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    On peut écrire: = 1 l1 avec: = angle unitaire de torsion (rad/mm). 1 = angle de rotation (S1)/(S0) (en rad). En un point M, la contrainte de torsion M est proportionnelle à la distance de ce point à la ligne moyenne. M: contrainte tangentielle due à la torsion (MPa).

  • Comment calculer la contrainte de torsion ?

    Contraintes tangentielles de torsion
    A partir de la relation « ? = G ? » obtenue au chapitre « Cisaillement », on montre que la contrainte ?M, en un point M quelconque de la coupure (S) est proportionnelle à la distance ? = GM, entre le point et la ligne moyenne.

  • Comment dimensionner un arbre de transmission ?

    · Pour les arbres de transmission la fl?he maximale doit être < 0,08 % de la portée entre les supports . · Pour les arbres de renvoi la fl?he maximale doit être < 0,015 % de la portée entre les supports . · Aussi la variation de fl?he de part et d'autre d'un engrenage doit être < 0,005 % .
  • En introduisant le moment d'inertie de surface : on exprime la variation de courbure due au moment fléchissant par 1/? = M/EI. La contrainte s'en déduit immédiatement par la relation ? = ? (M/I)y.
CHAPITRE 6. ! TORSION......................................................- 6.1 -

6.1. Définitions...............................................................- 6.1 -

6.2. Torsion d'une barre de section circulaire.......................................- 6.3 -

6.2.1. Recherche de la distribution des contraintes.............................- 6.3 -

6.2.2. Relations fondamentales............................................- 6.3 -

6.3. Dimensionnement..........................................................- 6.6 -

6.3.1. Contraintes admissibles.............................................- 6.6 -

6.3.2. Application au calcul d'arbre........................................- 6.6 -

A) Arbres creux..................................................- 6.6 - B) Arbres pleins.................................................- 6.7 -

6.3.3. Déformation admissible.............................................- 6.8 -

6.3.4. Application au calcul d'arbre........................................- 6.8 -

6.3.5. Remarques concernant le dimensionnement des arbres....................- 6.9 -

A) Relation couple - puissance......................................- 6.9 - B) Notion de couple maximum......................................- 6.9 -

6.4. Torsion d'une barre à section transversale non circulaire.........................- 6.12 -

6.4.1. Théorie.........................................................- 6.12 -

6.4.2. Exemples.......................................................- 6.13 -

A) Rectangle...................................................- 6.13 - B) Ellipse.....................................................- 6.13 - C) Arbre muni d'une rainure de clavette.............................- 6.14 -

6.5. Torsion d'un profilé à parois minces..........................................- 6.15 -

6.5.1. Profilés ouverts..................................................- 6.15 -

6.5.2. Profilés fermés...................................................- 6.16 -

6.6. Choix de la forme de la section droite.........................................- 6.20 -

6.7. Applications.............................................................- 6.25 -

6.7.1. Torsion d'un arbre muni d'une rainure de clavette.......................- 6.25 -

6.8. Résumé : calcul des arbres .................................................- 6.27 -Version du 23 juillet 2023 (18h16)

fig 6.1. - Exemple de barre soumise à torsion. Une barre soumise principalement à torsion porte le nom d'arbre. fig 6.3. - Loi de Hooke et angles de déformation.

Définitions

Autrement dit, la torsion pure

est un état de charge tel que dans toute section droite d'une pièce il n'existe qu'un moment de torsion M t

IJfig.6.3.

τγ=G

(éq. 6.1) fig 6.2. - Convention de signe R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Torsion - 6.1 -

Application 6.1.ENmm=

GNmm= /D TXDQWLWpG N/mm

Remarque

σε=E

GE=+ (éq. 6.3)

Notation

Remarque

G rigide

Application directe de la formuleéq. 6.3.

GEE

G=+=-=×-=

GEE

G≈=-≈×-=

Coulomb (Charles-Augustin) (1736 [Angoulême] - 1806 [Paris]) : ingénieur et physicien français

R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Torsion - 6.2 - fig 6.4. - Barre soumise à torsion pure : les sections restes planes. fig 6.5. - Répartition des contraintes tangentielles pour une section circulaire.

Torsion d'une barre de section circulaire

que toute section droite plane reste droite plane après déformation La tension maximale se situant à la périphérie de la pièce hypothèses

Ȗfig.6.3.

ltg r l rγ?γ?== R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Torsion- 6.3 - fig 6.6. - Démonstration.

τγ=G

θ?=l

rG l rG

NotationsG

r l N/mm mm rad rad rad/mm mm t t F-F f-fmm

ǻAf

ii t fM

ǻAf

ǻA mm

2 f f' M t Quelles sont les conditions d'équilibre imposées par la statique ? f i C i ff ii t fM R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Torsion- 6.4 - f AfA i i ii Mf A tiiii MGAAG tii iii IA ii M t MIG t

La première

M t rad/mm M GI t (éq. 6.20) ?θl= rad?= Ml GI t (éq. 6.22)

La seconde

M t N/mm M IrM W tt p (éq. 6.23)

Notations

M t I O r Nmm mm mm G.I O I O /r Nmm mm R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Torsion- 6.5 - fig 6.7. - Rupture fragile en torsion.

Dimensionnement

adm S e adme S =(éq. 6.24) e R e ecis e R= adme R S =(éq. 6.26) adm R m e admm R S =(éq. 6.27) adm (éq. 6.28)

STraction -

Compression

d d i M t adm

Arbres creux

d d i kdd di R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Torsion- 6.6 - M WdM ddM dk t pt it d adm admt dt d M dkM dk (éq. 6.31) d dM kM k t d admt d adm (éq. 6.32)

Mdk dk

t d adm d adm (éq. 6.33)

Arbres pleins

un arbre cylindrique plein de diamètre d dk id admtt M dM d (éq. 6.35) dMM t admt adm (éq. 6.36) Md d t adm adm (éq. 6.37) R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Torsion- 6.7 - adm adm (éq. 6.38)

Remarques

adm adm adm m rad m=°= (éq. 6.39) adm /mmrad/mm adm adm rad mm mm=° (éq. 6.40) d d i M t adm

Arbres creux

kdd di M GIM ddGM dkG tt it d adm admt dt d M dkGM dkG (éq. 6.43) dM kGM kG t d admt dadm (éq. 6.44)

MdkG dkG

t d adm d adm (éq. 6.45) adm rad/mmM t

NmmGN/mm

dmm R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Torsion- 6.8 -

En résumé

Arbres courts à la résistance

Arbres longs à la déformation

Arbres pleins

un arbre cylindrique plein de diamètre d dk id admtt M dGM dG (éq. 6.47) dM GM G t admt adm (éq. 6.48)

MdG dG

t adm adm (éq. 6.49) $Relation couple - puissance P nM t PM t (éq. 6.50)

Ȧrad/snȦ

nn (éq. 6.51) MP nP n t (éq. 6.52)

PWntours/minM

t Nm Nmm

Notion de couple maximum

k c R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Torsion- 6.9 -

Application 6.2.kWtr/min

GNmm= adm Nmm= adm m=°

Application 6.3.kWtr/min

N/mm FKDSLWUHIntroduction à la résistance des matériaux M t MkM tct nominal(éq. 6.53)

Arbre court

Recherche du moment de torsion

MP nNm Nmm t

Calcul du diamètre (à la contrainte)

dMmm mm t adm

Arbre long

Angle relatif admissible

rad mm

Calcul du diamètre (à déformation)

dM Gmmm t adm

Recherche de la contrainte admissible

adme R S

Nmm==×=

Recherche du moment de torsion

MP nNm Nmm t quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
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