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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

DÉTERMINANTS

Dans tout ce chapitre,?est l"un des corps?ou?etnest un entier naturel non nul. Les résultats présentés, saufun ou

deux, demeurent vrais dans un contexte plus général, mais nous ne nous en préoccuperons pas ici.

1 AIRES ET VOLUMES ORIENTÉS RELATIVEMENT À UNE BASE

Il est difficile de définir proprement les notions d"" aire » dans le plan et de " volume » dans l"espace. Nous n"y arriverons

pas pour des surfaces ou des volumes quelconques, mais ce quenous allons faire n"est pas rien. Point de départ de nos

investigations : la donnée d"une " unité d"aire orientée » dans le plan et d"une " unité de volume orienté » dans l"espace.

?e1e 2 ?e1e 2 e 3 — Une unité d"aire orientée dans le plan, ce sera pour nous un parallélogramme orienté, i.e. une base?= (e1,e2)du plan décrétée directe. — Une unité de volume orienté dans l"espace, ce sera pour nousun parallélépi- pède orienté, i.e. une base?= (e1,e2,e3)de l"espace décrétée directe.

À partir de cette brique élémentaire, nous pouvons donner une aire (resp. un volume) à n"importe quel parallélogramme

(resp. parallélépipède) du plan (resp. de l"espace). Nous noterons det?(x1,x2)l"aire orientée du parallélogramme engendré

par une famille(x1,x2)de vecteurs dans le plan et det?(x1,x2,x3)le volume orienté du parallélépipède engendré par une

famille(x1,x2,x3)de vecteurs de l"espace. L"indice "?» indique que ces aires/volumes orientés sont calculés relativement

à l"unité d"aire/volume orienté que?représente en tant que brique élémentaire. En particulier :

det?(?) =1.

Quant à l"orientation d"une aire dans le plan, que signifie-t-elle? Simplement qu"on comptera positivement l"aire d"un

parallélogramme engendréparunebasedirecteetnégativement l"aired"unparallélogramme engendréparunebaseindirecte.

Même principe pour les volumes orientés. Par exemple, dans le plan : det?(e2,e1) =-det?(?) =-1 car la base(e2,e1)

est indirecte. ?3e1 22e2
det?!

2e2,3e12!

=2×32det?(e2,e1) =-3det?(?) =-3 ?uv w ?2u2v 2w det?(2u,2v,2w) =23det?(u,v,w) uv ?u?v det?(u+u?,v) =det?(u,v)+det?(u?,v)

Ces figures nous permettent de comprendre quelques propriétés des aires et des volumes orientés. Plus précisément :

—Caractérisation des bases :

(u,v)est une base du plan??det?(u,v)?=0. (u,v,w)est une base de l"espace??det?(u,v,w)?=0.

En d"autres termes, la colinéarité de deux vecteurs est caractérisée dans le plan par le caractère aplati du parallélo-

gramme qu"ils engendrent. Même principe dans l"espace.

En particulier, dans le plan : det

?(u,u) =0 et dans l"espace, dès que deux des trois vecteursu,vetwsont égaux : det ?(u,v,w) =0 — c"est ce qu"on appelle le caractèrealternéde l"application det?.

—Antisymétrie :

Le signe de det?(u,v)et det?(u,v,w)est changé chaque fois qu"on permute deux vecteurs.

—Multilinéarité :L"application det?est linéaire par rapport à chacune de ses variables.

—Caractérisation de l"orientation :(u,v)est une base directe du plan??det?(u,v)>0. (u,v,w)est une base directe de l"espace??det?(u,v,w)>0. 1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

2 FORMES MULTILINÉAIRES ALTERNÉES

Nous allons dans ce paragraphe tâcher de prendre de la hauteur par rapport au précédent en abandonnant le strict

point de vue d"une géométrie du plan et de l"espace. Par quoi les notions d"aire et volume orientés pourraient-elles bienêtre

remplacées en dimension finie quelconque?

Définition(Application multilinéaire)SoientE1,...,EnetFdes?-espaces vectoriels etf:E1×...×En-→Fune

application. On dit quefestn-linéairesi : pour toutk??1,n?et pour tout(x1,...,xk-1,xk+1,...,xn)?E1×...×Ek-1×Ek+1×...×Enfixé, l"applicationx?-→f(x1,...,xk-1,x,xk+1,...,xn)est linéaire deEkdansF. On dit quefestbilinéairesin=2,trilinéairesin=3, et siF=?, quefest uneforme n-linéaire.

En résumé, pour toutk??1,n?,fest linéaire par rapport à sakèmevariable quand on fixe lesn-1 variables restantes.

Bien sûr, une application 1-linéaire n"est rien d"autre qu"une application linéaire.

Exemple

•Dans l"espace, le produit scalaire et le produit vectoriel sont bilinéaires.

•Pour tout?-espace vectorielE, la multiplication par un scalaire(λ,x)?-→λxest bilinéaire de?×EdansE.

•Le produit matriciel(A,B)?-→ABest bilinéaire de?p,q(?)×?q,r(?)dans?p,r(?). •Le produit fonctionnel(f,g)?-→f gest bilinéaire de??×??dans??.

•Pour tous?-espaces vectorielsE,E?etE??, la composition(f,g)?-→g◦fest bilinéaire de?(E,E?)×?(E?,E??)dans

?(E,E??).

Définition(Forme multilinéaire alternée)SoientEun?-espace vectoriel etfune formen-linéaire deEn. On dit

quefestalternéesifest nulle sur toute famille de vecteurs dont au moins deux sont égaux.

Théorème(Propriétésdesformes multilinéaires alternées)SoientEun?-espacevectoriel etfuneformen-linéaire

alternée deEn. (i)fest nulle sur toute famille liée.

(ii) On ne change pas la valeur defquand on ajoute à l"une de ses variables une combinaison linéaire des autres.

(iii)festantisymétrique— cela revient à dire que pour tousx1,...,xn?Eeti,j??1,n?pour lesquelsi f(...,xj,...,xi,...) =-f(...,xi,...,xj,...).

Démonstration

(i) Soit(x1,...,xn)une famille liée deE, avec disonsxk=? i?=kλ ixipour un certaink??1,n?et pour certains

1,...,λk-1,λk+1,...,λ??. Alors :

f(x1,...,xn) =f" ...,xk-1,? i?=kλ ixi,xk+1,..."

Linéarité=

k

èmevariable?

i?=kλ ix iapparaît deux fois? f(...,xk-1,xi,xk+1,...) =0.

(ii) Soientx1,...,xn?Eetλ1,...,λk-1,λk+1,...,λn??. Seule lakèmevariable est explicitée ci-après :

f" ...,xk+? i?=kλ ixi,..."

Linéarité=

k

èmevariablef(...,xk,...)+?

i?=kλ if(...,xi,...)? x iapparaît deux fois=f(...,xk,...).

(iii) Seules lesièmeetjèmevariables sont explicitées ci-après. Parn-linéarité et caractère alternée def:

f(...,xi+xj,...,xi+xj,...)? =0=f(...,xi,...,xi,...)???? =0, donc en effetf(...,xj,...,xi,...) =-f(...,xi,...,xj,...). 2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

À présent, afin de généraliser les notions d"aire orientée dans le plan et de volume orienté dans l"espace, nous allons

tâcher de déterminer toutes les formes n-linéaires alternées d"un?-espace vectorielEde dimension finien.

Soient doncEun?-espace vectoriel de dimensionn,fune formen-linéaire alternée deEn,?= (e1,...,en)une base

deEet(x1,...,xn)une famille denvecteurs deEde matriceAdans?. Parn-linéarité def: f(x1,...,xn) =f" n? k 1=1a k11ek1,...,n k n=1a knnekn" (k1,...,kn)??1,n?na k11...aknnfek1,...,ekn.

Dans cette somme,fek1,...,ekn=0 dès que deux des vecteursekisont égaux, donc nous pouvons n"y conserver que les

n-listes(k1,...,kn)d"élémentsDISTINCTS, i.e. lesn-arrangements de?1,n?. Or la donnée d"unn-arrangement(k1,...,kn)

de?1,n?est équivalente à la donnée d"une permutationσde?1,n?avecσ(i) =kipour touti??1,n?. Finalement :

f(x1,...,xn) =?

σ?Sn"

n? i=1a

σ(i)i"

feσ(1),...,eσ(n),

où l"on rappelle queSndésigne le groupe symétrique de?1,n?, i.e. l"ensemble des permutations de?1,n?. Pour aller plus loin,

nous allons devoir étudier davantage les quantitésfeσ(1),...,eσ(n)qui viennent d"apparaître. Donnons-en deux exemples

dans le casn=4. L"outil majeur des calculs qui suivent, c"est l"ANTISYMÉTRIEdef. — Siσest définie par les relations :σ(1) =3,σ(2) =4,σ(3) =1 etσ(4) =2, alors :

1↔e3=-f(e1,e4,e3,e2)e

2↔e4=

+f(e1,e2,e3,e4). — Siσest définie par les relations :σ(1) =2,σ(2) =4,σ(3) =1 etσ(4) =3, alors :

1↔e2=-f(e1,e4,e2,e3)e

2↔e4=f(e1,e2,e4,e3)e

3↔e4=

-f(e1,e2,e3,e4).

Deux questions s"imposent après ces exemples. D"abord, peut-on " défaire »TOUTEpermutation par des échanges succes-

sifs de deux valeurs? Nous savons que oui, carSnest engendré par ses transpositions. Que dire ensuite des signes "+» et

"-» que les calculs précédents mettent en évidence? Nous allons voir qu"ils sont liés au morphisme signature du chapitre

" Structure de groupe et d"anneau ». Petit rafraîchissementde mémoire...

Définition-théorème(Signature)

•Signature :Il existe un et un seul morphisme de groupes?deSndans-1,1, appeléesignature, qui donne à

toute transposition la valeur-1. En particulier, donc :?(σσ?) =?(σ)?(σ?)pour tousσ,σ??Sn. •Signature d"un cycle :Soitp??2,n?. La signature d"unp-cycle de?1,n?est(-1)p-1.

•Permutations paire/impaire :Pour toutσ?Sn, on dit queσestpairesi?(σ) =1 etimpairesi?(σ) =-1.

Théorème(Caractérisation des formes multilinéaires alternées parla signature)SoientEun?-espace vectoriel

etfune formen-linéaire deEn.

fest alternée si et seulement si pour tousx1,...,xn?Eetσ?Sn:fxσ(1),...,xσ(n)=?(σ)f(x1,...,xn).

Démonstration

•Faisons l"hypothèse que pour tousx1,...,xn?Eetσ?Sn:fxσ(1),...,xσ(n)=?(σ)f(x1,...,xn).

Soit alorsx1,...,xn?E. On suppose quexi=xjpour certainsi,j??1,n?pour lesquelsiτla transposition(i j). Dans ces conditions :

f(x1,...,xn) =f(...,xi-1,xj,xi+1,...,xj-1,xi,xj+1,...) =fxτ(1),...,xτ(n)=?(τ)f(x1,...,xn) =-f(x1,...,xn).

Conclusion :f(x1,...,xn) =0, et doncfest alternée.

•Réciproquement, supposonsfalternée. CommeSnest engendré par ses transpositions et comme la signa-

ture d"un produit deptranspositions vaut(-1)p, il nous suffit d"établir le résultat dans le seul cas oùσest

une transposition. Or nous l"avons déjà fait, c"est la propriété d"antisymétrie def.

Ce résultat nous permet de conclure le calcul savant que nousavons amorcé plus haut. SiEest un?-espace vectoriel de

dimensionn,fune formen-linéaire alternée deEn,?= (e1,...,en)une base deEet enfin(x1,...,xn)une famille den

vecteurs deEde matriceAdans?, alors : f(x1,...,xn) =?

σ?Sn"

n? i=1a

σ(i)i"

feσ(1),...,eσ(n)="

σ?Sn?(σ)n

i=1a

σ(i)i"

f(e1,...,en). 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

3 DÉTERMINANT D"UNE FAMILLE DE VECTEURS DANS UNE BASE

Définition-théorème(Déterminant d"une famille de vecteurs dans une base)SoientEun?-espace vectoriel de

dimensionnet?une base deE. Pour toute famille?denvecteurs deEde matriceAdans?, on appelledéterminant

de?dans?le scalaire :det

σ?Sn?(σ)n

i=1a

σ(i)i.

L"application det

?ainsi définie surEnest une formen-linéaire alternée deEnet : det?(?) =1.

?Attention !Seul le déterminant d"une famille denvecteurs dans un espace vectoriel de dimensionnest ainsi défini.

Démonstration

•Multilinéarité :Vous la démontrerez seuls si vous voulez vous en convaincre.

•Caractère alterné :Soientx1,...,xn?Eet??Sn. Dans le calcul suivant, on effectue le changement

d"indicej=?(i)associé à la bijection?, puis le changement d"indiceθ=σ?-1associé à la bijection

σ?-→σ?-1deSnsur lui-même.

det ?x?(1),...,x?(n)=?

σ?Sn?(σ)n

i=1a

σ(i)?(i)j=?(i)=?

σ?Sn?(σ)n

j=1a

σ?-1(j)jθ=σ?-1=?

θ?Sn?(θ?)n

j=1a

θ(j)j

θ?Sn?(θ)?(?)n

i=1a

θ(i)i=?(?)?

θ?Sn?(θ)n

i=1a

θ(i)i=?(?)det?(x1,...,xn).

•Calcul dedet?(?):La matriceBde?dans?estIn, donc pour toutσ?Sndistinct de l"identité : n? i=1b

σ(i)i=0. Conclusion : det?(?) =?

σ?Sn?(σ)n

i=1b

σ(i)i=?(Id)n

i=1b

Id(i)i=1.

Théorème(Toute forme multilinéaire alternée est un multiple du déterminant dans une base donnée)

SoientEun?-espace vectoriel de dimensionn,?une base deEetfune formen-alternée deEn. Alorsf=f(?)det?.

DémonstrationRésultat déjà prouvé :f(x1,...,xn) ="

σ?Sn?(σ)n

i=1a

σ(i)i"

f(e1,...,en). Théorème(Déterminants en dimensions 2 et 3)

(i)Dimension 2 :SoientEun?-espace vectoriel de dimension 2 de base?etx,y?Ede coordonnées respectives

(x1,x2)et(y1,y2)dans?. Alors : det ?(x,y) =x1y2-x2y1, quantité que l"on note aussi???x1y1 x

2y2???

(ii)Dimension 3 :SoientEun?-espace vectoriel de dimension 3 de base?etx,y,z?Ede coordonnées respectives(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)et(z1,z2,z3)dans?. Alors : det ?(x,y,z) =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x3y2z1-x2y1z3-x1y3z2(règle de Sarrus), quantité que l"on note aussi?????x 1y1z1 x 2y2z2 x

3y3z3?????

Démonstration

(i) det?(x,y) =?

σ?S2?(σ)xσ(1)yσ(2), orS2=

Id,(1 2)

, donc det ?(x,y) =x1y2????

Id-x2y1????

(1 2). (ii) det ?(x,y,z) =?

σ?S3?(σ)xσ(1)yσ(2)zσ(3), orS3=

Id,(1 2 3),(1 3 2),(1 3),(1 2),(2 3)

, donc : det ?(x,y,z) =x1y2z3?

Id+x2y3z1????

(1 2 3)+x3y1z2???? (1 3 2)-x3y2z1???? (1 3)-x2y1z3???? (1 2)-x1y3z2???? (2 3).

Nous avons motivé l"introduction des déterminants par les notions d"aire orientée en dimension 2 et de volume orienté

en dimension 3. La notion abstraite de déterminant que nous venons d"introduire est-elle a posteriori satisfaisante? Notons

2la base canonique de?2. Le petit carré élémentaire que?2engendre est à nos yeux, dans le monde physique, d"aire

4

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSIorientée 1. Nous nous attendons donc à ce que l"application det?2soit une mesure de l"aire orientée des parallélogrammes

au sens le plus intuitif du terme. Les figures ci-dessous sontparticulièrement convaincantes. Rappelons au passage quel"aire

d"un parallélogramme peut être calculée selon le principe "base×hauteur » — et au pire, vous pouvez toujours utiliser les

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