[PDF] Intégration (suite) 1 Champs de vecteurs et intégrales curvilignes

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L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1

Intégration (suite)

Ce qui suit comporte trois parties : la première correspond à peu près à ce qui a été traité

lors du dernier cours, certains exemples du cours et d"autres calculs sont présentés dans la deuxième, la troisième aborde la question des champs de vecteurs dans l"espace et les

théorèmes de Stokes et de Gauss-Ostrogradsky, dont il n"a pas été question en cours faute

de temps (aucune question ne portera sur ce paragraphe 3 à l"examen).

1 Champs de vecteurs et intégrales curvilignes

1.1 Définition

Définition

1.1. SoitURnun ouvert.

Unchamp de vecteurssurUest une applicationFdeUdansRnde classeC1. L"ap- plicationFassocie un vecteur à chaque point.

Exemples

(1)F(x; y) = (y ; x) (2)F(x; y) = (1;0) (3)F(x; y ; z) = (x; y ; z) (4)F(X) =XkXksiX6= 0 (5)

Si fest une fonction deRndansR, soitF(x) =t5f(x).

Ce champ de vecteurs est appelé champ gradient.

1.2 Intégrale curviligne

Définition

1.2. Soientr: [a; b]!Rnune courbe paramétrée de classeC1etFun

champ de vecteurs défini sur l"image der(qui est une courbeC).

Alors on pose :Z

C

F dr=Z

b a

F(r(t))r0(t)dt

Cette quantité s"appelleintégrale curvilignedeFsurC.

Exemples

r(t) = (t; tn);06t61

F(x; y) = (y ; x)

Interprétation : notion de travail d"une force

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Proposition

1.3. Les principales propriétés sont :Z

C (aF1+bF2)dr=aZ C F

1dr+bZ

C F 2dr SiCest paramétré dans un sens parr, dans l"autre pars, on a :Z C F dr= Z C F ds.

SiC=C1+C2alors :Z

C

F dr=Z

C

1F dr+Z

C

2F dr.

1.3 Champs gradient et indépendance de chemin

Définition

1.4. Fchamp de vecteurs est unchamp gradients"il existefdeUdansR

telle queF=5f.

Exemple

F(x; y) = (y ; x)

Théorème

1.5. SiFest un champ de gradient alorsZ

C

F drne dépend que des extrémités

deC.

Théorème

1.6. On a équivalence entre :

-Fest un champ de gradient. -Z C F drne dépend que des extrémités deCet ceci pour tout chemin deC.

Proposition

1.7. SiF= (F1; F2; ::: ; Fn)est un champ de gradient alors :

8i;8j ;@Fi@x

j=@Fj@x i

Théorème

1.8. SoitFun champ de vecteurs surU.

SiUest un ouvert étoilé alorsFest un champ de gradient si et seulement si@Fi@x j=@Fj@x ipour toutiet toutj.

1.4 Théorème de Green-Riemann

SoitSR2un domaine compact délimité par une courbe fermée, simple etC1par morceaux. On orienteC=@Sen disant que le sens direct est celui qui laisseSà gauche. 2

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Théorème

1.9. (de Green-Riemann)

SoientSun domaine compact,C=@Sson bord orienté positivement.

SiF(x; y) = (f1(x; y); f2(x; y))alorsZ

C

F dr=ZZ

S @f2@x @f1@y dxdy. Démonstration: Dans le cas d"un rectangle[a;b][c;d]. Il suffit de calculer successivement

les deux termes de l"égalité apparaissant dans l"énoncé du théorème et de constater qu"on

obtient le même chose. Z C

F dr=Z

b a h(f1(x;c);f2(x;c));(1;0)idx+Z d c h(f1(b;y);f2(b;y));(0;1)idy Z ba 0 h(f1(bt;d);f2(bt;d));(1;0)idt Z dc 0 h(f1(a;ds);f2(a;ds));(0;1)ids Z b a f

1(x;c)dx+Z

d c f

2(b;y)dy

Z b a f

1(u;d)du

Z d c f

2(a;v)dv

Z b a (f1(x;c)f1(x;d))dx+Z d c (f2(b;y)f2(a;y))dy: Attention aux signes dans le calcul précédent (on a poséu=btetv=dsaprès le deuxième signe=). ZZ S @f2@x @f1@y dxdy=Z d c Zb a@f 2@x (x;y)dx dyZ b a Zd c@f 1@y (x;y)dy dx Z d c (f2(b;y)f2(a;y))dyZ b a (f1(x;d)f1(x;c))dx:Notation

Voici une autre façon, équivalente, d"énoncer la conclusion du théorème de Green-Riemann :

SiF= (P ; Q):Z

C

P dx+Qdy=ZZ

S @Q@x @P@y dxdy.

En plus, au lieu de

Z C on écrit parfoisI C pour rappeler que le cheminCest une boucle.

Corollaire

1.10. AireS=Z

C xdy=12 Z y dx+xdy.

Application de Green-Riemann

SiG(u; v) = (x(u; v); y(u; v))est un changement de variables d"un domaineRà un 3

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domaineG(R)alors : ZZ

G(R)dxdy=ZZ

R jdetJ(G)jdudv

1.5 Intégrales de surface

1.5.1 Surfaces dansR3

On peut décrire une surface deR3de trois manières : a)

S urfacede niv eau

S=f(x; y ; z)2R3= f(x; y ; z) = 0goùfest une fonction deR2dansR.

Exemple :f(x; y ; z) =x2+y2+z2R2= 0.

b)

Graphe d"une fonction z=f(x; y)

Exemple :z=x2+y2.

c)quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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