[PDF] Le Calcul de Primitives — 25 oct. 2017 Pour calculer

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Le Calcul de Primitives

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

25 octobre 2017

?(x) f(u) du=? f(?(t)???? u)??(t) dt?

1 R´esultats pr´eliminaires

D´efinition 1 :Primitives

Soit deux fonctionsfetFd´efinies sur un intervalleI. On dit que la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur l"intervalleIsi et seulement si :

1. La fonctionFest d´erivable surI

2.?x?I, F?(x) =f(x).

Th´eor`eme 1 :Existence

Toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives surI

Preuve 1 :Voir le cours sur l"int´egration...

Th´eor`eme 2 :Deux primitives sur un mˆeme intervalle diff`erent d"une constante

SiFest une primitive def:I?→Csur un

intervalleIalors l"ensemble des primitives defsurIest : {F+C|C?C}

Preuve 2 :

1. Premi`ere inclusion :

SoientGune autre primitive def. On consid`ere la fonctionH=F-Get on la d´erive ...

2. Deuxi`eme inclusion :

On v´erifie facilement que les fonctions de la formeF+CavecC?Csont des primitives defsurI. Th´eor`eme 3 :Calcul d"une int´egrale `a l"aide d"une primitive SiFest une primitive d"une fonctionf:I?→Ccontinue sur un intervalleIeta, b?I, alors : f(t) dt= [F(t)]ba=F(b)-F(a) Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/

Preuve 3 :Vu plus tard...

Corollaire 4 :Existence d"une primitive qui s"annule enx0 Soitfune fonction r´eelle ou complexe, continue sur un intervalleI. Pour toutx0?I,fadmet alors une unique primitive qui s"annule enx0.

Cette primitive est la fonction :

x?→?

0f(t) dt

Plus g´en´eralement, l"expression d"une primitive quelconque defpourra ˆetre not´ee :? f(t) dt

Il s"agit d"un abus de notation qui sera utile `a condition dese rappeler qu"on est `a une constante pr`es.

Preuve 4 :On prend deux primitives qui s"annulent enx0. I´etant un intervalle, elle sont donc ´egales `a une constante pr`es... Remarque1.Ainsi avec un abus de notation, on peut ´ecrire pour toutx?I:

0f(t) dt??=f(x) ou encore??x

f(t) dt??=f(x)

Proposition 5 :Lin´earit´e des primitives

Soitf1, f2? C(I,K),λ, μ?K.

On a?x?I:?x

λ.f

1(t) +μf2(t) dt=λ?

1(t) dt+μ?

2(t) dt

Preuve 5 :Pas de difficult´e...

Proposition 6 :Primitive d"une fonction complexe

Soitf=f1+if2une fonction complexe avecf1, f2? C(I,R). fadmet alors pour primitives surIles fonctionsFtelles que :

F(x) =F1+iF2+Cavec?F1

2des primitives de?f1

2etC?C

Preuve 6 :V´erification facile...

Ce chapitre est consacr´e `a la pr´esentation de certaines m´ethodes usuelles de calcul de primitives.

Nous noterons :

1.?xf(t) dtl"expression d"une primitive quelconque de la fonctionfde variablex

2.?fune primitive quelconque defsur un intervalleIqu"on n"oubliera pas de pr´eciser.

3.?x af(t) dtd"expression de la primitive defqui s"annule ena

Les deux premi`eres notations sont abusives (car elles ne d´esignent pas un unique objet), mais elles nous seront utiles pour la

mise en oeuvre des m´ethodes usuelles. Pour calculer une primitive d"une fonction, nous avons 3 outils principaux `a notre disposition :

1. Les primitives usuelles `a connaˆıtre par coeur!!

2. Le changement de variable.

3. L"int´egration par partie.

Toute la difficult´e consitera alors `a :

1. Penser `a utiliser au moment opportun les primitives connues

2. Faire un choix parmi l"une des deux m´ethodes pr´ec´edentes

Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/

3. Transformer judicieusement la fonction ´etudi´ee pour faire apparaˆıtre une primitive connue

4. Choisir le bon changement de variable

2 Primitives usuelles `a connaˆıtre par coeur

Toutes les primitives suivantes sont bien entendu donn´ees `a une constante pr`es et sont valables sur tout intervalle o`u les

fonctions sont continues. ?Les classiques(?a?R) 1.? (t+a)αdt=(x+a)α+1α+ 1α?R\{-1}5.? sin(at) dt=-cosaxa(a?= 0) 2.? xdt t+a= ln|x+a|6.? cos(at) dt=sinaxa(a?= 0) 3.? eatdt=eax a(a?C?) 7.? sh(at) dt=chaxa(a?= 0) 4.? lntdt=xlnx-x8.? ch(at) dt=shax a(a?= 0)

Exemple 1.Soit (a, b)?R2\{(0,0)}. D´eterminer?

cos(bt)eatdtet? sin(bt)eatdtsurR. ?Les 5 autres `a connaˆıtre absolument

Soit un r´eela >0.

1.? xdta2+t2=1aarctanxasurR xdt ⎷a2-t2= arcsinxasur ]-a, a[ xdt a2-t2=12aln??a+xa-x?? sur ]-a, a[ ou ]- ∞,-a[ ou ]a,+∞[ xdt ⎷t2+a2= ln(x+?x2+a2) surR xdt ⎷t2-a2= ln(x+?x2-a2) sur ]a,+∞[ ?A connaˆıtre ´egalement : Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/ 1.? xdtcos2t= tanx xdt sin2t=-1tanx3. xdt ch2t= thx xdt sh2t=-1thx5. tantdt=-ln|cosx| thtdt= ln|chx|

3 Les formes `a reconnaˆıtre

D´efinition 2 :Fonction de classeC1

Soitf:I→Co`uIest un intervalle deR.

Nous dirons quefest de classeC1surIlorsque :

1.fest d´erivable surI

2.f?est continue surI

Th´eor`eme 7 :Forme `a reconnaˆıtre

Soit une fonctionf:I?→Ccontinue sur l"intervalleIde primitiveF. Soitu:J?→Iune fonction de classeC1sur l"intervalleJAlors : f[u(t)]u?(t) dt=F◦u(x) Preuve 7 :En d´erivant, on remarque queFo?est bien une primitive defo?.??.

Corollaire 8 :Quelques formes usuelles

Soituune fonction de classeC1sur un intervalleI.

On a alors pourα?R\{1}:

αu?=uα+1

α+ 1

2.?u? u= ln|u| uu?=eu4. ?u?

1 +u2= arctanu

cos(u)u?= sin(u) ?u?

2⎷u=⎷u7.

?u? ⎷1-u2= arcsinu ?u? ⎷1 +u2= ln(u+?1 +u2) ?u? a2-u2=12aln??u+au-a??

Exercice : 1

Calculer les primitives suivantes sur un intervalle `a d´eterminer. xarctan3t

1 +t2dt

cost.esintdt3. xsint1 + cos2tdt

1-e-tdt5.

tcos(t2+ 1) dt xet⎷1-e2tdt

Exercice : 2

(?) Calculer les primitives sur ]-π2,π2[ des fonctions tan, tan2, tan3et tan4.

On pourra remarquer quetan?= 1 + tan2.

Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/

4 Le changement de variables

Th´eor`eme 9 :Changement de variables

Soit une fonctionf:I?→Rcontinue sur l"intervalleI. Soit?: [a, b]?→Iune fonction de classeC1sur le segment [a, b]. Alors : f[?(t)]??(t) dt=? ?(b) ?(a)f(x) dx Preuve 9 :On consid`ereFune primitive defet on remarque alors queFo?est une primitive defo?.??. On peut alors calculer les deux membres de l"´egalit´e et montrer qu"ilssont ´egaux.

Corollaire 10 :Cas des primitives

Soitf:I?→Rune fonction continue et?:J?→Ide classeC1de l"intervalleJvers l"intervalleI. f(?(t))×??(t) dt=? ?(x) f(u) du

Preuve 10 :Il suffit de prendreb=xdans la formule pr´ec´edente et de ne plus tenir compte des constantes.

Soitfune fonction continue surI.

Pour d´eterminer une primitive def, on pourra alors utiliser en pratique la d´emarche suivante :

Pour calculer?

g(t) dtsurJ, on pourra poser :u=?(t) avect?J

On ´ecrit alors

?u=?(t) du=??(t) dtet on transforme?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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