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MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications

Chapitre 7 : Intégrale de surface

ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

UTC-UTT

5

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

2

Chapitre 7

Intégrale de surface

7.1 Aire d"une surface

3

7.2 Intégrale de surface

17

7.3 Flux d"un champ de vecteurs à travers une surface

22

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

3

7.1 Aire d"une surface

7.1.1 Aire d"une surface paramétrée

4

7.1.2 Aire d"une surface-démonstration

6

7.1.3 Aire d"une surface définie par son équation explicite

1 2

7.1.4 Aire d"une surface définie par son équation explicite-variante

1 4

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

Exercice A.1.1

L"espace est muni d"un repère orthonormé (O,~ı,~|,~k). Si une surfaceSest plane, on peut supposer par exemple queSest dans le planxOy, on a alors défini l"aire dans le chapitre sur l"intégrale double par : aire deSAEZ Z S dxdy Supposons maintenant que la surfaceSest gauche (c"est-à-dire non plane), le théorème sui- vant permet de calculer son aire. Théorème 7.1.1.S est une surface paramétrée par :8< :xAEa(u,v) yAEb(u,v) zAEc(u,v), (u,v)2¢½IR2où a,b,c sont des fonctions différentiables. On note B

BBBB@@a@u(u,v)

@b@u(u,v) @c@u(u,v)1 C

CCCCA^0

B

BBBB@@a@v(u,v)

@b@v(u,v) @c@v(u,v)1 C

CCCCA°

Sommaire

Concepts

Exemples

Exercices

surface paramétréealors : aire(S)AEZ Z

¾(u,v)dudv

Vous pouvez lire la démonstration de ce théorème dans le paragraphe suivant.

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Concepts

Exemples

Exercices

Exercice A.1.2

On va maintenant démontrer le résultat énoncé dans le paragraphe précédent, on reprend

les notations de ce paragraphe. On peut quadriller le domaine¢, voir la figure VII.2.1, alors¢est

approché par l"union des rectangles¢i j.¢i jest le rectangle défini par : u i·u·uiÅh1,vj·v·vjÅh2. A chaque rectangle¢i jcorrespond un élément"i jsur la surfaceS. Les sommets de"i jsont : P 0AE8 :a

¡ui,vj¢

b

¡ui,vj¢

c

¡ui,vj¢,P1AE8

:a

¡uiÅh1,vj¢

b

¡uiÅh1,vj¢

c

¡uiÅh1,vj¢,

P 2AE8 :a

¡ui,vjÅh2¢

b

¡ui,vjÅh2¢

c

¡ui,vjÅh2¢,P3AE8

:a

¡uiÅh1,vjÅh2¢

b

¡uiÅh1,vjÅh2¢

c

¡uiÅh1,vjÅh2¢.

Voir figure VII.1.2.

L"aire deSpeut être approchée par la somme des aires des surfaces"i j. L"approximation est d"autant meilleure que les pash1eth2sont petits.

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Concepts

Exemples

Exercices

surface- démonstrationDij j v iuuhDv 1 h

2FIGURE7.1.1: quadrillage du domaine¢

On va maintenant construire une approximation de l"aire de"i j. Pour cela on approche les pointsP1etP2par respectivementM1etM2, puis on approche l"aire de"i jpar l"aire du parallé- logramme dont 3 des sommets sontP0,M1etM2. Voir figure VII.1.3. Pour construire les pointsM1etM2, on utilise la formule de Taylor, on sait en effet que

a(uiÅh1,vj)¼a(ui,vj)Åh1@a@u¡ui,vj¢,on a des relations similaires avecbetcdonc le pointP1

est approché par le pointM1de composantes :

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Concepts

Exemples

Exercices

surface- démonstration0P2 P3P 1 Pe ij xyzFIGURE7.1.2: un élément"i j M 1AE0 B

BBBB@a(ui,vj)Åh1@a@u¡ui,vj¢

b(ui,vj)Åh1@b@u¡ui,vj¢ c(ui,vj)Åh1@c@u¡ui,vj¢1 C CCCCA

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Concepts

Exemples

Exercices

surface- démonstrationP3 PP PMMM 0 113
2

2FIGURE7.1.3: approximation de"i j

Géométriquement le vecteur

P0M1AEh10

B

BBBB@@a@u¡ui,vj¢

@b@u¡ui,vj¢ @c@u¡ui,vj¢1 C CCCCA

est tangent à l"arcP0P1enP0comme indiqué sur la figure VII.1.3. Montrer ce résultat en exercice.

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Concepts

Exemples

Exercices

surface- démonstrationDe mêmeP2est approché par : M 2AE0 B

BBBB@a(ui,vj)Åh2@a@v¡ui,vj¢

b(ui,vj)Åh2@b@v¡ui,vj¢ c(ui,vj)Åh2@c@v¡ui,vj¢1 C

CCCCA.

On note

Tu(u,v)AE0

B

BBBB@@a@u(u,v)

@b@u(u,v) @c@u(u,v)1 C

CCCCA,¡!Tv(u,v)AE0

B

BBBB@@a@v(u,v)

@b@v(u,v) @c@v(u,v)1 C CCCCA L"aire de"i,jest approchée par l"aire du parallélogramme dont 3 des sommets sontP0,M1et M 2: Depuis le début de ce paragraphe on parle d"approximation sans vraiment expliciter le sens

donné à ce terme, pour être plus précis et sans donner la démonstration, on peut énoncer le

résultat suivant : l"aire deSest égale à : aire deSAElim h1!0 h 2!0X i,jh

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Concepts

Exemples

Exercices

surface- démonstrationEn utilisant la définition de l"intégrale double : lim h1!0 h 2!0X i,jh

1h2°°°¡!Tu(ui,vj)^¡!Tv(ui,vj)°°°AEZ Z

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Concepts

Exemples

Exercices

Exercices:

Exercice A.1.3

Exercice A.1.4

Exercice A.1.5

Soit la surfaceSd"équation cartésienne explicite (zAE'(x,y),(x,y)2D).

Une paramétrisation deSest8

:xAEx yAEy zAE'¡x,y¢, donc

¡!TxAE0

B @1 0 @'@x(x,y)1 C

A,¡!TyAE0

B @0 1 @'@y(x,y)1 C

A,¡!Tx^¡!TyAE0

B @'@x(x,y) @'@y(x,y) 11 C A.

On obtient alors¾(x,y)AEr1ų@'@x´

2(x,y)ų@'@y´

2(x,y).

On peut énoncer le théorème suivant :

Théorème 7.1.2.S est une surface dont l"équation cartésienne explicite est (zAE'¡x,y¢,(x,y)2D). On suppose que'est différentiable.

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Concepts

Exemples

Exercices

surface définie par son équation expliciteOn pose : pAE@'@x,qAE@'@y,¾AEq1Åp2Åq2, alors : aire(S)AEZ Z D

¾(x,y)dxdy.

Le domaine d"intégrationDest la projection deSsur le planxOy. On pourrait énoncer des théorèmes similaires au théorème VII.1.2, quand on exprimexen fonction deyetzouyen fonction dexetz. Faites le en exercice.

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Concepts

Exemples

Exercices

Exercice A.1.6

Exercice A.1.7

Exercice A.1.8

Exercice A.1.9

Etudions une variante pour calculer l"expression

2 2 (x,y). zAE'(x,y)()z¡'(x,y)AE0()f(x,y,z)AE0,

NAE¡¡¡!gradfAE0

B @'@x(x,y) @'@y(x,y) 11 C A est un vecteur normal à la surface au pointMAE(x,y,'(x,y)). On remarque que°°~N°°AE¾(x,y). On obtient un vecteur normal unitaire : nAE~N°

°~N°°AE1¾(x,y)0

B @'@x(x,y) @'@y(x,y) 11 C A

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Concepts

Exemples

Exercices

surface définie par son équation explicite- variante h~ i~ j~ k~n

FIGURE7.1.4: vecteur normal unitaire

Le vecteur normal unitaire

~nfaitunangle aigu avec l"axeOz, en effet satroisième composante est positive. Donc si on connaît les composantes de ~n, vecteur normal unitaire qui fait un angle aigu où évidemment°dépend des coordonnées du pointM(x,y,'(x,y)) Théorème 7.1.3.S est une surface dont l"équation cartésienne explicite est (zAE'¡x,y¢,(x,y)2D).

On suppose que

~n est le vecteur normal unitaire à S qui fait un angle aigu avecOz, on notecos°la

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Concepts

Exemples

Exercices

DocumentsÎprécédentsection NÎÎ16Aire d"une surface définie par son équation explicite- variantetroisième composante de ~n, alors : aire(S)AEZ Z

D1cos°dxdy,

où évidemment°dépend des coordonnées du point M(x,y,'(x,y)).

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Concepts

Exemples

Exercices

17

7.2 Intégrale de surface

7.2.1 Intégrale de surface-définition

1 8

7.2.2 Intégrale de surface-application

2 0

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Concepts

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Exercices

Définition 7.2.1.Etant données une fonction f: IR3!IRet une surface S d"équations paramé-

triques xAEa(u,v),yAEb(u,v),zAEc(u,v), (u,v)2¢,où a,b,c sont des fonctions différentiables. On

note B

BBBB@@a@u(u,v)

@b@u(u,v) @c@u(u,v)1 C

CCCCA^0

B

BBBB@@a@v(u,v)

@b@v(u,v) @c@v(u,v)1 C

CCCCA°

On définit l"intégrale de surface de f sur S par : Z Z S f d¾AEZ Z f(a(u,v),b(u,v),c(u,v))¾(u,v)dudv.

S. On en déduit l"expression de l"intégrale de surface dans le cas où la surface est définie par une

équation cartésienne explicite.

Théorème 7.2.1.Etant données une fonction f: IR3!IRet une surface S dont l"équation carté-

sienne explicite est zAE'¡x,y¢,((x,y)2D), où'est différentiable.

On pose :

pAE@'@x,qAE@'@y,¾AEq1Åp2Åq2

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Exercices

surface- définitionalors : Z Z S f d¾AEZ Z D f(x,y,'(x,y))¾(x,y)dxdy.

Propriétés

Les propriétés suivantes découlent de la définition et des propriétés des intégrales doubles.

S iSAES1ÅS2alorsRR

S

1f d¾ÅRR

S

2f d¾AERR

Sf d¾

-RR

S(f1Åf2)d¾AERR

Sf1d¾ÅRR

Sf2d¾etRR

S®f d¾AE®RR

Sf d¾où®est un nombre réel.

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Exercices

Exercice A.1.10

Exercice A.1.11

Exercice A.1.12

On est amené à calculer une intégrale de surface dans les cas suivants :

S ifAE1,RR

Sf d¾est égale à l"aire deS.

S ifreprésente la masse surfacique (masse par unité de surface),RR

Sf d¾est la masse de la

surface deS. Ceci est utilisé en particulier pour calculer la masse des plaques qui sont des volumes assimilés à des surfaces. S i¹est la masse surfacique, on obtient les coordonnées du centre de gravité deSpar mAEZ Z S

¹d¾,xGAE1m

Z Z S x¹d¾,yGAE1m Z Z S y¹d¾,zGAE1m Z Z S z¹d¾ S i¹est la masse surfacique, si¢est un axe, on obtient le moment d"inertie deSpar rapport

à¢en calculant :

MAEZ Z

S

¹d2(M,¢)d¾.

S ilasurfaceSestorientéeparlechoixd"unchampdenormalesunitaires~n(x,y,z),si~V(x,y,z) est un champ de vecteurs, si on définit f(x,y,z)AE~n(x,y,z)¢~V(x,y,z),

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Concepts

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Exercices

DocumentsÎprécédentsection NÎÎ21Intégrale de surface- applicationalors RR Sf d¾est le flux du champ de vecteurs~Và travers la surface orientéeS. Nous allons revoir plus en détail ce cas particulier dans le prochain paragraphe.

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Concepts

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Exercices

DocumentsÎsection précédentechapitre N

22

7.3 Flux d"un champ de vecteurs à travers une surface

7.3.1 Orientation d"une surface

2 3

7.3.2 Flux d"un champ de vecteurs à travers une surface orientée.

2 5

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Concepts

Exemples

Exercices

Exercice A.1.13

Pour calculer la masse d"une surface, son centre de gravité, son moment d"inertie etc..., il est

inutile d"orienter la surface. Par contre le calcul du flux d"un champ de vecteurs à travers une sur-

face est lié au choix d"une orientation, lorsque l"orientation est modifiée, le flux change de signe.

Il existe pour chaque surface 2 orientations possibles, si la surface est fermée, on parle d"orienta-

tion vers l"intérieur de la surface ou d"orientation vers l"extérieur de la surface, si la surface n"est

pas fermée cette terminologie n"a plus de sens. Le choix d"une orientation se fait par le choix d"un champ de vecteurs normaux unitaires . Par exemple siSest la sphère de centreOet de rayonR, si on choisit~nAE0 @x/R y/R z/R1 A , on oriente la sur-

face (fermée) vers l"extérieur puisque les vecteurs normaux sont dirigés vers l"extérieur deS.

SiSest la demi-sphère de centreO, rayonRsituée dans le demi-espacez¸0, si on choisit nAE0 @x/R y/R z/R1quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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