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Calcul d"intégrales triples : changement de variables

8 Février 2023 1 / 38

CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLETerminologie : I)Un difféomorphisme de classeC1,hentre deux domainesΩetΩ′ deR3est une application bijective de classeC1 h:Ω′-→Ω

dont l"inverseh-1est aussi de classeC1.II)Un changement de variables entre deux domainesΩetΩ′deR3est

la donnée d"un difféomorphisme entreΩetΩ′.8 Février 2023 2 / 38

CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLEDÉFINITIONLa matrice jacobienne d"une application de classeC1:

h: (u,v,w)7→h(u,v,w)=(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) en un point(u,v,w)est la matrice3×3: Jac h(u,v,w):= (u,v,w) Le déterminant jacobien de h est la fonction de(u,v,w): detJach(u,v,w)=det (u,v,w)8 Février 2023 3 / 38 CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLESoitA= a

11a12a13

a

21a22a23

a une matrice carrée d"ordre 3,alors son déterminant det(A)=|A|=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23 -a31a22a13-a21a12a33-a11a32a23.

On peut retrouver ce résultat par la règle de Sarrus :162Fr ançoisDEMARÇAY,Département deMathématiquesd"Orsay, UniversitéP aris-Sud,F rance

D"après(7.8),ce déterminantvaut :

x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 =x 1 y 2 z 3 +x 2 y 3 z 1 +x 3 y 1 z 2 !x 3 y 2 z 1 !x 2 y 1 z 3 !x 1 y 3 z 2 signe'+"contiennentsoit lestermesde ladiagonaleprincipale, soitdeuxtermes d"uneparallèle à ladiagonaleprincipale parl"autrediagonale.

Donnonsdeuxpremiers diagrammescolorés:

Enfait, l"idéeprincipaleconcernantlessignes estillustréecomme suit:

Allez!Encoredeuxautresillustrations bienflashys !

Soitunematrice carréed"ordre3:

M:= aa a bb b cc c .Par exemple,det 1 2 3 4 5 6 =225-225=0.8 Février 2023 4 / 38

CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLETHÉORÈME(THÉORÈME DE CHANGEMENT DE VARIABLES)SoientΩetΩ′deux domaines bornés deR3et½h:Ω′→Ω

difféomorphisme de classe C 1. Alors pour toute fonction continue f:Ω→Ron a f(x,y,z)dxdydz=Ñ ′f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))¯¯detJach(u,v,w)¯¯dudvdw.8 Février 2023 5 / 38

CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLEPar le changement de variableh, l"élément de volumedxdydzse

transforme en|detJach(u,v,w)|dudvdw.THÉORÈMESous les hypothèses précédentes, pour unC1difféomorphisme

h:A→B entre deux domaines on aura : volume(B)=Ñ B dxdydz=Ñ A |detJach(u,v,w)|dudvdw.8 Février 2023 6 / 38 CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLEOn va calculer l"intégrale triple P xdxdydzoùPest le parallélépipède ayant pour sommets les points suivants :

A=(0,0,0),B=(1,2,1),C=(2,3,2),D=(1,1,1),

A

Evaluonsl"int´egralet riple

D xyzdxd ydzo`uDestlepa rall´ elipip`edeayantpoursommetslespointssuiv- ants:A=(0,0,0),B=( 1,2,1),C=( 2,3,2),D=( 1,1,1),A =(1,1,2),B =(2,3,3),C =(3,4,4)et D =(2,2,3).Nousa vonsrepr´e sent´eledomain eDdanslafigur e10.4. A B C D A' B' C' D' x y z figure 10.4 Lep lancontenantles pointsA,B,C,Dacomme´eq uation z!x=0,celleduplancontenantlespoints A",B",C ",D"estz!x=1.LeplancontenantlespointsA,D,A",D"acomme´equationy!x=0,celle dupla ncontenant B,C,B",C"esty!x=1.LeplancontenantlespointsA,B,A",B"acomme´equation coordonn´ees: u=!x+y, v=3x!y!z, w=!x+z.

Iles tfacilede v´erifierquececies tuncha ngementdecoordonn´ees.Ilfautsimplem entnote rquelamatr ice

!110 3!1!1 !101

estinver sibleouencorequesond´eterminan tn"estp asnul.Danscesnou vellescoo rdonn´ees,Dcorrespond

audom aineD ={(u,v,w)|0"u"1,0"v"1,0"w"1}et x=u+v+w y=2u+v+w z=u+v+2w !(x,y,z) !(u,v,w) 111
211
112
=!1.

Doncdetou tcecie tduth´eor`em e10.1,nousa vons

D xyzdxdyd z= D (u+v+w)(2u+v+w)(u+v+2w)|!1|dudvdw 1 0 1 0 1 0 (u+v+w)(2u+v+w)(u+v+2w)dw dv du 197
24

Exemple10.8:

Soitlar´eg ionRdeR

2 danslepr emierq uadrantconsistantdespo ints(x,y)telsque1"xy"4etx"y"3x,

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CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLELe plan contenant les pointsA,B,C,Da pour équationz-x=0,

l"équation du plan contenant les pointsA′,B′,C′,D′estz-x=1.Le plan contenant les pointsA,D,A′,D′a pour équationy-x=0,

celle du plan contenantB,C,B′, C" esty-x=1.Le plan contenant les pointsA,B,A′,B′a comme équation

3x-y-z=0,

enfin, celle du plan contenantC,D,C′,D′est 3x-y-z=1.8 Février 2023 8 / 38

CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLENous pouvons considérer les nouvelles coordonnées :

u=-x+y, v=3x-y-z, w=-x+z.Il est facile de vérifier que ceci est un changement de variables : x=u+v+w y=2u+v+w =det 1 1 1 2 1 1 =-1.8 Février 2023 9 / 38

CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLEDans ces nouvelles coordonnées,Pcorrespond au cube

P Nous avons donc, par la formule de changement de variables :Ñ P x dxdydz=Ñ P ′(u+v+w)|-1|dudvdw=Ñ [0,1]3(u+v+w)dudvdw= Z 1 0 uduZ 1 0 dvZ 1 0 dw+Z 1 0 duZ 1 0 vdvZ 1 0 dw+Z 1 0 duZ 1 0 dvZ 1 0 wdw=3Z 1 0 uduZ 1 0 dvZ 1 0 dw=3Z 1 0 udu=3·u22¸ 1 0 =32.

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COORDONNÉES CYLINDRIQUESDansR3, les coordonnées cylindriques sont utiles lorsque le

problème étudié présente une symétrie autour d"un axe.Un pointM=(x,y,z)deR3peut s"écrire sous la forme

M=(rcosθ,rsinθ,z)avecr≥0 etθ∈]-π,π].Section15.7CylindricalCoordinates

CylindricalCoordinates

Cylindricalcoordinatesareathree dimensionalcoordinatesystem,where thexycoordinatesarereplacedbypolarcoor dinates.T heconversionsare

CartesiantoCylindrical

x=rcos! y=rsin! z=z

MultivariableCalculus69/ 87

Section15.7CylindricalCoordinates

CylindricalCoordinates

Cylindricalcoordinatesareathree dimensionalcoordinatesystem,where thexycoordinatesarereplacedbypolarcoor dinates.T heconversionsare

CartesiantoCylindrical

x=rcos! y=rsin! z=z

MultivariableCalculus69/ 87

Le triplet(r,θ,z)s"appelle lescoordonnées cylindriquesdeM. On note½h: [0,+∞[×]-π,π]×R→R3 (r,θ,z)7→(x,y,z)=(rcosθ,rsinθ,z)8 Février 2023 11 / 38 COORDONNÉES CYLINDRIQUESLa jacobienne dehau point(r,θ,z)est Jac h(r,θ,z)= ∂x∂z ∂y∂r∂y∂θ ∂y∂z ∂z∂r∂z∂θ cosθ-rsinθ0 sinθrcosθ0 et son déterminant jacobien detJach(r,θ,z)=¯

¯¯¯¯¯cosθ-rsinθ0

sinθrcosθ0

0 0 1¯

sinθrcosθ¯ ¯¯¯=r(cos2θ+sin2θ)=r8 Février 2023 12 / 38 EXEMPLES DE CALCUL D"INTÉGRALES TRIPLESExample :On veut calculerI=Ñ V (1-2yz)dxdydzoùVest le cylindre plein et de rayon 1.Ensuite on applique Fubini ( intégration par tranches hirizontales) :

I=Ñ

V (1-2yz)dxdydz=Z 3 D z(1-2yz)dxdy)dz.Maintenant, on va utiliser un changement de variables en D D z(1-2yz)dxdy=Z 1 0µ

Z2π

rdr

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D z(1-2yz)dxdy=Z 1

0[θ+2rcosθz]2π

0rdr=2πZ

1 0 rdr=πPar suiteI=πZ 3 0 dz=3π.

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COORDONNÉES CYLINDRIQUESTHÉORÈME(PASSAGE EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES)Soient f:Ω⊂R3→Rune fonction continue surΩ=h(Ω′)( domaines

réguliers). On a alors f(x,y,z)dxdydz=Ñ f(x,y,z)dxdydz=Z zmax z D zf(x,y,z)dxdy)dzet on passe en coordonnées polaires sur chaqueDz= Z zmax z D ′f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdzpar Fubini.□8 Février 2023 16 / 38

COORDONNÉES CYLINDRIQUESREMARQUECet énoncé est très utile pour intégrer des fonctions sur des solides derévolution : c"est-à-dire des solides invariants par rotation autour dun axe

par exemple Oz. Les équations de ces domaines sont des fonctions de r

2=x2+y2et de z.8 Février 2023 17 / 38

COORDONNÉES CYLINDRIQUESExercice :Transformer l"intégrale suivante en coordonnées cylindriques : Z 3 0Ã Z0 p9-x2Ã

Zp9-x2-y2

0 yz2dz! dy! dxSection15.7CylindricalCoordinates

Example2

Convertthefollowingt ripleint egraltocylindricalcoordi nates: 3 0 0 9!x 2 9!x 2 !y 2 0 yz 2 dzdydx

MultivariableCalculus73/87 (voir TD)

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COORDONNÉES CYLINDRIQUESPROPOSITIONSoit V un domaine deR3tel qu"il existe a,b∈Ravec a fonctionϕ:R×[a,b]→R∗+continue,2πpériodique par rapport à la première variable, et vérifiant

Alors pour toute fonction f continue sur V, on a

V f(x,y,z)dxdydz=Z b aZ -πZ

ϕ(θ,z)

0 f(rcos(θ),rsin(θ),z)rdrdθdz.8 Février 2023 19 / 38 COORDONNÉES CYLINDRIQUESPourz∈[a,b]on noteT(z)=V∩(R2×{z}). Alors on a

Puisque

V f(x,y,z)dxdydz=Z b aµ dz, il suffit de passer en coordonnées polaires sur chaque tranche T(z)□Le passage en coordonnées cylindriques donne dxdydz=rdrdθdz8 Février 2023 20 / 38 COORDONNÉES CYLINDRIQUESSoit à calculerI=Ñ V (1-2yz)dxdydzoùVest le cylindre plein de En coordonnées cylindriques,Vest représenté par le prallélépipèdeV [0,1]×[0,2π]×[0,3] et l"élément de volumedxdydz=rdrdθdz.8 Février 2023 21 / 38

COORDONNÉES CYLINDRIQUESOn auraÑ

V (1-2yz)dxdydz=Ñ V ′(1-2rzsin(θ))rdrdθdz= Z 3 0µ Z1 0µ

Z2π

dz= Z 3 0µ Z1

0[θ+2rzcosθ]2π

dz= Z 3 0µ Z1 dz=Z 3 0µ Z1 0 dz=3π[r2]1 0=

3π.

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COORDONNÉES CYLINDRIQUESREMARQUELa fonction(x,y,z)7→2yz est impaire par rapport à y et le domaine Vest symétrique par rapport au plan xOz, alors le changement de variables

(x,y,z)7→(x,-y,z)donneÑ V

2yzdxdydz=-Ñ

V

2yzdxdydz d"oùÑ

V

2yzdxdydz=0.

Ainsi,Ñ

V (1-2yz)dxdydz est égal àÑ V dxdydz=Volume(V)=3×Aire(D)=3π.

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COORDONNÉES CYLINDRIQUESExercice :

(x2+y2)dxdydzavec I=Z 2π 0 dθZ 1 0µ Zz 0 dz=2πZ 1 0z 44
dz=2π·z520¸ 1 0 =π10.

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COORDONNÉES CYLINDRIQUESExercice :

On se propose de calculer l"intégrale triple :

I=Ñ

D D D ′zr2rdrdθdz=Z 2πquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28