[PDF] Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples





Previous PDF Next PDF



Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples

3.1 – Intégrales de Riemann (rappels de TMB). 3.2 – Intégrales doubles. 3.3 – Intégrales triples. 3.4 – Aire volume



Intégrales doubles et triples - M—

Définition: Intégrale Double. • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [c



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

doubles). On peut intégrer une fonction de trois variables sur une sph`ere un cylindre



Sommaire Figures 1. Intégrales doubles

Notons enfin que le domaine change et donc sa description hiérarchisée aussi. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing 



Sommaire Figures 1. Intégrales doubles

Ceci est illustré sur la figure 2 page suivante. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://c.caignaert.free.



Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration

Il permet de calculer des intégrales doubles à l'aide d'intégrales simples et les triples à l'aide de doubles. 5. C'est une « expérience de pensée » car G n' 



Résumé sur les intégrales doubles

On appelle intégrale d'une fonction de deux variables l'intégrale double de la fonction sur le domaine D et on note : . 2. Calcul des intégrales doubles :.



Cours dAnalyse 6

3) variables sur une partie bornée de R2 (resp. R3). Nous donnons aussi des méthodes de calcul des intégrales doubles et triples sur des compacts particuliers 



Outils Mathématiques 4 1 Intégrales triples

Résumé du cours du 2-2-22. 1 Intégrales triples. 1.0.1 Propriétés élémentaires 1.1 Calcul d'intégrales triples `a l'aide d'intégrales doubles et simples.



Intégrales doubles triples et curvilignes

30 avr. 2006 Dans le calcul d'une intégrale double le plus délicat est souvent le ... grales simples n'est plus qu'une formalité si le cours du premier ...



[PDF] Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples

Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples 3 1 – Intégrales de Riemann (rappels de TMB) 3 2 – Intégrales doubles 3 3 – Intégrales triples



[PDF] Chapitre 3 Intégrale double

Intégrale double Nous allons supposer le plan usuel R2 muni d'un repère orthonormé (Oi j ) 3 1 Aperçu de la définition formelle de l'intégrale double



[PDF] Intégrales de fonctions de plusieurs variables - Mathématiques

On peut intégrer une fonction de trois variables sur une sph`ere un cylindre un cône un ellipso?de etc (on parle d'intégrales triples) Vous verrez que l' 



[PDF] Calcul dintégrales triples : changement de variables

8 fév 2023 · CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE DÉFINITION La matrice jacobienne d'une application de classe C 1



[PDF] Sommaire Figures 1 Intégrales doubles - Christophe Caignaert

C'est le package « student » qui possède les mots clefs permettant de calculer des intégrales doubles ou triples Les deux commandes sont « Doubleint » et « 



[PDF] INTÉGRALES MULTIPLES

Chapitre 1 Intégrales doubles 1 1 Cas général 1 1 1 Définition Soit D un domaine borné et connexe de R 2 inscrit dans le rectangle [a b] × [c d]



[PDF] Intégrales triples - Laboratoire de Mathématiques dOrsay

1 Introduction 2 Définition et propriétés de l'intégrale triple La définition et les propriétés des intégrales doubles peuvent se généraliser 



[PDF] Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration

Il permet de calculer des intégrales doubles à l'aide d'intégrales simples et les triples à l'aide de doubles 5 C'est une « expérience de pensée » car G n' 



[PDF] Intégrales doubles triples et curvilignes - Guillaume Laget

30 avr 2006 · 1 dxdydz = Volume(V) Pour calculer des intégrales triples on procède comme pour les intégrales doubles en décomposant l'intégrale en 3 

  • Comment calculer les intégrales triples ?

    L'intégrale triple se résume alors à la quadrature élémentaire sur [-r,r] de la fonction z ? ?(r2 - z2) dont une primitive est z ? ?(r2z -z3/3), fonction impaire de z. Le volume cherché est donc 2?(r3 - r3/3) = 4?r3/3.

  • Comment faire une double intégration ?

    Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x, y)dxdy dans l'exemple 3.14 pour la fonction f définie par f(x, y) = x ? y.

  • Comment bien comprendre les intégrales ?

    En effet, l'intégrale d'une fonction positive f entre un nombre a et un nombre b est l'aire de la partie du plan délimitée horizontalement par les droites verticales d'équations x=a et x=b et verticalement par l'axe des abscisses et la courbe de f.

  • 1 – Linéarité

    1l'intégrale d'une somme de deux fonctions est égale la somme des intégrales (faire ci-dessus)2l'intégrale du produit d'une fonction par une constante est égale au produit de cette constante par l'intégrale de cette fonction (remplacer par la fonction nulle).

Math2 { Chapitre 3

Integrales multiples

3.1 {

Int egralesde Riemann (rapp elsde TMB)

3.2 {

Int egralesdoubles

3.3 {

Int egralestriples

3.4 {

Aire, volume, mo yenneet centre de masse

3.1 { Integrales de Riemann (rappels de TMB)

Dans cette section:

Subdivisions, somme de Riemann et integrale de Riemann d'une fonction d'une variable

Aire sous le graphe d'une fonction

Primitives et techniques d'integration

Subdivision, somme et integrale de Riemann

Rappels {Soitf:ra;bs ÑRune fonction d'une variable: subdivisiondera;bs:Sn taa0 a1 anbuR aa0 a nb a 1|x 1 a 2|x 2 a 3|x 3 a 4|x 4 a 5|x 5 somme de Riemann defaux pointsxiP rai1;ais: R pf;txiuq n¸ i1fpxiq:xfpxq a b integrale de Riemann defsurra;bs: b a fpxqdxlimnÑ8toutxiR pf;txiuqxfpxq a b si la limite existe, est nie, et ne depend pas desxi.

L'integrale donne l'aire sous le graphe

Rappels -

b a fpxqdxaire \algebrique" sous le graphe def b a |fpxq|dxaire sous le graphe def(positive) xyfpxq |f|f |f||f|Exemple:L'aire du disque se calcule comme une integrale:

AirepDq 2AirepDq 2»

1

1a1x2dxxy?1x2D

Primitives et techniques d'integration

Pour connaitre l'integral, il sut de connaitre une primitive: Uneprimitive defsurra;bsest une fonctionFderivable telle que F

1pxqfpxqpour toutxP ra;bs. On noteFpxq»

fpxqdx.

Theoreme fondamental:»b

a fpxqdxFpbqFpaq rFpxqsba:

Integration par changement de variable:xhptq»

fpxqdx» fhptqh1ptqdt; ouhest un dieomorphisme(bijection derivable avec reciproqueh1derivable).

Integration par parties:»

fpxqg1pxqdxfpxqgpxq » f

1pxqgpxqdx:Probleme {Pas d'analogue pour les fonctions de plusieurs variables!

Exemple: aire d'un disque

Aire d'un disque {

AirepDq 2AirepDq 2»

1

1a1x2dxCalcul par changement de variable:xsintpourtP r2

;2 s, car?1x2cost.Alorsdxcost dtet

AirepDq 2»

{2 {2cos2t dt 2» {2 {2cosp2tq 12 dt 12 sinp2tq t {2 {202 02

3.2 { Integrales doubles

Dans cette section:

Subdivisions des domaines du plan

Sommes de Riemann des fonctions de deux variables

Integrale double

Volume sous le graphe d'une fonction

Theoreme de Fubini

Theoreme du changement de variables

Subdivisions d'un domaine du plan

SoitD€R2un ensemble borne, avec bordBDlisse(au moins par morceaux). Denition {Pour tout¡0, on appellesubdivision deD l'ensembleSdes carresKide cotedu plan qui couvrentDdans n'importe quel grillage de pas.En particulier, on considere deux recouvrements: una l'exterieurSext, una l'interieurSint.S intS extD BDPuisqueDest borne, les subdivisions contiennent un nombre ni de carres, et on aSint€Sext. Les carres dansSextzSintcouvrent exactement le bordBD. Sommes de Riemann d'une fonction de deux variables

Soitf:DÝÑRune fonction de deux variables.

Denition {Pour tout choix de pointspxi;yiq PKiXD, on appellesommes de Riemann defassociees aux subdivisions S ext{int et aux pointstpxi;yiqules sommes R ext{int pf;tpxi;yiquq ¸ K iPSext{int fpxi;yiq2; ou chaque termefpxi;yiq2 represente levolume algebrique(=volume) du parallelepipede de base K iet hauteurfpxi;yiq. xyfpx;yqD

Integrale double

Theoreme {Si les limiteslimÑ0Rext{int

pf;tpxi;yiquqexistent et elles sont independantes du choix des pointspxi;yiq PKiXD, alors elles coincident.Denition {Dans ce cas: on appelleintegrale double defsurDcette limite: D fpx;yqdx dylimÑ0Rext{int pf;tpxi;yiquq: on dit quefest integrable surDselon Riemannsi l'integrale¼ D fpx;yqdx dyest nie (= nombre, pas8).Proposition {Toute fonction f continueest integrable selon Riemann sur un ensemble D bornea bord lisse(par morceaux).

Signication geometrique de l'integrale double

Corollaire {

D fpx;yqdx dyvolume \algebrique" sous le graphe de f . D |fpx;yq|dx dyvolume sous le graphe de f .yz x positifnegatiff |f||f|f

Exemple 1: volume d'une boule

Volume d'une boule {Le volume de la boule

est deux fois le volume de la demi-boule B qui se trouve sous le graphe de la fonction za1x2y2: yz xpx;yqzax 2y2B

On a alors

VolpBq 2¼

Da1x2y2dx dy

Proprietes des integrales doubles

Proprietes {1qPour tout;PR, on a

D fgdx dy¼ D f dx dy¼ D g dx dy:2qSi DD1YD2et D1XD2= courbe ou point ouH, alors D fpx;yqdx dy¼ D

1fpx;yqdx dy¼

D

2fpx;yqdx dy:3q¼

D D D D gpx;yqdx dy:

Theoreme de Fubini sur un rectangle

Theoreme de Fubini sur un rectangle {Soit f:DÝÑRune fonction continue et D ra;bs rc;dsun rectangle. Alors on a D fpx;yqdx dy» b a »d c fpx;yqdy dx d c »b a fpx;yqdx dyNotation { b a dx» d c dy fpx;yq » b a »d c fpx;yqdy dxCorollaire { ra;bsrc;dsf

1pxqf2pyqdx dy»

b a f

1pxqdx»

d c f

2pyqdy

Exemple 2: calcul d'integrales doubles

Exemples {

r0;1sr0;{2sxcosy dx dy» 1 0 x dx» {2 0 cosy dy 12 x21 0 siny {2 012 r1;1sr0;1spx2y1qdx dy» 1

1dx»

1 0 px2y1qdy 1 1dx12 x2y2y y1 y0 1 1 12 x21 dx16 x3x 1 1 53

Theoreme de Fubini

Lemme {Soit D€R2un ensemble borne quelconque.

Pour toutpx;yq PD

il existe a;bPR

Pour tout xP ra;bs

il existe cpxq;dpxq PR

Au nal:xy

bxacpxqdpxqD px;yq PR2|xP ra;bs;yP rcpxq;dpxqs(Theoreme de Fubini surD{Soit f:DÝÑRune fonction continue, alors D fpx;yqdx dy» b a

»dpxq

cpxqfpx;yqdy dx

Theoreme de Fubini (suite)

Alternative {

L'ensembleDest decrit parxy

d y c apyqbpyqD px;yq PR2|yP rc;ds;xP rapyq;bpyqs(Theoreme de Fubini surD{ D fpx;yqdx dy» d c

»bpyq

apyqfpx;yqdx dy

Exemple 3: calcul d'integrale double

Exemple {SoitDla partie du planxOydelimitee par l'arc de paraboleyx2en bas, et la droitey1 en haut.xy y1yx2

1On peut decrireDcomme

D px;yq PR2|xP r1;1s;yP rx2;1s(:Par consequent:

D xquotesdbs_dbs25.pdfusesText_31
[PDF] aire d'un pavé droit

[PDF] aire parallélogramme formule

[PDF] aire pavé droit

[PDF] l'aire d'un rectangle

[PDF] l'aire d'un carré

[PDF] aire d'un triangle trigonométrie

[PDF] aire du triangle rectangle formule

[PDF] formule trigonométrique triangle quelconque

[PDF] formule triangle perimetre

[PDF] formule triangle rectangle

[PDF] aire triangle quelconque sans hauteur

[PDF] formule aire losange

[PDF] aire du trapèze formule

[PDF] formule triangle aire

[PDF] démonstration aire disque