Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
3.1 – Intégrales de Riemann (rappels de TMB). 3.2 – Intégrales doubles. 3.3 – Intégrales triples. 3.4 – Aire volume
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intégrale double une densité de masse of do sera la masse totale de E. IS do est l'aire de la. Un exemple important est celui où f =1 auquel cas surface I.
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Théoreme 9.2.1 (Intégrale double et volume sous le graphe). Soit f une fonction de domaine de définition de f et bordée par une surface fermée continue.
INTEGRALES DE SURFACES
Nov 1 2004 est un vecteur normal `a la surface au point s(u
Sur les applications géométriques de la formule de Stokes
sphère ou sur les cylindres circulaires et les volumes attachés à ces portions de sur Cette intégrale double est transformable par la formule de Stokes.
Intégration (suite) 1 Champs de vecteurs et intégrales curvilignes
Exemple : sphère cône en coordonnées sphériques ou cylindriques. C'est donc par cette intégrale double qu'on définit l'aire de la surface paramétrée.
Chapitre 1 Intégrales doubles et probabilités
Nous allons calculer la surface d'une ellipse par une intégrale double de la fonction unité Il s'agit de l'équation de la demi-sphère sur son quadrant.
Théorème de Gauss
Comme l'intégrale porte sur une surface il s'agira généralement d'une intégrale double. Par exemple si on considère la surface S
Cours7 IntégraleTriple
Comme pour les intégrales doubles où ce Jacobien permet d'adapter la taille de l'élément de surface au moment d'un changement de coordonnées il permet ici
MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications
alors défini l'aire dans le chapitre sur l'intégrale double par : Calculer l'aire de la surface découpée sur la demi-sphère par le cylindre de.
[PDF] Intégrales de surface - Institut de Mathématiques de Toulouse
Intégrales de surface 2 1 Intégrale d'une fonction numérique sur une 2 2 Flux d'un champ vectoriel à travers une 3 The orème de la divergence
[PDF] Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
3 2 – Intégrales doubles Dans cette section: ‚ Subdivisions des domaines du plan ‚ Sommes de Riemann des fonctions de deux variables ‚ Intégrale double
[PDF] Intégrales de fonctions de plusieurs variables - Mathématiques
doubles) On peut intégrer une fonction de trois variables sur une sph`ere un cylindre un cône un ellipso?de etc (on parle d'intégrales triples)
[PDF] 5 Les intégrales multiples - La physique à Mérici
Intégrale double : une somme d'éléments infinitésimaux Ainsi l'intégrale de la masse surfacique sur toute la surface de la plaque nous donnera la
[PDF] Chapitre 3 Intégrale double
Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x y)dxdy dans l'exemple 3 14 pour la fonction f définie par f(x y) = x ? y Correction: On a I1 = ? ?D1f
[PDF] INTEGRALES MULTIPLES
Si f est une fonction définie sur S on appelle intégrale de surface Comme pour les intégrales doubles le changement de variables utilise la valeur
[PDF] INTEGRALES DE SURFACES
1 nov 2004 · Définition 1 Une surface paramétrée dans l'espace cela consiste `a 4 L'aire d'une surface paramétrée est donnée par l'intégrale double
[PDF] Intégrales Multiples - Laboratoire de Mathématiques dOrsay
pdf La référence principale utilisée pour ce cours sera le livre de David LAY Intégrale double d'une fonction définie sur un ensemble quarrable
[PDF] Intégrales doubles triples et curvilignes - Guillaume Laget
30 avr 2006 · Dans le calcul d'une intégrale double le plus délicat est souvent le choix d'intégrer 0 = 2?R2 et la surface de la sphère entière
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22 août 2021 · B Connaître l'expression de l'élément de surface dS en coordonnées polaires et savoir calculer une intégrale double en coordonnées
Théorème de Gauss
PRÉREQUIS
Chapitre sur les symétries
Intégrales doubles
Projections de vecteurs
Produit scalaire euclidien
1Description ca valièreCalculer la valeur du champ électrostatique pour une distribution de charges un peu com-
plexe en utilisant la seuleloi de Coulombpeut vite s"avérercompliqué. Nous voyons dansce chapitre un théorème qui permet lasimplificationdes calculs dans les cas où le système
qui crée le champ possède dessymétrieset desinvariancesparticulières. Lethéorème de Gaussdit alors la chose suivante :"Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge
contenue à l"intérieur de cette surface" 2Flux électr ostatique
Le flux électrostatique est une construction mathématique, il est difficile de donner une explication à la fois correcte et simple de ce que c"est. De loin, c"est la multiplication d"un champ par une surface imaginaire. Pour l"instant, utilisons le simplement comme unoutil mathématique. 2.1Surface orientée
Un surface, c"est un ensemble de point de l"espace contraints surdeux dimensions.Exemple :
Un plan
Un mouchoir
Une sphère (mais pas une boule)1
Un cylindre creux
Un disque.
Pour définir une surface mathématiquement, on peut expliciter tous les points qui y appar- tiennent, ou bien on peut donner l"ensemble desvecteurs normauxà cette surface. Dans le cas où la surface est plane, un seul vecteur suffit. Le vecteur unitaire est normal au plan localement tangent à la surface.~u 1~u 2~u3Les vecteurs~u1,~u2et~u3sont localement normaux à la surface.1. Une sphère est creuse, alors qu"une boule est pleine
Pour définir une même surface, il y a deux orientations possibles du vecteur normal~un, parconvention, on prend celui qui va vers l"extérieur de la surface(si un extérieur et un intérieur
peut être définit). Si on prend un élément de surface (surface élémentairedS) suffisamment petit, alors la surface sera localement plane2.Définition 2.1- vecteur surface élémentaire . Pour une petite surface de tailledS, de vecteur unitaire normal~un: dSdef=dS~un 2.2Flux Définition 2.2- Flux électr ostatique.
On appelle flux du champ électrique à travers la surfaceSla grandeurtelle que : def=Z S ~E# dSOù le symbole "" représente le produit scalaire. Comme l"intégrale porte sur une surface, il s"agira généralement d"une intégrale double. Par exemple si on considère la surfaceS, de tailleS, plane, faisant un angleavec l"horizon- tale, traversée par un champ électrostatique uniforme (constant dans l"espace) :~u n~ EXZ ~u n~ ELe flux qui traverse cette surface est :
def=Z S ~E~dS =Z S E~u zdS~un =EZ S (~uz~un)dS =Ecos()Z S dS =Ecos()SDéfinition 2.3- Surface f ermée. Une surfaceferméeest une surface quienglobeun volumea. On peut alors définir unintérieur et un extérieur à cette surface.a. Penser à une surface qui ne laisserait pas échapper un fluide : un ballon de baudruche par exemple
Exemples :2. On fait de la physique, les surfaces fractales ou pas dérivables, on oublie, donc on peut toujours le faire
Une sphère
Un cylindre avec ses couvercles supérieur et inférieurUn cube, etc.RQuand on calcule un flux à travers une surface fermée, on signale que l"intégrale s"effectue
sur une surface fermée par un petit cercle sur le signe intégral. ZSfermée!I
S Ce n"est qu"une notation, et ne change rien mathématiquement au calcul de l"intégrale. 3Théorème de Gauss
On ne démontrera pas ce théorème3, mais sachons toutefois qu"ildérive directementde laloi de Coulomb. C"est à dire qu"il n"y a pas de nouvelle loi cachée derrière ce théorème, c"est
un corollaire des lois de Coulomb, voilà tout. 3.1 Forme globale Théorème 3.1- Théorème de Gauss.Le flux du champ électrostatique créé par une distribution de charge, à travers une surface
fermée quelconqueS, est proportionnel à la charge totale intérieureQintà cette surface.E=Qint
0Cela signifie donc que :
I S ~E# dS=Qint 0Vérifions que le théorème s"applique bien pour un cas très simple : une charge ponctuelle.
On considère une charge ponctuelle de chargeqsituée enO. On sait que le champ créé par cette charge vaut~E=140qr 2~ur. On considère une surface imaginaire en forme de sphère de rayonrscentrée sur la charge.Le champ électrique (en rouge) créé par une charge ponctuelle est toujours aligné avec les vecteurs normaux à
chaque petite surface# dSsur la sphère imaginaire (on a représenté ici qu"une partie de la sphère)
Calculons le flux du champ à travers cette sphère. On appellePun point quelconque de lasphère imaginaire :3. La démonstration est relativement simple, mais nécessite de connaître le concept d"angle solide
def=I S ~E(P2 S)# dS(P)Au pointP,# dS=dS~uret~E(P) =140qr
2s~ur def=I S ~E# dS =IS140qr
2s~u rdS~ur =q40r2sI S ~u r~urdS =q40r2sI S dS =q40r2s4r2s =q 0Le théorème de Gauss est bien vérifié!RLe théorème de Gauss est vrai pour n"importe quelle surface fermée. Dans la pratique on
ne l"utilise que pour trois surfaces classiques : la sphère, le cylindre et parfois (rarement)sur un parallélépipède rectangle.Point important 3.1 - Utilisation du théorème de Gauss.
Lorsque l"on souhaite calculer un champ électrique en utilisant le théorème de Gauss, on procède de la façon suivante : 1. On choisit unsystème de coordonnéesadapté (généralement cylindriques, ou sphé- riques) 2. On identifie lesinvariancesde la distribution de charge : onsupprimedes dépen- dances. Par exemple si le système est invariant par translation selonzet par rotation selon:E(r;;z)!E(r;AA;Az)
3. On identifie lesplans de symétriede la distribution qui passent par le point où l"on souhaite calculer le champ. Le champ en ce point estinclusdans ce ou ces plans de symétrie, on réduit ainsi les possibilités pour l"orientation de~E. Exemple,a priori, E=0 @E r E E z1 A a trois composantes non nulles. Si(O;~uz;~ur)est plan de symétrie, alorsE= 0. Généralement, il y a plusieurs plan de symétries. Exemple : si(O;~uz;~ur)et(O;~ur;~u) sont plans de symétrie alorsE= 0etEz= 0, donc E=0 @E rXXXXE= 0
XXXXEz= 01
A4.On choisit unesurface arbitraireimaginaire fermée (généralement une surface qui a
lamême formeque la distribution de charge mais pas de la même taille). 5.On détermine le flu xde
~Eà travers surface imaginaire. 6. On détermine la charge contenueà l"intérieur de la surface imaginaire. 7. Enfin, et enfin seulement, on applique lethéorème de Gaussdans le but de déduirel"expression complète de~E.Exercice 3.1- Champ créé par une sphère creuse unif ormémentc hargéeen sur -
face.On considère une coquille sphérique, d"épaisseurenégligeable, chargée uniformément en
surface ().a a+eDéterminer le champ en n"importe quel point de l"espace. On va appliquer la méthode vue dans le point essentiel. 1. On se place en coordonnées sphérique puisque la distribution qui génère le champ est sphérique. ~E=~E(r;;) 2. La distribution qui crée le champ est invariante par rotation sur l"angleet sur l"angle. ~E(r;AA;AA) =~E(r) 3. Tous les plans qui passent parOet parM, point où l"on va calculer le champ, sont plans de symétrie de la sphère, en particulier(O;~ur;~u)et(O;~ur;~u). DoncE(r) =E(r)~ur
Comme le champ ne dépend que deret qu"il est dirigé selon un rayon, on dit que le champ estradial. 4. On choisit une surface imaginaire sphérique de rayonrpuisque la distribution de charge qui crée le champ est une sphère. (Attention,rpeuta prioriêtre plus ou moins grand quea) 5.On détermin ele flux :
~E)def=I ~Ed~S avecd~S=dS ~uret~E=E(r)~ur ~E) =ZE(r)~ur(dS ~ur)
Comme~ur~ur= 1et puisqueE(r)est constant sur une surface de rayonrconstant, (~E) =E(r)Z dS ~E) =E(r)4r2 6. La char geconten uedans une sphèr ede rayon rvaut :0sir < a
4a2sir > a
7.On applique le théorème :
sir < a: ~E) = 0théorème de Gauss4r2E(r) = 0
E(r < a) = 0
sir > a ~E) =4a20théorème de Gauss
4r2E(r) =4a2
0E(r > a) =
0a 2r 2 On en conclue donc que le champ est nul à l"intérieur de la sphère, et à l"extérieur, E= 0a 2r 2~urquotesdbs_dbs25.pdfusesText_31[PDF] aire de camping car avec sanitaire
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