sécuritéest implicitement inclus dans le calcul de SpTableauII.1: facteurs de charge du code ASME

II.2.4 théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse)[1]:Dans sa fonction la plus courante, l'arbre est soumis à descontraintes variablesdans letemps. Prenons le cas où les charges produisent un moment fléchissant M etun couple de torsion Tconstants. Même si M est constant. La contrainte à la fibreextérieure fera un cycle complet tension-compression à chaque tour de l"arbre. Parcontre, la contrainte de cisaillement due à la torsiondemeure constante si T estconstant.la figure II.1représente les contraintes agissant sur un élément de la surface d"un arbretournant à la vitesse(rd/s) et soumis à des moment de flexion et de torsion constants, supposonsqu"un plan P-Q coupe le coin inferieur droit de l"élément, l"angleentre le plan P-Q et le planhorizontale définit un élément triangulaire.

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FigureII.1: Elément de surface d"un arbre ayant une contrainte decisellementτxyconstanteet unecontrainte normaleσxalternéePourpouvoir applique la théorie de la contrainte du cisaillement maximal, il faut déterminerl"orientation () du plan le longe duquel lacontrainte?sera maximale.Pourcela, on écrit l"équation d"équilibre des forces sur l"élément triangulaire dans ladirection parallèle à P-Q comme suit:)cos().sin(.))(2sin)(2.(cosxxyxy)6.(IISion remplace?xyetxpar leur valeur en fonction des moments appliqués, on obtient:).cos().2sin().3.16()2cos().3..16(tdMdT)7.(IIEn d"autres mots, dans un plan faisant un angleavec l"horizontale, la contrainte de cisaillement aune composante moyenne)2cos().3..16(dTm)8.(IIetunecomposante alternée d"amplitude)2sin().3..16(dMm)9.(IILa figure(II.2)représente lediagramme deSoderbergencisaillement.La contraint de cisaillement maximale peut alors être déterminée au point de contactde la tangente à l"ellipse, parallèle à la ligne de Soderberg.

CHAPITREIIMéthodes de Calculdes Arbres

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FigureII.1: Elément de surface d"un arbre ayant une contrainte decisellementτxyconstanteet unecontrainte normaleσxalternéePourpouvoir applique la théorie de la contrainte du cisaillement maximal, il faut déterminerl"orientation () du plan le longe duquel lacontrainte?sera maximale.Pourcela, on écrit l"équation d"équilibre des forces sur l"élément triangulaire dans ladirection parallèle à P-Q comme suit:)cos().sin(.))(2sin)(2.(cosxxyxy)6.(IISion remplace?xyetxpar leur valeur en fonction des moments appliqués, on obtient:).cos().2sin().3.16()2cos().3..16(tdMdT)7.(IIEn d"autres mots, dans un plan faisant un angleavec l"horizontale, la contrainte de cisaillement aune composante moyenne)2cos().3..16(dTm)8.(IIetunecomposante alternée d"amplitude)2sin().3..16(dMm)9.(IILa figure(II.2)représente lediagramme deSoderbergencisaillement.La contraint de cisaillement maximale peut alors être déterminée au point de contactde la tangente à l"ellipse, parallèle à la ligne de Soderberg.

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FigureII.1: Elément de surface d"un arbre ayant une contrainte decisellementτxyconstanteet unecontrainte normaleσxalternéePourpouvoir applique la théorie de la contrainte du cisaillement maximal, il faut déterminerl"orientation () du plan le longe duquel lacontrainte?sera maximale.Pourcela, on écrit l"équation d"équilibre des forces sur l"élément triangulaire dans ladirection parallèle à P-Q comme suit:)cos().sin(.))(2sin)(2.(cosxxyxy)6.(IISion remplace?xyetxpar leur valeur en fonction des moments appliqués, on obtient:).cos().2sin().3.16()2cos().3..16(tdMdT)7.(IIEn d"autres mots, dans un plan faisant un angleavec l"horizontale, la contrainte de cisaillement aune composante moyenne)2cos().3..16(dTm)8.(IIetunecomposante alternée d"amplitude)2sin().3..16(dMm)9.(IILa figure(II.2)représente lediagramme deSoderbergencisaillement.La contraint de cisaillement maximale peut alors être déterminée au point de contactde la tangente à l"ellipse, parallèle à la ligne de Soderberg.

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En utilisant la géométrie analytique, on peut montrer que l"équation de cette tangente s"écrit:22..3.16SseMSsyTSsedmSsySsea)10.(II

Figure II.2: diagramme de soderberg montrant la ligne de sécurité A-P Parallèle à la ligne desoderberg et tangente à l"ellipsePour déterminé le facteur desécurité FS en utilisant les triangles semblables figureII.2, commeétant Sse / OA:2)/(2)/(.163.SseMSsyTdFS)11.(IISsy:la résistance àl"écoulement en torsion.Sse:la limite d"endurance en torsion.Pour concevoir un arbre, on isole {d} de cette l"équation et en remplaçant Ssy par 0,5 Sy et Sse par0,5 Se, on obtient:3/12/122.32SeMSyTFSd)12.(IISy:limite élastiqueSe:limite d"endurancePour concevoir un arbre soumis à un moment et un couple variables dans le temps on utilisel"expression suivant:

CHAPITREIIMéthodes de Calculdes Arbres

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En utilisant la géométrie analytique, on peut montrer que l"équation de cette tangente s"écrit:22..3.16SseMSsyTSsedmSsySsea)10.(II

Figure II.2: diagramme de soderberg montrant la ligne de sécurité A-P Parallèle à la ligne desoderberg et tangente à l"ellipsePour déterminé le facteur desécurité FS en utilisant les triangles semblables figureII.2, commeétant Sse / OA:2)/(2)/(.163.SseMSsyTdFS)11.(IISsy:la résistance àl"écoulement en torsion.Sse:la limite d"endurance en torsion.Pour concevoir un arbre, on isole {d} de cette l"équation et en remplaçant Ssy par 0,5 Sy et Sse par0,5 Se, on obtient:3/12/122.32SeMSyTFSd)12.(IISy:limite élastiqueSe:limite d"endurancePour concevoir un arbre soumis à un moment et un couple variables dans le temps on utilisel"expression suivant:

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En utilisant la géométrie analytique, on peut montrer que l"équation de cette tangente s"écrit:22..3.16SseMSsyTSsedmSsySsea)10.(II

Figure II.2: diagramme de soderberg montrant la ligne de sécurité A-P Parallèle à la ligne desoderberg et tangente à l"ellipsePour déterminé le facteur desécurité FS en utilisant les triangles semblables figureII.2, commeétant Sse / OA:2)/(2)/(.163.SseMSsyTdFS)11.(IISsy:la résistance àl"écoulement en torsion.Sse:la limite d"endurance en torsion.Pour concevoir un arbre, on isole {d} de cette l"équation et en remplaçant Ssy par 0,5 Sy et Sse par0,5 Se, on obtient:3/12/122.32SeMSyTFSd)12.(IISy:limite élastiqueSe:limite d"endurancePour concevoir un arbre soumis à un moment et un couple variables dans le temps on utilisel"expression suivant:

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3/12/12SyMmSeMa2SyTmSeTa.πFS32.d)13.(IITa:couple quicontribuent à la contrainte variable.Tm:couple quicontribuent à la contrainte statique.Ma: moment quicontribuent à la contrainte variable.Mm: moment qui contribuentà la contrainte statique.L"équation (II.13), appelée "formule du codeWestinghouse», peut aussi exprimée en fonction descontraintes:)14.(II?a: contrainte tangentielle alternée symétrique.a : contrainte normalealternée symétrique.?m:contraintetangentielle moyenne.m: contrainte normale moyenne.II.2.4.1Calculde la limite d"enduranceSe:Les valeurs des limites d'endurance.Toutcomme celles des résistances à lafatigue pourun nombre donné de cycles.Nesont pastoujours accessibles aux concepteurs. Les essais de fatiguesur les matériaux ont montré qu'il existe une relation entrela limite de rupture Su etla limited'endurance Se'(figure II.3)dans le cas de l"essai Moore. Bienqu"elle soit approximative.Cetterelation permet néanmoinsd'évaluer une limite defatigue en utilisant une limite statique qui estrelativement simpleà obtenirexpérimentalement.2/12SyσmSeσa2Sy0,5.τmSe0,5.τa1Fs

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Figure II.3: approximation du diagramme S-N pour les aciersLes relations entre Su et Se' sont lessuivantes:a) aciersSe'=0.5 Su pour Su1400 MPaSé = 700 MPa pour Su > 1400 MPab) fontes et aciers coulésSe"=0,40 Supour N = 5 X 108 cyclesSe'=0,30 su (coulé)II.2.4.1.1 Expression de la limited"enduranceSe:La relation entre les deux limites d"endurances peut être exprimée par:Se = Ka. Kb. Kc. Kd.Ke. Kf.Sé(II.15)Se": lalimite d"endurance de l"éprouvette de l"essai Moore.II.2.4.1.2les facteursaffectant sur la limite d"endurance[1]:a)Facteur de fini de surfaceKa:L"influence de fini de surface sur la limite d"endurance des piècesest connue depuislongtemps, si on a la surface d"un éprouvette étant poli, on peut donc prendre la surface poli commeréférence pour déterminer l"influence de fini de surface.

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FigureII.4représente les valeurs de facteur de fini de surface (ka) en fonction de la limite deruptureSutb)Facteur de la grosseur de pièce Kb:Deux critères sontproposéspour évaluer l"influence de la grosseurdes piècessur lalimite d"endurance: le critère de volume relatif et le critère de la dimension caractéristique.1-Critère du volume relatif:Pour ce qui est des aciers. il existe une bonne corrélation entre la limite d'endurance etles volumes des régions les plussollicitées de la pièce et de l'éprouvettenormalisée. La relationempirique exponentielle dufacteur de grosseur (kb) peuts'exprimer comme suit :034,00VVKb)16.(IIV = volume de la pièce chargée à 95% ou plusde la contrainte maximale aupoint désire.Vo = volume del'éprouvette chargée à 95% ou plus de la contrainte maximale.2-Critère de la dimension caractéristique:Des résultats expérimentaux suggèrent que les facteurs suivants s"appliquent àdesbarreauxen torsion ou en flexion :

1 pour d7,6 mmkb=0,75 pour d > 50 mm0.85pour 7,6 mm < d50 mm

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FigureII.4représente les valeurs de facteur de fini de surface (ka) en fonction de la limite deruptureSutb)Facteur de la grosseur de pièce Kb:Deux critères sontproposéspour évaluer l"influence de la grosseurdes piècessur lalimite d"endurance: le critère de volume relatif et le critère de la dimension caractéristique.1-Critère du volume relatif:Pour ce qui est des aciers. il existe une bonne corrélation entre la limite d'endurance etles volumes des régions les plussollicitées de la pièce et de l'éprouvettenormalisée. La relationempirique exponentielle dufacteur de grosseur (kb) peuts'exprimer comme suit :034,00VVKb)16.(IIV = volume de la pièce chargée à 95% ou plusde la contrainte maximale aupoint désire.Vo = volume del'éprouvette chargée à 95% ou plus de la contrainte maximale.2-Critère de la dimension caractéristique:Des résultats expérimentaux suggèrent que les facteurs suivants s"appliquent àdesbarreauxen torsion ou en flexion :

1 pour d7,6 mmkb=0,75 pour d > 50 mm0.85pour 7,6 mm < d50 mm

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FigureII.4représente les valeurs de facteur de fini de surface (ka) en fonction de la limite deruptureSutb)Facteur de la grosseur de pièce Kb:Deux critères sontproposéspour évaluer l"influence de la grosseurdes piècessur lalimite d"endurance: le critère de volume relatif et le critère de la dimension caractéristique.1-Critère du volume relatif:Pour ce qui est des aciers. il existe une bonne corrélation entre la limite d'endurance etles volumes des régions les plussollicitées de la pièce et de l'éprouvettenormalisée. La relationempirique exponentielle dufacteur de grosseur (kb) peuts'exprimer comme suit :034,00VVKb)16.(IIV = volume de la pièce chargée à 95% ou plusde la contrainte maximale aupoint désire.Vo = volume del'éprouvette chargée à 95% ou plus de la contrainte maximale.2-Critère de la dimension caractéristique:Des résultats expérimentaux suggèrent que les facteurs suivants s"appliquent àdesbarreauxen torsion ou en flexion :

1 pour d7,6 mmkb=0,75 pour d > 50 mm0.85pour 7,6 mm < d50 mm

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d)Influence de la fiabilitéKc:Tableau II.2: facteur de fiabilité correspondant à un écart type 8% pour la limited"endurance

e)Concentration de contraintes en fatigue Ke:Le facteur de fatigue dépend de la géométriede lapièce,du mode de chargementet dumatériau. Les facteurs de fatigue ne sont pas toujours disponibles maispeuvent être calculéparlaformule.11)q.(KtKfKf1Ke)17.(IIKf: facteur des effets divers.Kt: facteur de concentration des contraintes.q: indice de sensibilité.II 2.5Théorie deVonMises-Hencky[1]:Cette approcheutilise la théorie deVonmises, Elle est basée sur l"énergie maximaledistorsion et le diagramme de Goodman modifié.Prenonsun arbre en rotation soumise à:-des contraintes de flexion variables causées par un moment constant.-des contraintes de cisaillement variable causé par un couple variable.-des contraintes uni-axiales provenant d"une charge axiale constante.

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d)Influence de la fiabilitéKc:Tableau II.2: facteur de fiabilité correspondant à un écart type 8% pour la limited"endurance

e)Concentration de contraintes en fatigue Ke:Le facteur de fatigue dépend de la géométriede lapièce,du mode de chargementet dumatériau. Les facteurs de fatigue ne sont pas toujours disponibles maispeuvent être calculéparlaformule.11)q.(KtKfKf1Ke)17.(IIKf: facteur des effets divers.Kt: facteur de concentration des contraintes.q: indice de sensibilité.II 2.5Théorie deVonMises-Hencky[1]:Cette approcheutilise la théorie deVonmises, Elle est basée sur l"énergie maximaledistorsion et le diagramme de Goodman modifié.Prenonsun arbre en rotation soumise à:-des contraintes de flexion variables causées par un moment constant.-des contraintes de cisaillement variable causé par un couple variable.-des contraintes uni-axiales provenant d"une charge axiale constante.

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d)Influence de la fiabilitéKc:Tableau II.2: facteur de fiabilité correspondant à un écart type 8% pour la limited"endurance

e)Concentration de contraintes en fatigue Ke:Le facteur de fatigue dépend de la géométriede lapièce,du mode de chargementet dumatériau. Les facteurs de fatigue ne sont pas toujours disponibles maispeuvent être calculéparlaformule.11)q.(KtKfKf1Ke)17.(IIKf: facteur des effets divers.Kt: facteur de concentration des contraintes.q: indice de sensibilité.II 2.5Théorie deVonMises-Hencky[1]:Cette approcheutilise la théorie deVonmises, Elle est basée sur l"énergie maximaledistorsion et le diagramme de Goodman modifié.Prenonsun arbre en rotation soumise à:-des contraintes de flexion variables causées par un moment constant.-des contraintes de cisaillement variable causé par un couple variable.-des contraintes uni-axiales provenant d"une charge axiale constante.

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Contraintes deVonMises:L'expérience a démontré qu'une extension à lafatigue de la théorie de limitationbasée surl"énergiede distorsion donnait de bons résultats.On définit donc les contraintes moyennesm"et les contraintes d'amplitudea"deVonMises par les relations :2)(32)('XYmXmm)18.II(223'XYaXaaxa: la contrainte normale complètement renversée à la l"axe X.xm : la contrainte normale moyenneà la l"axeX.?xym: la contrainte de cisaillement moyenne.?xya: la contrainte de cisaillement complétement renversée.3..32dMxa3..16dTaxya)19.(II2..4dFxm3..16dTmxym)20.(IIF: force axiale constante.M: moment de flexion constant.Ta: amplitude de la partiealternée du couple appliqué.Tm: partie moyenne du couple appliquée.Enremplaçantles valeurs trouvéesaux équations(II.19)et(II.20)dans l"équation(II.18), on obtient2)(432)(3.32'TaMda)21.(II2)(432)8.(3.32'TmdFdm

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Le facteur de sécurité FS est obtenu par:''mSmaSaFS)22.II(Sa: résistance à la fatigue alternée.Sm:résistance à la fatigue moyenne.SaouSmest calculée en utilisant le diagramme de Goodman modifié (voir explication ci-après)dans lequel la valeur de(σa"/σm")est calculée en prenant les résultats del"équation (II.21).Il peut être utile d'obtenir une solution en employant une méthode algébriqueuniquement. Pour cefaire,nous pouvons exprimer la limite Se-Su du diagramme deGoodman par |a relation:Se.SmSuSeSa)23.II(Su:lalimite à la rupture.En introduisant (II.22) dans (II.23), on obtient:σm'σa'.SeSu1SuSm)24.II(Il est possible donc d"obtenirle facteur de sécuritépar une des deux équations suivantes:2Tm4328Fd323d.SmFS)25.II(2Tm.4328d.F'm'a.SeSu1323d..SuFSen reportant dans l"équation(II.25)les valeur dea" etm" trouvée en(II.21), on obtient le relationfinale de facteur de sécurité:

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Se2Ta.432MSu2Tm.4322d.F.323d.FS)26.II(II 2.5.1diagramme de Goodman modifié[1]:Le diagramme de Goodman modifie est reproduit à la figure II.5. L'axe horizontal est le lieugéométrique des points où la contrainte complètement renversée est nulle. C'est l'axe de la statique.L'axe vertical est le lieudes contraintes complètement renversées. qu'on appelle aussi l'axe de lafatigue. Le point B (m,a) représente un état de contraintes dans une pièce. La ligne de pente (a /m) s'appelle la ligne de sollicitation.Maintenant sia = 0 (a /m = 0), laligne de sollicitation se confond avec l"axe horizontal, et lavaleur limite permise est soit la résistance à l'écoulement Sy. Soit la résistance à la ruptureSutselonle critère choisi. Sim = 0, la contrainte est complètement renversée, donc limitée par la limited'endurance Se. Pour ce qui est d'une vie infinie ou Sf pour ce qui est d'une vie finie.Le diagramme est donc construit en joignant Se (ou Sf) à Sut pour une contrainte moyennepositive. En plus, comme la contrainte maximale doit être limitéeà l'écoulement le diagramme estlimité à Sy, par une droite à 45°. Lorsque la contrainte moyenne est en compression (m < 0), desobservations démontrent que celle-ci n'a pas d'influence sur la valeur de la résistance en fatigue. Parconséquent. le diagramme se réduit à une droite horizontale passant par Se (ou Sf) et à une droite à45° qui intercepte les deux axes a une distance S, de l'origine (voir figureII.5).

Figure II.5: diagramme de Goodman modifié

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Se2Ta.432MSu2Tm.4322d.F.323d.FS)26.II(II 2.5.1diagramme de Goodman modifié[1]:Le diagramme de Goodman modifie est reproduit à la figure II.5. L'axe horizontal est le lieugéométrique des points où la contrainte complètement renversée est nulle. C'est l'axe de la statique.L'axe vertical est le lieudes contraintes complètement renversées. qu'on appelle aussi l'axe de lafatigue. Le point B (m,a) représente un état de contraintes dans une pièce. La ligne de pente (a /m) s'appelle la ligne de sollicitation.Maintenant sia = 0 (a /m = 0), laligne de sollicitation se confond avec l"axe horizontal, et lavaleur limite permise est soit la résistance à l'écoulement Sy. Soit la résistance à la ruptureSutselonle critère choisi. Sim = 0, la contrainte est complètement renversée, donc limitée par la limited'endurance Se. Pour ce qui est d'une vie infinie ou Sf pour ce qui est d'une vie finie.Le diagramme est donc construit en joignant Se (ou Sf) à Sut pour une contrainte moyennepositive. En plus, comme la contrainte maximale doit être limitéeà l'écoulement le diagramme estlimité à Sy, par une droite à 45°. Lorsque la contrainte moyenne est en compression (m < 0), desobservations démontrent que celle-ci n'a pas d'influence sur la valeur de la résistance en fatigue. Parconséquent. le diagramme se réduit à une droite horizontale passant par Se (ou Sf) et à une droite à45° qui intercepte les deux axes a une distance S, de l'origine (voir figureII.5).

Figure II.5: diagramme de Goodman modifié

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Se2Ta.432MSu2Tm.4322d.F.323d.FS)26.II(II 2.5.1diagramme de Goodman modifié[1]:Le diagramme de Goodman modifie est reproduit à la figure II.5. L'axe horizontal est le lieugéométrique des points où la contrainte complètement renversée est nulle. C'est l'axe de la statique.L'axe vertical est le lieudes contraintes complètement renversées. qu'on appelle aussi l'axe de lafatigue. Le point B (m,a) représente un état de contraintes dans une pièce. La ligne de pente (a /m) s'appelle la ligne de sollicitation.Maintenant sia = 0 (a /m = 0), laligne de sollicitation se confond avec l"axe horizontal, et lavaleur limite permise est soit la résistance à l'écoulement Sy. Soit la résistance à la ruptureSutselonle critère choisi. Sim = 0, la contrainte est complètement renversée, donc limitée par la limited'endurance Se. Pour ce qui est d'une vie infinie ou Sf pour ce qui est d'une vie finie.Le diagramme est donc construit en joignant Se (ou Sf) à Sut pour une contrainte moyennepositive. En plus, comme la contrainte maximale doit être limitéeà l'écoulement le diagramme estlimité à Sy, par une droite à 45°. Lorsque la contrainte moyenne est en compression (m < 0), desobservations démontrent que celle-ci n'a pas d'influence sur la valeur de la résistance en fatigue. Parconséquent. le diagramme se réduit à une droite horizontale passant par Se (ou Sf) et à une droite à45° qui intercepte les deux axes a une distance S, de l'origine (voir figureII.5).

Figure II.5: diagramme de Goodman modifié

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Le diagramme de Goodman modifié permet dedéterminer la résistance d'unepièce de machine quisubit des contraintes non complètement renversées. On obtientcette résistance en calculant le pointde rencontre A (Sm. Sa) de la ligne desollicitation avec la ligne du critère de Goodman.II.2.6comparaison des trois méthodes:La méthode deVonMises-Hencky est la plus exacte en ce qui concerne laprédiction derupture. Elle est donc recommandée pour vérifier un arbre qui a déjà étédimensionné ou pourdécouvrir les raisons d'un bris. Elle acependant une limitesérieuse : elle ne permet pasgénéralement de déterminer directement le diamètre d'unarbre lorsqu'on a un chargement et unfacteur de sécurité donnés.Lorsqu'on a à résoudre un problème de conception, on détermine d'abord unepremièreapproximationdu diamètre en employant la méthode du code ASME,puis onvérifie si le facteur desécurité est satisfaisant en utilisant la méthode deVon Mises-Hencky.Lorsque la durée de vie et lafiabilité sontdes facteurs moins importants,on peututiliserla théorie du cisaillement maximal, surtout si lediamètre de l'arbre est l'inconnue. A notercependant : cette méthode ne va pasnécessairement donner des résultats plus sûrs que la méthodedeVonMises car elleignore complètement lacontrainte normale.II.2.7 Conception basé sur les contraintes équivalentes[2]:Connaissant le moment de torsion et celui maximale de flexion, on détermine les contraintscorrespondantes. S"agissant de contraintes composée et de matériaux ductiles d"arbre, on utilisée lecritère deVonmises pour le calcul de la contrainte équivalente.2N/mmF2)T.0.(32Féq)27.(IIF: contrainte de flexion en N/mm2(F= Mfmax/ WF; WF=.d3/32)WF:module à la résistance en flexion.?T: contrainte de torsion en N/mm2(?T=MT/ WT; WT=.d3/16)WT:module à la résistanceen torsion.[éq]: contrainte admissible équivalente en N /mm2.0: rapport de fatigue (d"aprèsBach).

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Ce rapport est supposé être déterminé comme suit:0=DAF/ 1,73.?DRT; quand il s"agit desollicitations dynamique (en générale la flexion estalternée et la torsion est répétée).Remarque:0= 0,7 pour les arbres en acier de construction à usage générale.Lorsque les deux contraintes sont du même type (pa r exempl e l a contraint e de flex ion et lacontrainte de torsion sont ondulées), alors le rapport de fatigue est0= 1La contraint équivalent peut s"écrire sous la forme suivante.éq3d.Méq.32éq)28.II(le moment équivalent est donné par:2)MT.).(43(2TMéqM0)29.II(ainsi, on obtient le diamètre de l"arbre:3éq.Méq.32d)30.II(II.2.8 Formules de Tresca[4]:La formule de Tresca estbasée surdes sollicitationscomposées de type(flexion + torsion); cetteformule estdonnée par:Fs2Sy222max)31.II(Pour un arbre circulaire de diamètre"d»,les contraintespeuvent encore s"écrire; casdesmatériaux ductiles:Fs.2Sy2Mf2Mt.3d.162d.0I.2Mt2d.Iz.4Mfadm)32.II(

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Où:Io,Iz:moments quadratiques de la section par rapport aux axes o et z.Io=2Iz=πd4/32.Mt: momentde torsion.II.3Critère de ladéformation[1]:En plus de transmettre la puissance, les arbres servent à maintenir les positions relatives desdivers élémentsdes machine, la déformation latérale et plus critique lorsque des engrenages sontmontéssur un arbre ou lorsque ce dernier est supporté par des paliers à l"huile ou des paliers à l"air,la déformation en torsion peut affecter le synchronisme ou le déphasage des machines entrainées,dans telle cas ondétermine engénérale la dimension de l"arbre en tenantcompted"abord de sarigidité et en vérifiant sa résistance.II.3.1Déformation latérale:La déformation latérale généralement permisevarie suivant la fonction:-pourles arbres de transmission :la flèche maximaledoit être inférieur 0.08 %de la portée entreles supports.-pour les arbres de renvoi : doit être inférieur 0.015 %.II.3.1.1Méthode de calcul de la déformation latérale:Ilexiste plusieurs méthodespour calculer la déformée d"un arbre, les méthodes d"intégrationanalytique s"emploient difficilement pour calculer la flèche des arbres à cause de la variation de leurmoment d"inertie suivant l"axe longitudinale.Lorsqu'il faut concevoir des machines,il est souvent plus utile de connaître la flèche ou lapente en un point particulier plutôt que l'équation de la déformée. C'est pourquoi les designerspréfèrent employer la méthode des moments d"aire plutôt que les autres méthodes de calcul de ladéformée(superposit ion. intégrat ion graphique . Castigli ano e t fonct ions singulières ). Surtoutlorsqu"il y a des changements de section.La méthode des moments d"aire est basée sur deux théorèmes :Première théorème1.La différence de penteABentre deux points A et B sur une poutre est égale à la surface au-dessousdu diagramme M/EI entre les points A et B( I=d4/64).

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2.La flèche tangentielle mesurée verticalement entre un point A sur la poutre et la tangente aupoint B est égale au premiermoment de surface sous le diagramme M/EI par rapport à A.DeuxièmethéorèmeLe second théorème sert de base au calcul de la flèche à un point donne. C"est une méthodequi est très souvent utilisée car elle est facile à employer et donne le résultat escompté. Ce théorèmenous permet de calculer la flèche tangentielle entre la poutre déformée et la tangente à un pointdonné. En choisis Sant judicieusement ces points.Nouspouvons calculer la flèche de la poutre aupoint désiré.

Figure II.6:relation entre la flèche tangentielleAB,la différence de penteAB et lediagramme des M/EIII.3.2Déformation en torsion:la Déformation généralement permiseen torsion dépend de l"utilisation• pour les arbres de transmission :angle de torsion doit être inférieur à 1° sur une distance à vingtfois le diamètre de l"arbre.• pour les arbres de renvoi : angle de torsion doit être inférieur à 0.3° parmètre de longueur (chargeconstante) et à 0.15° par mètre de longueur (charge subite).La formule la déformation angulaired"un arbre de longeur (L), soumise a un couple detorsion T, peut s"écrit:J.GL.T)33.II(

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2.La flèche tangentielle mesurée verticalement entre un point A sur la poutre et la tangente aupoint B est égale au premiermoment de surface sous le diagramme M/EI par rapport à A.DeuxièmethéorèmeLe second théorème sert de base au calcul de la flèche à un point donne. C"est une méthodequi est très souvent utilisée car elle est facile à employer et donne le résultat escompté. Ce théorèmenous permet de calculer la flèche tangentielle entre la poutre déformée et la tangente à un pointdonné. En choisis Sant judicieusement ces points.Nouspouvons calculer la flèche de la poutre aupoint désiré.

Figure II.6:relation entre la flèche tangentielleAB,la différence de penteAB et lediagramme des M/EIII.3.2Déformation en torsion:la Déformation généralement permiseen torsion dépend de l"utilisation• pour les arbres de transmission :angle de torsion doit être inférieur à 1° sur une distance à vingtfois le diamètre de l"arbre.• pour les arbres de renvoi : angle de torsion doit être inférieur à 0.3° parmètre de longueur (chargeconstante) et à 0.15° par mètre de longueur (charge subite).La formule la déformation angulaired"un arbre de longeur (L), soumise a un couple detorsion T, peut s"écrit:J.GL.T)33.II(

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2.La flèche tangentielle mesurée verticalement entre un point A sur la poutre et la tangente aupoint B est égale au premiermoment de surface sous le diagramme M/EI par rapport à A.DeuxièmethéorèmeLe second théorème sert de base au calcul de la flèche à un point donne. C"est une méthodequi est très souvent utilisée car elle est facile à employer et donne le résultat escompté. Ce théorèmenous permet de calculer la flèche tangentielle entre la poutre déformée et la tangente à un pointdonné. En choisis Sant judicieusement ces points.Nouspouvons calculer la flèche de la poutre aupoint désiré.

Figure II.6:relation entre la flèche tangentielleAB,la différence de penteAB et lediagramme des M/EIII.3.2Déformation en torsion:la Déformation généralement permiseen torsion dépend de l"utilisation• pour les arbres de transmission :angle de torsion doit être inférieur à 1° sur une distance à vingtfois le diamètre de l"arbre.• pour les arbres de renvoi : angle de torsion doit être inférieur à 0.3° parmètre de longueur (chargeconstante) et à 0.15° par mètre de longueur (charge subite).La formule la déformation angulaired"un arbre de longeur (L), soumise a un couple detorsion T, peut s"écrit:J.GL.T)33.II(

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T-couple de torsion.L-longueur del"arbre.G-module de cisaillement.J-moment d"inertiepolaire.II.4Vitesse critique de rotation:Nous avons vu jusqu'à maintenant deux critères qui permettent de calculer le diamètre d"unarbre. Le troisième critère est la vitesse critique de rotation. C"est lafréquence naturelle devibrations latérales oude vibrations de torsion de l"arbre. À de faibles vitesses de rotation,lepremier mode est toujours le plus inquiétant. Les autres fréquences de résonance sont des multiplesde la fréquence naturelle. À de plus grandes vitesses.II.4.1Vibrationlatérale:La fréquence de résonance en vibration latérale est fonction de la rigidité du matériau E etdu moment d'inertie l. Dans la grande majorité des cas, les arbres sont en acier; donc le diamètre del"arbre devient la variable qui détermine la fréquence naturelle.Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la fréquence naturelle de vibration d'un arbrementionnons entre autres la méthode deRayleigh. Elle est basée sur le principe de la conservationdel"énergie et stipule que,dans un système "conservatif» (amortissement nulle) vibrant à unefréquence naturelle, toutes les masses ont un mouvement harmonique simple et de même fréquence.Si l"arbre tourne à la vitesse critique (de flexion ou de torsion) ou aux sous-multiplesdecette vitesse,il risque de se rompre, car il aura subi des déformations excessives.Devant cette éventualité,il faut changer soit la vitesse de fonctionnement,soit le diamètrede l'arbreDans le cas d'un système "conservant», nous savons que la somme de l'énergiepotentielle etde l'énergie cinétique est une constante :constUK)34.(IIK: est l'énergie cinétique.U: est l'énergie potentielle.Il est donc possible d'écrire en considérant deux phases distinctes de la vibration :maxUmaxK)35.II(Pour un mmouvementharmonique on peut écrire pour chacun des points surl"arbre:)tsin(.XimXi)36.II(Lavitesse de déplacement de chaque point du l"arbre:)tcos(.XimiX.)37.II(Cette dernière équation nous permet de trouver lesexpressions de l'énergie.

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Énergie cinétique maximale:Soit XIle mouvement de chaque masse mimontée sur l"arbre l'énergie maximale estcalculélorsque la vitesse (iX.) est maximale:)tcos(.XimiX.Xim.maxiX.)38.II(DoncL'énergie cinétique maximale est:2imX.mi.221maxj1i2iX.mi.21maxK.)39.II(:la vitesse angulaire de l"arbre,Énergie potentielle:L'énergie potentielle maximale est calculée lorsque (xi )est maximal. Pour un ensemble de jmasses, l'énergie devient:Ximj1iiP.21maxj1iiX.Pi.21maxU)40.II(Pi sont les forces nécessaires pour causer des déformations xim.Les forces Pi sont inconnues cependant,les déformations yIdues aux charges mi g (g = 9.81 m/s2)sont connues. En utilisant l"hypothèse de Rayleigh : "la forme de l'élastique de l'arbre envibrationest semblable à l"élastique de l"arbre soumis à un chargement statique provenant de la répartitiondes masses sur l'arbre», on pourra poser:Yi.CXim)41.II(OùYi est la flèche au point "i» correspondant à l"ensemble des charges mi.g,Donc dansle domaineélastique, nous avons en appliquant le principe de linéarité.g.miPiYiXim)42.II(En se servant de (II.41)gmPiYiYi.C.i)43.II(d"où l"on peut tirer Pi = C mi g i= 1 ,2 ,....,jL"énergiecinétique en fonction de yi:j1i22)CYi.(mi21maxK)44.II(

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L"énergiepotentielle en fonction de yi:j1i)CYi).(g.mi.C(.21maxU)45.II(En égalant ces deux quantités, nous obtenonsmaxUmaxK)46.II()s/rad(en2Yi.miYi.mi.g)47.II(L"expression de la fréquence:2Yi.miYi.mi.g.21f)48.II(

Figure II.7: formedes courbes élastique relatives au premier mode de vibration

CHAPITREIIMéthodes de Calculdes Arbres

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L"énergiepotentielle en fonction de yi:j1i)CYi).(g.mi.C(.21maxU)45.II(En égalant ces deux quantités, nous obtenonsmaxUmaxK)46.II()s/rad(en2Yi.miYi.mi.g)47.II(L"expression de la fréquence:2Yi.miYi.mi.g.21f)48.II(

Figure II.7: formedes courbes élastique relatives au premier mode de vibration

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Figure II.7: formedes courbes élastique relatives au premier mode de vibration

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II.4.2Vibrations de torsion:La fréquence fondamentale relative aux vibrations de torsion est fonction du module decisaillement G du matériau dont I 'arbre est fait et du moment d"inertie polaire J de la section. Dansla grande majorité des cas, les arbres sonten acier; par conséquente, le diamètre de l"arbre devientla variable qui détermine la fréquence naturelle de vibrations de torsion.Pour un arbre de longueur L sur lequel sont montées, aux extrémités, deux poulies demoments d'inertie de masse I1et I2.Lavitesse critique de rotation (VCr, en tours par minute), enutilisant la méthode de Rayleigh est :2I.1I)2I1I(.LJ.G..260Vcr)49.II(G =module de cisaillement de matériauJ = moment de inertie polaire de la sectionJ =. d4/34I1 et I2: moment d"inertie de deux poulies

FigureII.8:montaged"arbreavec deux poulies

I1 LI2

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II.4.2Vibrations de torsion:La fréquence fondamentale relative aux vibrations de torsion est fonction du module decisaillement G du matériau dont I 'arbre est fait et du moment d"inertie polaire J de la section. Dansla grande majorité des cas, les arbres sonten acier; par conséquente, le diamètre de l"arbre devientla variable qui détermine la fréquence naturelle de vibrations de torsion.Pour un arbre de longueur L sur lequel sont montées, aux extrémités, deux poulies demoments d'inertie de masse I1et I2.Lavitesse critique de rotation (VCr, en tours par minute), enutilisant la méthode de Rayleigh est :2I.1I)2I1I(.LJ.G..260Vcr)49.II(G =module de cisaillement de matériauJ = moment de inertie polaire de la sectionJ =. d4/34I1 et I2: moment d"inertie de deux poulies

FigureII.8:montaged"arbreavec deux poulies

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II.4.2Vibrations de torsion:La fréquence fondamentale relative aux vibrations de torsion est fonction du module decisaillement G du matériau dont I 'arbre est fait et du moment d"inertie polaiquotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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