Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
3.1 – Intégrales de Riemann (rappels de TMB). 3.2 – Intégrales doubles. 3.3 – Intégrales triples. 3.4 – Aire volume
Intégrales doubles et triples - M—
Définition: Intégrale Double. • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [c
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
doubles). On peut intégrer une fonction de trois variables sur une sph`ere un cylindre
Sommaire Figures 1. Intégrales doubles
Notons enfin que le domaine change et donc sa description hiérarchisée aussi. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing
Sommaire Figures 1. Intégrales doubles
Ceci est illustré sur la figure 2 page suivante. Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert – Tourcoing – http://c.caignaert.free.
Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration
Il permet de calculer des intégrales doubles à l'aide d'intégrales simples et les triples à l'aide de doubles. 5. C'est une « expérience de pensée » car G n'
Résumé sur les intégrales doubles
On appelle intégrale d'une fonction de deux variables l'intégrale double de la fonction sur le domaine D et on note : . 2. Calcul des intégrales doubles :.
Cours dAnalyse 6
3) variables sur une partie bornée de R2 (resp. R3). Nous donnons aussi des méthodes de calcul des intégrales doubles et triples sur des compacts particuliers
Outils Mathématiques 4 1 Intégrales triples
Résumé du cours du 2-2-22. 1 Intégrales triples. 1.0.1 Propriétés élémentaires 1.1 Calcul d'intégrales triples `a l'aide d'intégrales doubles et simples.
Intégrales doubles triples et curvilignes
30 avr. 2006 Dans le calcul d'une intégrale double le plus délicat est souvent le ... grales simples n'est plus qu'une formalité si le cours du premier ...
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Intégrale double Nous allons supposer le plan usuel R2 muni d'un repère orthonormé (Oi j ) 3 1 Aperçu de la définition formelle de l'intégrale double
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On peut intégrer une fonction de trois variables sur une sph`ere un cylindre un cône un ellipso?de etc (on parle d'intégrales triples) Vous verrez que l'
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8 fév 2023 · CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE DÉFINITION La matrice jacobienne d'une application de classe C 1
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C'est le package « student » qui possède les mots clefs permettant de calculer des intégrales doubles ou triples Les deux commandes sont « Doubleint » et «
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Chapitre 1 Intégrales doubles 1 1 Cas général 1 1 1 Définition Soit D un domaine borné et connexe de R 2 inscrit dans le rectangle [a b] × [c d]
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1 Introduction 2 Définition et propriétés de l'intégrale triple La définition et les propriétés des intégrales doubles peuvent se généraliser
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Il permet de calculer des intégrales doubles à l'aide d'intégrales simples et les triples à l'aide de doubles 5 C'est une « expérience de pensée » car G n'
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30 avr 2006 · 1 dxdydz = Volume(V) Pour calculer des intégrales triples on procède comme pour les intégrales doubles en décomposant l'intégrale en 3
Comment calculer les intégrales triples ?
L'intégrale triple se résume alors à la quadrature élémentaire sur [-r,r] de la fonction z ? ?(r2 - z2) dont une primitive est z ? ?(r2z -z3/3), fonction impaire de z. Le volume cherché est donc 2?(r3 - r3/3) = 4?r3/3.Comment faire une double intégration ?
Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x, y)dxdy dans l'exemple 3.14 pour la fonction f définie par f(x, y) = x ? y.Comment bien comprendre les intégrales ?
En effet, l'intégrale d'une fonction positive f entre un nombre a et un nombre b est l'aire de la partie du plan délimitée horizontalement par les droites verticales d'équations x=a et x=b et verticalement par l'axe des abscisses et la courbe de f.1 – Linéarité
1l'intégrale d'une somme de deux fonctions est égale la somme des intégrales (faire ci-dessus)2l'intégrale du produit d'une fonction par une constante est égale au produit de cette constante par l'intégrale de cette fonction (remplacer par la fonction nulle).
Intégrales doubles et triples12 - 1Sommaire
1. Intégrales doubles1
1.1. Descrition hiérarchisée de. . . . . . . .1
1.2. Intégrale double . . . . . . . . . . . . . .2
1.3. Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . .3
1.4. Un cas particulier . . . . . . . . . . . . .3
1.5. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.6. Changement de variables . . . . . . . . .4
1.7. Coordonnées polaires . . . . . . . . . . .52. Intégrales triples6
2.1. Description hiérarchisée de. . . . . . .6
2.2. Changement de variables . . . . . . . . .6
2.3. Coordonnées cylindriques . . . . . . . . .6
2.4. Coordonnées sphériques . . . . . . . . .8
3. Calculs divers9
3.1. Aire ou volume de. . . . . . . . . . . .9
3.2. Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.3. Centre d"inertie . . . . . . . . . . . . . . .10
3.4. Moments d"inertie . . . . . . . . . . . . .10
3.5. Colbert, lycée numérique . . . . . . . . .12Figures
1 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . .2
2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . .3
3 Coordonnées Polaires . . . . . . . . . . .5
4 Intégrale double en polaires . . . . . . . .55 Intégrale triple . . . . . . . . . . . . . . . .7
6 Coordonnées Cylindriques . . . . . . . . .8
7 Intégrale triple en cylindriques . . . . . .9
8 Coordonnées Sphériques . . . . . . . . .10
9 Intégrale triple en sphériques . . . . . . .11
10 Coordonnées Sphériques des physiciens12Ce chapitre est un chapitrepratiquedestiné à permettre de calculer l"intégrale
d"une f onctioncon tinuede 2 v ariablessur une partie f erméebornée d uplan, ou d"une f onctioncon tinuede 3 v ariablessur une partie f erméebornée de l" espace. On ne se posera aucun problème de nature théorique ettous les théorèmes seront admis.1. Intégrales doubles
1.1. Description hiérarchisée d"une partie fermée bornée deR2Définition :On appelle description hiérarchisée du domaineune partie fermée bornée deR2:
l"existence de 2 réelsaetbet de 2 applications continues sur[a;b], notéesuetvtels quea < bet8x2[a;b],u(x)6v(x), avec
(x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)]Ce qui peut s"illustrer par la figure 1, page suivante.On fera attention à ne pas commettre l"erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2
variables indépendamment les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle... Exemple :On va prendre le domaine du plan défini par :y>0; x>y; x61. Il est élémentaire de faire une figure de ce domaine, qui est un triangle. En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchisée :8 >><>>:x2[0;1]y2[0;x]Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 2Intégrales doubles et triplesy
xΔ a b x u(x)v(x)OFigure 1 -Intégrale double1.2. Intégrale double defcontinue sur, un fermé borné deR2Définition :fcontinue sur, un fermé borné deR2, si on dispose d"une description hiérarchisée
de, on appelle intégrale double defsur: I = f(x;y) dxdy=Z b a0BBBB@Z
v(x)u(x)f(x;y) dy1CCCCAdxEn un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboîtées
Exemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8 >>>>><>>>>>:x>0 y>0 x+y61 On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine :8 >><>>:x2[0;1] y2[0;1x];ce qui donne : I = D xydxdy=Z 1 0Z 1x 0 xydydx I = Z 1 0x (1x)22 dx="x(1x)36 1 0 +Z 1 0( 1x)36 dx=" (1x)424 1 0 =124Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 31.3. Théorème de Fubini : inversion des bornesThéorème :
Si on a par ailleurs : (x;y)2,8
>><>>:y2[c;d] x2[(y);(y)]avecc < det8y2[c;d],(y)6(y), alors : I = f(x;y) dxdy=Z b a0BBBB@Z
v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx=Z d c0BBBB@Z
(y) (y)f(x;y) dx1CCCCAdyCeci est illustré sur la figure 2, ci-dessous. y xΔ cd y(y)(y)OFigure 2 -Théorème de Fubini : inversion de l"ordre des intégrationsOn peut ainsi changer l"ordre d"intégration, le calcul est diérent, mais le résultat est le
même.1.4. Un cas particulier
On va se placer dans un cas très particulier puisque : (x;y)2,8 >><>>:x2[a;b] y2[c;d] Le domaine est un rectangle. Et d"autre part :8(x;y)2; f(x;y)='(x) (y) Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle : I = f(x;y) dxdy=Z b a0BBBB@Z
v(x) u(x)f(x;y) dy1CCCCAdx Z b a Zd c '(x) (y)dy! dx=Z b a (x)Z d c (y)dy! dx Z b a '(x) Zd c (y)dy! dx= Zd c (y)dy! Zb a '(x)dx Z b a '(x)dxZ d c(y)dyCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 4Intégrales doubles et triplesAinsi, dans ce cas :
'(x) (y)dxdy=Z b a '(x)dxZ d c (y)dy1.5. Propriétés
a/ LinéaritéThéorème :f ;gcontinues sur, un fermé borné deR2, on dispose d"une description hiérarchisée de
.etdeux réels. Alors :" f(x;y)+g(x;y)dxdy=" f(x;y) dxdy+" g(x;y) dxdy b/ PositivitéThéorème :fcontinue,positive, sur, un fermé borné deR2, on dispose d"une description hiérar-
chisée de. Alors :" f(x;y)dxdy>0 c/ Additivité selon les domainesThéorème :fcontinue, sur1et2, deux fermés bornés deR2, on dispose d"une description hiérar-
chisée de1et2. De plus1\2estau plusune courbe. Alors :"1[2f(x;y) dxdy="
1f(x;y) dxdy+"
2f(x;y) dxdy
Cela permet d"exploiter d"éventuelles symétries (de la fonction et du domaine). Théorème :Sifest continue etpositivesur, avec, de plus, D, alors :" D f(x;y) dxdy6" f(x;y) dxdy1.6. Changement de variablesThéorème :':U!Vde classeC1,UetVdeux ouverts deR2.
D etdeux fermés bornés deR2, DU, et,V.
De plus :'(D)=.
On suppose que les points dequi ont plusieurs antécédents sont de surface nulle.On note :
(x;y)='(u;v),D(x;y)D(u;v)le jacobien de'en(u;v), et,D(x;y)D(u;v) la valeur absolue du jacobien.Alors :"
f(x;y) dxdy=" D g(u;v)D(x;y)D(u;v) dudvOn notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.On rappelle que :
D(x;y)D(u;v)=
@x@u @x@v @y@u @y@vNotons qu"on fait un changement de variable :
pour sim plifierle domaine, ce qui est nouveau ou pour sim plifierle cal culdes primitiv esemboîtées.Notons enfin quele domaine changeet doncsa description hiérarchisée aussi.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 51.7. Changement de variables en coordonnées polairesThéorème :On pose8
>><>>:x=cos y=sin(x;y)2D,(;)2, etf(x;y) =f(cos;sin)=g(;) D f(x;y) dxdy=" g(;)dd=" f(cos;sin)ddCeci est illustré sur la figure 3, ci-dessous. y x M xy OFigure 3 -Coordonnées PolairesDémonstration :En eetD(x;y)D(;)= @x@@x@ @y@@y@ cossin sin cos =>0La figure 4, ci-dessous, indique le mode de calcul. y x ρρ+dρθθ+dθdρρdθOFigure 4 - D f(x;y)dxdy="g(;)ddCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 6Intégrales doubles et triplesExemple :On va intégrer la fonction(x;y)!f(x;y)=xysur D :8
>>>>><>>>>>:x>0 y>0 x2+y261
On cherche d"abord une description hiérarchisée du domaine en polaires :8 >><>>:2[0;=2]2[0;1];ce qui
donne, compte tenu quexy=2cossin: I = D xydxdy=Z =2 0Z 1 03cossindd
I = Z =2 0 cossindZ 1 03d="sin22
=2 0" 441 0 =18
2. Intégrales triples
2.1. Description hiérarchisée de, intégrale triple defcontinue surun fermé borné de
R 3 un fermé borné deR3, une description hiérarchisée deest de la forme : (x;y;z)2,8 >>>>><>>>>>:x2[a;b] y2[u(x);v(x)] z2[(x;y);(x;y)] On peut avoir les variables dans un autre ordre, l"important est que les bornes de chacune ne soient définies qu"en fonction des précédentes. On définit alors l"intégrale triple defcontinue surpar : f(x;y;z) dxdydz=Z b a0BBBB@Z
v(x) u(x)0BBBB@Z
(x;y) (x;y)f(x;y;z) dz1CCCCAdy1CCCCAdx La figure 5, page ci-contre, donne une description hiérarchisée du domaine.2.2. Changement de variables
Sous des hypothèses équivalentes à la dimension 2, (x;y;z) ='(u;v;w), (x;y;z)2D,(u;v;w)2, etf(x;y;z) =g(u;v;w), on a alors : D f(x;y;z) dxdydz=$ g(u;v;w)D(x;y;z)D(u;v;w) dudvdw On notera lavaleur absoluedu jacobien et la pseudo-simplification.2.3. Coordonnées cylindriques
8 >>>>><>>>>>:x=cos y=sinz=z(x;y;z)2D,(;;z)2, etf(x;y;z) =f(cos;sin)=g(;;z)Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 7
Figure 5 -Intégrale tripleOn regardera la figure 6, page suivante. D f(x;y;z) dxdydz=$ g(;;z)dddzLe calcul du jacobien est facile
D(x;y;z)D(;;z)=et on a encore>0.
La figure 7, page 9, indique le mode de calcul.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 8Intégrales doubles et triples
Figure 6 -Coordonnées Cylindriques2.4. Coordonnées sphériquesOn notera sur la figure 8 la définition des coordonnées sphériques.Cette notation est la notation des mathématiciens : les physiciens utilisent l"angle entre Oz
et OM qui appartient donc à [0;]. Dans la formule, au niveau de la valeur absolue du jacobien, ils échangent ainsi sin'et cos'. Attention, parfois, ils changent aussi le nom des angles... 8 >>>>><>>>>>:x=coscos' y=sincos' z=sin'(x;y;z)2D,(;;')2, etf(x;y;z) =g(;;')On regardera la figure 8, page 10.
D f(x;y;z) dxdydz=$ g(;;')2cos'ddd'Le calcul du jacobien est facile :
D(x;y;z)D(;;')=2cos', et on a bien : cos'>0.
La figure 9, page 11, indique le mode de calcul.
Les coordonnées sphériques du physicien sont illustrées sur la figure 10, page 12.Dans ce cas, le calcul du jacobien donne :
D(x;y;z)D(;;')=2sin, et on a bien : sin>0.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 9
Figure 7 -
ZZZ D f(x;y;z)dxdydz=ZZZ g(;;z)dddz3. Calculs divers3.1. Aire ou volume de
Il sut de calculer"
dxdypour l"aire d"une partie fermée bornée du plan et$ dxdydzpour le volume d"une partie fermée bornée de l"espace.Remarque :Dans le cas d"une courbe définie en coordonnées polaires et oùne change pas de signe
et oùdécrit, par exemple, [0;2], l"aire intérieure à la courbe est :12 Z 2 0 2()d.3.2. Masse
Si on a(x;y;z)la masse volumique du solide en un point donné, M = (x;y;z)dxdydzdonne la masse. Pour une plaque, on peut faire un calcul équivalent avec la densité surfacique(x;y)
et une intégrale double, M =(x;y)dxdyCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
12 - 10Intégrales doubles et triples
Figure 8 -Coordonnées Sphériques du mathématicien3.3. Centre d"inertie Avec les mêmes notation, et P de coordonnées (x;y;z)on a :OG =1M
!OP(x;y;z)dxdydz ou en densité surfacique :OG =1M
!OP(x;y)dxdy Ce qui donne pour la première coordonnée par exemple : x G=1M x(x;y;z)dxdydz ou encore, dans le cas d"une densité surfacique : x G=1M x(x;y)dxdy3.4. Moments d"inertie
Pour un solide, un moment d"inertie peut se calculer par rapport à un point, une droite ou un plan
qu"on appelle dans tous les cas A.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Intégrales doubles et triples12 - 11
Figure 9 -
ZZZ D f(x;y;z)dxdydz=ZZZ g(;;')2cos'ddd'On noted((x;y;z);A)la distance du point courant à A.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] aire parallélogramme formule
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