DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
le déterminant comme un volume signé. On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme. 1. Dans le plan. 1.1. Volume des parallélogrammes.
Géométrie de lespace
Soient AB
Déterminants
Autrement dit la nullité du déterminant de deux vecteurs traduit leur colinéarité Dans l'espace muni du produit scalaire usuel
Cours5 Determinant
Dans tout ce paragraphe les vecteurs sont les vecteurs de l'espace usuel. mixte de trois vecteurs change de signe lorsqu'on échange deux vecteurs.
Géométrie dans lespace
13-Nov-2012 L'outil qui remplace en quelque sorte le déterminant est le produit vectoriel. Définition 9. Soient ??u et ??v deux vecteurs non colinéaires ...
Droites et plans dans lespace
déterminant vaudrait 0! En dimension 3 avec deux vecteurs à 3 composantes : u =. u1 u2.
VECTEURS ET REPÉRAGE
Le critère de colinéarité n'est pas vérifié donc les vecteurs H? et ? ne sont donc pas colinéaires. 2. Déterminant de deux vecteurs. Définition : Soit
DÉTERMINANTS
En d'autres termes la colinéarité de deux vecteurs est caractérisée dans le Seul le déterminant d'une famille de n vecteurs dans un espace vectoriel de ...
TS Les coordonnées dans lespace
Dans le plan muni d'un repère orthogonal la valeur absolue du déterminant de deux vecteurs est égale à l'aire du parallélogramme construit sur ces deux
[PDF] DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme 1 Dans le plan 1 1 Volume des parallélogrammes Considérons deux vecteurs u = (x1y1)Â
[PDF] Déterminants
On appelle déterminant de A noté det(A) le déterminant dans la base canonique de Kn des deux ou trois vecteurs colonnes de la matrice A Puis on définit leÂ
[PDF] Produit vectoriel et déterminant dans lespace
Déterminant de deux vecteurs du plan en base orthonormée - Rappels Déterminant de trois vecteurs de l'espace en base orthonormée Etant donné une base
[PDF] Déterminant
Nous commencerons le chapitre en introduisant le déterminant d'un système de deux vecteurs dans R2 Christophe Ambroise Déterminant 3 / 39Â
[PDF] Chapitre 1 Géométrie vectorielle euclidienne du plan et de lespace
On rappelle que le déterminant d'une matrice est le déterminant de la famille des vecteurs colonnes de cette matrice Proposition 2 2 2 (Déterminant d'uneÂ
[PDF] Géométrie de lespace
En effet le déterminant est nul ssi w est orthogonal à u?v qui est un vecteur orthogonal au plan Vect(u v) Ainsi le déterminant de ces trois vecteurs est nulÂ
[PDF] Déterminants de deux vecteurs Vecteurs colinéaires - Parfenoff org
Vecteurs colinéaires I) Déterminants de deux vecteurs Soit (O ? ?) un repère du plan Les vecteurs ??? et ??? ont pour coordonnées
[PDF] R - produit scalaire déterminant produit vectoriel droites et plans
28 août 2017 · espace vectoriel réel (Ses éléments sont alors appelés des vecteurs ) Définition 8 4 Si A “ pa1a2q et B “ pb1b2q sont deux éléments de R
[PDF] VECTEURS ET REPÉRAGE - maths et tiques
http://www maths-et-tiques fr/telech/Lecture_coord pdf Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant
[PDF] Sommaire 1 Déterminant de n vecteurs dans une base B
Dans tout le chapitre E est un espace vectoriel sur K (R ou C) et B = (e1e2 en) est une base 1 Déterminant de n vecteurs dans une base B 1 1 Forme n-Â
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET REPÉRAGE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gakPartie 1 : Repère du plan
Trois points du plan non alignés O, I et J forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes (OI) et (OJ).Si on pose í µâƒ— = í µí µ
et í µâƒ— = í µí µ , alors ce repère se note également (O, í µâƒ— ,Définitions :
- On appelle repère du plan tout triplet (O, í µâƒ—, í µâƒ—) où O est un point et í µâƒ— et í µâƒ— sont deux vecteurs non
colinéaires.- Un repère est dit orthogonal si í µâƒ— et í µâƒ— ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si í µâƒ— et í µâƒ— sont de norme 1.
TP info : Lectures de coordonnées :
Partie 2 : Coordonnées d'un vecteur
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
Pour aller de A vers B, on parcourt un chemin :
3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.
Ainsi í µí µ
=3í µâƒ—+2í µâƒ—.Les coordonnées de í µí µ
se notent . 3 2 / ou (3;2). On préfèrera la première notation.í µâƒ— O í µâƒ— Repère orthogonal í µâƒ— O í µâƒ— Repère orthonormé í µâƒ— O í µâƒ— Repère quelconque í µâƒ— í µâƒ— I J O
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphiqueVidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
a) Dans le repère (O, í µâƒ—, í µâƒ—), placer les points í µ. -1 -2 -2 3 1 -4 4 -2 b) Déterminer les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ par lecture graphique.Correction
On a :
=-í µâƒ—+5í µâƒ— donc í µí µ a pour coordonnées . -1 5 =3í µâƒ—+2í µâƒ— donc í µí µ a pour coordonnées . 3 2Propriété :
Soit deux points í µ.
/ et í µ.Le vecteur í µí µ
a pour coordonnées . Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par calculVidéo https://youtu.be/wnNzmod2tMM
Calculer les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ , tels que : 2 1 5 3 -1 -2 -2 3 1 -4 / et í µ. 4 -2Correction
5-2 3-1 3 2 -2- -1 3- -2 A = . -1 5 4-1 -2- -4 A = . 3 23 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPropriétés :
Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ—.
/ et í µâƒ—í±¦A, et un réel í µ.
On a :
A í µí µí°¼âƒ— í±¦
A -í µí°¼âƒ—.
í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont égaux lorsque í µ=í µâ€² et í µ=í µâ€². Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteursVidéo https://youtu.be/rC3xJNCuzkw
En prenant les données de la méthode précédente, calculer les coordonnées des vecteurs 3í µí µ
4í µí µ
et 3í µí µ -4í µí µCorrection
On a : í µí µ
3 2 / et í µí µ -1 53í µí µ
3×3
3×2
9 6 /, 4í µí µ 4× -14×5
-4 203í µí µ
-4í µí µ 9- -4 6-20 13 -14 Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielleVidéo https://youtu.be/eQsMZTcniuY
Soit les points í µ.
1 2 -4 3 1 -2Déterminer les coordonnées du point í µ tel que í µí µí µí µ soit un parallélogramme.
Correction
í µí µí µí µ est un parallélogramme si et seulement si í µí µOn pose .
/ les coordonnées du point í µ.On a alors : í µí µ
-4-1 3-2 -5 1 / et í µí µ1-í µ
-2-í µ ADonc : 1-í µ
=-5 et -2-í µ =1 =-5-1 et -í µ =1+2 =6 et í µ =-3.Les coordonnées du point í µ sont donc .
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Colinéarité de deux vecteurs
1. Critère de colinéarité
Propriété : Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ— . / et í µâƒ— í±¦ A.Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que : í µí µ'-í µí µ'=0.
Remarque : Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux
vecteurs sont proportionnelles soit : í µí µ'=í µí µ'.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/VKMrzaiPtw4
• Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. • Supposons maintenant que les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— soient non nuls.Dire que les vecteurs í µí°¼âƒ—.
/ et í µâƒ—í±¦ A sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel í µ tel que í µí°¼âƒ— =í µí µâƒ—.Les coordonnées des vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un
tableau de proportionnalité : Donc : í µí µ'=í µí µ' soit encore í µí µ'-í µí µ'=0. Réciproquement, si í µí µ'-í µí µ'=0. Le vecteur í µâƒ— étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que í µ'≠0. Posons alors í µ= . L'égalité í µí µ'-í µí µ'=0 s'écrit : í µí µ'=í µí µ'.Soit : í µ =
Comme on a déjÃ í µ = í µí µâ€², on en déduit que í µí°¼âƒ— =í µí µâƒ—.
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéairesVidéo https://youtu.be/eX-_639Pfw8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires. a) í µí°¼âƒ—. 4 -7 / et í µâƒ—. -12 21/ b) í µí°¼âƒ—. 5 -2 / et í µâƒ—. 15 -7
Correction
a) í µí µ'-í µí µ'=4×21- -7 -12 =84-84=0.Le critère de colinéarité est vérifié donc les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc colinéaires.
On peut également observer directement que í µâƒ—=-3í µí°¼âƒ—.5 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b) í µí µ'-í µí µ'=5× -7 -2 15 =-35+30=-5≠0.Le critère de colinéarité n'est pas vérifié donc les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— ne sont donc pas colinéaires.
2. Déterminant de deux vecteurs
Définition : Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ— . / et í µâƒ— í±¦ A.Le nombre í µí µ'-í µí µ' est appelé déterminant des vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ—.
On note : í µí µí µ
Propriété : Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que í µí µí µ
=0. Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminantVidéo https://youtu.be/MeHOuwy81-8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires. a) í µí°¼âƒ—. -6 10 / et í µâƒ—. 9 -15 / b) í µí°¼âƒ—. 4 9 / et í µâƒ—. 11 23Correction
a) í µí µí µ =R -69 10-15 R= -6 -15 -10×9=90-90=0 Les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc colinéaires. b) í µí µí µ =R 411923
R=4×23-9×11=92-99=-7≠0
Les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— ne sont donc pas colinéaires.3. Applications
Propriétés :
1) Dire que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles revient à dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires.2) Dire que les points í µ, í µ et í µ sont alignés revient à dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires.Méthode : Appliquer la colinéarité
Vidéo https://youtu.be/hp8v6YAQQRI
Vidéo https://youtu.be/dZ81uKVDGpE
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frOn considère les points í µ.
-1 1 3 2 -2 -3 6 -1 / et í µ. 5 0 a) Démontrer que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles. b) Démontrer que les points í µ, í µ et í µ sont alignés.Correction
a) í µí µ 3- -1 2-1 4 1 / et í µí µ 6- -2 -1- -3 A = . 8 2 í µí µí µSí µí µ T=R 4812
R=4×2-8×1=8-8=0
Les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires. Donc les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles.Remarque :
On aurait pu également remarquer que les coordonnées de í µí µ et í µí µ sont proportionnelles pour en déduire que les vecteurs í µí µ et í µí µ sont colinéaires. b) í µí µ 3-5 2-0 -2 2 / et í µí µ 6-5 -1-0 1 -1 í µí µí µSí µí µ T=R -21 2-1R=-2×
-1 -2×1=0Les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires. Donc les points í µ, í µ et í µ sont alignés.Partie 4 : Coordonnées du milieu d'un segment
Propriété : Soit deux points í µ.
/ et í µ. Le milieu í µdu segment [í µí µ] a pour coordonnées : X YDémonstration :
Considérons le parallélogramme construit à partir de í µ, í µ et í µ.Soit í µ son centre.
Alors í µí µ
(ou í µ) a donc les mêmes coordonnées que celles du vecteur ) soit : Z [=X Y.B O M A
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Calculer les coordonnées d'un milieuVidéo https://youtu.be/YTQCtSvxAmM
On considère les points í µ.
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