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Analyse complexe

Cours et exercices corriges

Andre Giroux

Departement de mathematiques et statistique

Universite de Montreal

2013

Introduction

L'analyse est l'etude approfondie du calcul dierentiel et integral. Ce cours porte sur le calcul dierentiel et integral des fonctions complexes d'une va- riable complexe. Il s'agit d'un premier cours sur le sujet ou les proprietes des nombres complexes et l'extension aux fonctions de ces nombres des fonctions elementaires d'une variable reelle sont tout d'abord presentees. On developpe ensuite leur calcul dierentiel et integral et on etudie les proprietes supplementaires de ces fonctions qui en decoulent. Quelques applications aux series et aux integrales de Fourier sont enn exposees. L'etudiant est repute ^etre familier avec les methodes de l'analyse ( les et les) et bien conna^tre les proprietes des fonctions elementaires d'une va- riable reelle (polyn^omes et fonctions rationnelles, exponentielle et logarithme, fonctions trigonometriques directes et inverses, fonction gamma). Le cours contient des demonstrations rigoureuses et completes de tous ses theoremes (certains calculs sont laisses au lecteur a titre d'exercice) et l'etudiant serieux devrait fournir des solutions de m^eme calibre aux problemes proposes a la n de chaque chapitre. Le style est deliberement informel; c'est ainsi, par exemple, qu'il n'y a pas de denitions formelles : la premiere fois qu'unterme nouveauappara^t, il est ecrit en caractere gras et sa denition est contenue dans la phrase qui le contient.

Table des matieres

1 Les nombres complexes

9

1.1 Proprietes algebriques

10

1.2 Proprietes topologiques

12

1.3 L'inni en analyse complexe

18

1.4 Exercices

20

2 Les fonctions complexes

23

2.1 Fonctions continues

23

2.2 Polyn^omes et fonctions rationnelles

27

2.3 La fonction exponentielle

29

2.4 Application aux series de Fourier

32

2.5 Exercices

34

3 Les fonctions holomorphes

37

3.1 Derivabilite

37

3.2 Les equations de Cauchy-Riemann

39

3.3 Exercices

42

4 Le calcul integral

45

4.1 Proprietes des courbes

45

4.2 Integrales curvilignes

48

4.3 Les theoremes de Cauchy

50

4.4 Le logarithme

56

4.5 Exercices

58

5 Proprietes analytiques des fonctions holomorphes

61

5.1 L'analycite

61

5.2 La propriete des zeros isoles

63

5.3 La propriete du module maximum

65

5.4 Exercices

66

6Table des matieres6 Le calcul des residus69

6.1 Singularites isolees

69

6.2 Residus

73

6.3 La propriete de l'application ouverte

75

6.4 Application aux transformees de Fourier

77

6.5 Application au calcul d'integrales diverses

79

6.6 Exercices

84

7 Proprietes geometriques des fonctions holomorphes

87

7.1 Transformations conformes

87

7.2 Les transformations homographiques

89

7.3 Exercices

93

8 Les fonctions harmoniques

95

8.1 L'equation de Laplace

95

8.2 Proprietes

97

8.3 Application aux EDP

98

8.4 Exercices

102

9 Solutions des exercices

105

9.1 Les nombres complexes

105

9.2 Les fonctions complexes

112

9.3 Les fonctions holomorphes

116

9.4 Le calcul integral

119

9.5 Proprietes analytiques des fonctions holomorphes

125

9.6 Le calcul des residus

128

9.7 Proprietes geometriques des fonctions holomorphes

133

9.8 Les fonctions harmoniques

137

Table des gures

1.1 Les racines 7

iemede l'unite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1w=z2, les hyperboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2w=z2, les paraboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 Le sens de parcours positif

48

4.2 Le theoreme de Cauchy

52

4.3 Le theoreme de Cauchy, suite

52

4.4 La formule de Cauchy

53

6.1 Le theoreme de Laurent

69

6.2 Une transformee de Fourier

78

6.3 Une transformee de Fourier

79

6.4 Un calcul d'integrale

80

6.5 Un calcul d'integrale

81

6.6 Un calcul d'integrale

83

7.1 Angle entre deux courbes

88

7.2 Une transformation homographique

91

8.1 Le noyau de Poisson

100

8.2 Un probleme de Dirichlet

102

9.1 Une spirale

106

9.2 Un parallelogramme

107

9.3 Un polyn^ome de Tchebychev

108

9.4 Un calcul d'integrale

132

Chapitre 1

Les nombres complexes

L'ensembleN=f1;2;3;:::gdes entiers naturels est ferme sous l'addi- tionm+net la multiplicationmnmais pour pouvoir resoudre pourxtoute equation du type x+m=n ; m;n2N; il faut passer aux entiers relatifsZ=f0;1;2;:::g. Et pour ^etre capable de resoudre pourxtoute equation de la forme px+q= 0; p;q2Z; il faut aller aux nombres rationnelsQ=fp=qjp;q2Z;q6= 0g. Ce dernier systeme est ferme sous les quatre operations de l'arithmetique mais on ne peut y resoudre pourxtoute equation du type x

2=a ; a2Q:

Les nombres reelsRpermettent de resoudre certaines de ces equations mais pas toutes. Ils forment un systeme ferme sous les quatre operations qui est de plus complet au sens ou toute suitefxngn2Nqui satisfait la condition de

Cauchy

lim m;n!+1jxmxnj= 0 y est convergente mais on ne peut par exemple y obtenir une solution de l'equation x

2+ 1 = 0:

Il faut pour cela construire les nombres complexesC.

10Chapitre 1. Les nombres complexes1.1 Proprietes algebriques

Si (x;y), (u;v)2R2, soient

(x;y) + (u;v) = (x+u;y+v) et (x;y)(u;v) = (xuyv;xv+yu): Ces operations creent un corps commutatif, le corpsCdes nombres complexes; (0;0) est l'element neutre pour l'addition, (1;0) est l'element neutre pour la multiplication et l'inverse multiplicatif de (x;y)6= (0;0) est xx

2+y2;yx

2+y2

En identiant (x;0)2R2avecx2Ret en posanti= (0;1),

C=fzjz=x+iyavecx;y2Reti2=1g:

On calcule donc avec les nombres complexes comme avec les nombres reels en remplacant partouti2par1.

Exemple. Sin2N0=f0;1;2;:::g, on a

1 +i+i2+i3++in=1in+11i

de telle sorte que

1 +i+i2+i3++in=8

>>>:1 sin= 0 mod 4;

1 +isin= 1 mod 4;

isin= 2 mod 4;

0 sin= 3 mod 4:

Le nombre reelxest lapartie reelledez, le nombre reelysapartie imaginaire, x=1.1. Proprietes algebriques11est sonmodule. On remarque que 1z =z jzj2: Exemple. Sia6= 0,betcsont reels, l'equation quadratique az

2+bz+c= 0

admet toujours deux racines donnees par la formule de Viete : z=8 >>>:bpb

24ac2asib24ac >0;

b=2asib24ac= 0; bip4acb22asib24ac <0 (la racine est de multiplicite deux dans le deuxieme cas). On remarque que dans le troisieme cas, les racines sont des nombres complexes conjugues. Exemple. La droite d'equationax+by=cdans le plan correspond a l'ensemble des nombres complexes qui satisfont la relation aib2 z+a+ib2z=c; le cerclex2+y2=r2correspond aux nombres complexes tels que jzj=r et la paraboley=x2a ceux qui sont lies par z

2+ 2zz+z

2+ 2iz2iz= 0:

Les nombres complexes, etant des points du plan, admettent uneforme polaire. Siz6= 0, on peut ecrire z=r(cos+isin) ou le nombrer=jzj=px

2+y2est le module dezet l'angle

= argz=8 >>>>>>>>:arctan yx +six <0;y0; 2 six= 0;y >0; arctan yx six >0; 2 six= 0;y <0; arctan yx six <0;y <0;

12Chapitre 1. Les nombres complexesest sonargument. Donc, par denition,

1z2=r1r2(cos(1+2) +isin(1+2)) donc que jz1z2j=jz1jjz2j et que arg(z1z2) = argz1+ argz2mod 2: En raisonnant par recurrence surn2N, on obtient la formule de de Moivre : (cos+isin)n= cosn+isinn: Exemple. Quelques soienta2Cetn2N, l'equationzn=aadmetn racines. Sia6= 0, elles sont toutes distinctes : z k=jaj1=n cosargan +2kn +isinargan +2kn ouk= 0;1;2;:::;n1. Lorsquea= 1, le nombre n= cos2n +isin2n est laracine primitiveniemede l'unite : z n1 = (z1)(z!n)(z!2n)(z!n1n): (gure 1.1 , page 13

1.2 Proprietes topologiques

La distance entrez1etz2est

jz1z2j:

On a, quelques soientz1;z2etz3,

jz1z2j jz1z3j+jz3z2j:

1.2. Proprietes topologiques13?

7

1Figure1.1 { Les racines 7iemede l'unite

Une suitefzngn2Nde nombres complexes converge vers un nombre complexe zsi limn!+1jznzj= 0:

En vertu des inegalites

supfj14Chapitre 1. Les nombres complexesde ce nombre | il y a discontinuite tout le long de l'axe reel negatif. Ainsi

1i=n! 1 mais arg(1i=n) = arctan1=n! alors que arg(1) =

Il suit du critere de Cauchy qu'une condition susante pour la convergence d'une serie de nombres complexes +1X k=0c k est sa convergence absolue (en module) : +1X k=0jckj<+1:

Dans le theoreme suivant,

D(z0;r) =fzj jzz0j< rg

etD(z0;r) =fzj jzz0j rg: Theoreme 1 (Cauchy)Donnee une serie entiere a coecients complexes a k, +1X k=0a kzk; posons

R=1limsup

kjakj1=k (donc0R+1). Alors la serie converge absolument dans le disque D(0;R), de facon uniforme sur tout disqueD(0;r)tel quer < R, et elle diverge sijzj> R. Demonstration. SiR= 0, la serie diverge pour toutz6= 0. En eet, quel que soitz6= 0, il y a un nombre inni d'indiceskpour lesquels jakj1=k>1jzj et la serie +1X k=0a kzk

1.2. Proprietes topologiques15ne peut converger puisque que son terme general ne tend pas vers 0.

Si 0< R <+1, soient 0< r < Rarbitraire etjzj r. Pour toutk susamment grand, on a jakj1=k<2R+r donc jakzkj<2rR+r k et la serie,eventuellement majoree par une serie geometrique de raison inferieure a 1, est absolument et uniformement convergente. Sijzj> Rpar contre, il y a un nombre inni d'indiceskpour lesquels jakj1=k>1jzj et la serie diverge pour la m^eme raison que precedemment. SiR= +1enn, le raisonnement sur la convergence du paragraphe precedent s'applique quelques soient les nombresR > r >0 et la serie converge pour toutz2C. C.Q.F.D. Exemple. La serie geometrique converge si et seulement si le module de sa raison est strictement inferieur a 1 : +1X k=0z k=11zsi et seulement sijzj<1: En y separant le reel de l'imaginaire, on en tire les relations +1X k=0r kcosk=1rcos12rcos+r2 et +1X k=1r ksink=rsin12rcos+r2: Un ensembleECestfermesi la limite de toute suite convergente fzngn2Nde points deEest dansE.

Exemples. Un disqueD(a;R) est ferme. Un demi-plan

fzjaz+az0g

16Chapitre 1. Les nombres complexesest ferme. Toute intersection, toute reunion nie d'ensembles fermes sont des

ensembles fermes. Un ensembleECestouvertsi son complementaireEc=CnEest ferme. Theoreme 2SoitEC. AlorsEest ouvert si et seulement si a chaque z

02Ecorrespondr >0tel queD(z0;r)E.

Demonstration.

La condition est necessaire. Si elle n'etait pas satisfaite, on pourrait trouver z

02Etel que chaque disqueD(z0;1=n) contienne un pointzn2Ec. Ces points

convergeraient versz0et, commeEcest ferme, on auraitz02Ecce qui est absurde. La condition est susante. Sifzngn2Nest une suite de points deEcqui converge vers un pointz, il faut quez2Ec| s'il etait dansE, un petit disque centre enzne contiendrait que des points deEet la suite donnee ne saurait y converger. C.Q.F.D. Exemples. Un disqueD(a;R) est ouvert. Un demi-plan fzjaz+az >0g est ouvert. Toute reunion, toute intersection nie d'ensembles ouverts sont des ensembles ouverts. Un ensembleECestbornes'il existeR >0 tel queED(0;R). Unquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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