1.7.4 Techniques de calcul des primitives et des intégrales.
Par le théor`eme fondamental du calcul intégral la recherche d'une primitive est équivalente au calcul d'une intégrale. Les mêmes techniques sont donc
Analyse 3 CALCUL DE PRIMITIVES 1. Primitives et intégrales
Primitives et intégrales. Définition. Soient I un intervalle de R et une fonction f : I → R. On dit qu'une fonction F : I → R est une primitive de f si.
1. Primitives et intégrales indéfinies
calculer la distance qu'elle parcourra avant de s'arrêter. 5. En chaque point xy. ( ) d'une courbe
Terminale S - Primitives et Calcul dune intégrale
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Chapitre 1 - Intégration et calcul de primitives
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Calculs de primitives Pascal Lainé 1
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13 Calcul de primitives
cours du mardi 21/3/17. 13 Calcul de primitives. Notation : si f est continue sur un intervalle I de R si F est une primitive.
cours du mardi 21/3/17 13 Calcul de primitives
Notation :sifest continue sur un intervalleIdeR, siFest une primitive def, on noteRf(t)dt=F(t) +k. Cette notation signifie que l"ensemble des primitives defsurl"intervalleIest formé des fonctions de la forme t7!F(t) +koùkest une constante.13.1 Primitives à connaître par coeur
En face de chaque fonctionfde la première colonne, on a placé une primitived defdans la deuxième colonne :f(x)F(x)x ; 6= 1x +1+11 xlogjxje x; a >0; a6= 1a cos2xtanx1
sin2xcotanxshxchxthxlnchxcothxlnshx1
2xthx1
2xcothx1p1x2arcsinx1pa
2x2; a >0arcsin(x=a)1p1+x2ln(x+p1 +x2)1pa
2+x2; a >0ln(x+pa
2+x2)1px
21lnjx+px
21j1px
2a2; a >0lnjx+px
2a2j12+1arctanx1
2+a2; a >01
arctan(x=a)12x2; a >01
2alnx+axa
13.2 Primitives des fractions rationnelles
SiFest une fraction rationnelle, pour calculerRF, on commence par décomposerFen éléments simples et on se ramène à calculer des primitives de polynômes et des primitives de la forme :1(xa)hdx=8
:1(1h)(xa)h1+ksih2 logjxaj+ksih= 1 et de la forme :Zax+b(x2+cx+d)h
ouh1.Dans ce cas, on écrit
ax+b(x2+cx+d)hsous la forme :2(xp)((xp)2+q2)h+((xp)2+q2)h
avecq >0et;pà déterminer. On a :2(xp)((xp)2+q2)hdx=8
:(1h)((xp)2+q2)h1+ksih2, ln((xp)2+q2) +ksih= 1. Pour le second terme, on peut intégrer par parties : h=Zdx(x2+q2)h=x(x2+q2)h+ 2hZx2(x2+q2)h+1 x(x2+q2)h+ 2hIh2hq2Ih+1 d"où :2hq2Ih+1= (2h1)Ih+x(x2+q2)h:
On rappelle que
1=Zdxx
2+q2=1q
arctan(x=q):Exercice 1
Z1x(x2+x+ 1)2dx=x+ 1x
2+x+ 1+2p3
arctan2x+ 1p313.3 Primitives des fractions rationnelles enex
SiRest une fraction rationnelle, alorsRR(ex)dx=RR(t)t dt, en posant t=exet on est ramené au calcul de primitive d"une fraction rationnelle.Exemple :R1e
x+1=xln(ex+ 1) +C.13.4 Primitives des fonctions ensinxetcosx
13.4.1 Polynômes
Pour calculer
Rsinmxcosnxdx,
si mounest impair, par exemple sin= 2p+ 1, on poset= sinx: sin mxcosnxdx=Z m((1t2)pdt ::: si m;nsont pairs, on linéarise : on exprimecosmxsinnxcomme une combinaison linéaire decoskxet sinlx,k;l2N; par exemple : cos4xdx=???
On a :
cos4x=(eix+eix)42
4=18 ei4x+ei4x2 + 4ei2x+e2ix2 + 3! cos4x8 +cos2x2 + 3=8: DoncRcos4xdx=sin4x32
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