1.7.4 Techniques de calcul des primitives et des intégrales.
Par le théor`eme fondamental du calcul intégral la recherche d'une primitive est équivalente au calcul d'une intégrale. Les mêmes techniques sont donc
Analyse 3 CALCUL DE PRIMITIVES 1. Primitives et intégrales
Primitives et intégrales. Définition. Soient I un intervalle de R et une fonction f : I → R. On dit qu'une fonction F : I → R est une primitive de f si.
1. Primitives et intégrales indéfinies
calculer la distance qu'elle parcourra avant de s'arrêter. 5. En chaque point xy. ( ) d'une courbe
Terminale S - Primitives et Calcul dune intégrale
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Toute fonction continue admet une primitive sur un intervalle. 2. Si on connait une primitive de f alors le calcul de. ∫ b a f(
UAA 9 – Intégrale Chapitre 1 – Primitives & intégrales définies
(b) Calcule la somme des aires des 8 rectangles hachurés : Mme Delleur. AR Agri – Saint-Georges. 5. Page 8. 6G – Math 4. UAA 3. Ch 1 – Calcul intégral. (c) A l'
Calculs de primitives Pascal Lainé 1
Exercice 4. Calculer les primitives suivantes : 1. 1( ) = ∫(cos( )cos(
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Calcul d'une primitive. Il devient facile de calculer une primitive de F : ?. F(x) dx = 5. ? 1 x2 dx+3. ? 1 x.
13 Calcul de primitives
cours du mardi 21/3/17. 13 Calcul de primitives. Notation : si f est continue sur un intervalle I de R si F est une primitive.
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Calcul des primitives
Bernard Ycart
L"objectif de ce chapitre est purement technique : la théorie de l"intégration est supposée connue ou admise. Le seul but est d"exposer les principales techniques de calcul des primitives et des intégrales.Table des matières
1 Cours 1
1.1 Propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Techniques de calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Applications des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Entraînement 21
2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Compléments 36
3.1 La quadrature du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Fonctions spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Intégrales elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 mai 2012
Maths en LigneCalcul des primitivesUJF Grenoble1 Cours1.1 Propriétés des intégrales
Toutes les fonctions considérées sont supposées continues, ou continues par mor- ceaux, sur leur intervalle d"intégration, et sont donc intégrables. Nous commençons par résumer les principales propriétés des intégrales.Théorème 1.
1. Relation de Chasles :
af(x)dx+? bf(x)dx=? af(x)dx .2. Linéarité :
a(λf(x) +μg(x))dx=λ? af(x)dx+μ? ag(x)dx .3. Monotonie :
ag(x)dx . La relation de Chasles permet d"étendre la définition de l"intégrale au cas où la fonctionfn"est continue que par morceaux sur l"intervalle d"intégration. On intègre séparément chacun des morceaux et on ajoute ensuite les intégrales obtenues. Consi- dérons par exemple la fonctionfqui vautxsix?[0,1]et12 six?]1,2].021/21 xf(x)Figure1 - Exemple de fonction discontinue.
Son intégrale sur l"intervalle[0,2]vaut :
0f(x)dx=?
0xdx+?
112dx=12 +12 = 1.
Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleÀ propos de cet exemple, il est conseillé de ne pas perdre de vue l"interprétation géo-
métrique d"une intégrale : l"intégrale d"une fonction constante positive est la surface d"un rectangle, l"intégrale d"une fonction affine positive ou nulle (du typex?→αx+β) est la surface d"un triangle si la fonction s"annule sur l"une des deux bornes, la surface d"un trapèze dans le cas général. La relation de Chasles reste vraie même si les bornes des intervalles d"intégration ne sont pas dans le bon ordre, ce qui peut arriver après un changement de variable. On convient de changer le signe de l"intégrale quand on échange les bornes. Cette convention est cohérente avec le fait que l"intégrale sur un intervalle de longueur nulle vaut nécessairement0. af(x)dx+? bf(x)dx=? af(x)dx= 0.La propriété2du théorème (linéarité), dit que l"intégrale est une application linéaire,
de l"espace vectoriel des fonctions intégrables, dansR. On l"utilisera souvent, soit pour mettre en facteur une constante devant l"intégrale, soit pour séparer le calcul en deux intégrales plus simples. Par exemple : π40cos2(x)dx=?
π401 + cos(2x)2
dx=12 π40dx+12
π40cos(2x)dx=π8
+14 On peut utiliser la monotonie pour vérifier certains calculs. Par exemple si une fonctionest positive sur l"intervalle d"intégration, son intégrale doit être positive. L"intégrale
d"une fonction positive et non identiquement nulle est même strictement positive : on utilise souvent ce résultat sous la forme suivante. Proposition 1.Soitfune fonction continue sur[a,b]. Si l"intégrale de|f|sur[a,b] est nulle, alorsfest identiquement nulle. a|f(x)|dx= 0 =?f(x) = 0,?x?[a,b]. L"intégrale peut être encadrée à l"aide du minimum et du maximum defsur l"in- tervalle[a,b]: x?[a,b]f(x). Si on divise ces inégalités par la longueur de l"intervalle, on obtient : inf x?[a,b]f(x).Il faut comprendre
1b-a? af(x)dxcomme lavaleur moyennede la fonction sur l"in- tervalle. Lethéorème de la moyennedit que cette valeur moyenne est atteinte sur l"intervalle.Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleThéorème 2.Sifest continue sur[a,b], il existec?[a,b]tel que :
1b-a? af(x)dx=f(c).a b xf(x)Figure2 - Illustration du théorème de la moyenne.1.2 Primitives et intégrales
Rappelons tout d"abord la définition.
Définition 1.On appelleprimitived"une fonctionf, définie sur un intervalle]a,b[, toute fonction dérivable sur]a,b[, dont la dérivée coïncide avecfsur]a,b[. Etant données deux primitives def, leur différence doit avoir une dérivée nulle, et donc être constante. Deux primitives de la même fonction diffèrent donc par une constante. Pour spécifier une primitive particulière, il suffit de fixer sa valeur en un point. En général, on considère la primitive qui s"annule en un certain point. Elle s"écrit comme une intégrale, grâce au théorème suivant, que nous admettrons. Théorème 3.Soitfune fonction continue sur[a,b], etcun point de l"intervalle[a,b]. On considère la fonctionFc(x), qui àx?[a,b]associe : c(x) =? cf(t)dt . AlorsFcest l"unique primitive defqui s"annule au pointc.Observons l"écriture
cf(t)dt, dans laquelle les deux lettrestetxjouent des rôles totalement différents. La lettrexdésigne une borne de l"intervalle d"intégration. Si on la remplace par un réel, par exemple⎷2, on obtiendra un résultat réel : la valeur de la fonctionFcau point⎷2. La variable d"intégrationtest muette. On ne peut pas la remplacer par un réel. Par contre, n"importe quelle autre lettre (saufcetx) pourraitMaths en LigneCalcul des primitivesUJF Grenoblejouer le même rôle. Dans l"écriture des primitives, on évitera toujours de noter avec la
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