[PDF] Analyse Complexe Note de cours au étudiants

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Université de GabesFaculté des Sciences de GabesDépartement des Mathématiques

Analyse Complexe

Note de cours au étudiants de premiere année de Master mathématiques

Préparée par Noureddine Ghiloufi

Année universitaire 2015/2016.

Table des matières1 Fonctions holomorphes3

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3

1.2 Étude d"un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5

2 Intégrale curviligne7

2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7

2.2 Formules de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10

3 Espace des fonctions holomorphes15

3.1 Principe des zéros isolés et singularités . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 15

3.2 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17

3.3 Forme générale du Théorème de Cauchy et applications . . .. . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

3.3.3 Connexité simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

4 Exercices et Problèmes28

4.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38

2 Chapitre 1Fonctions holomorphes1.1 Définitions et propriétés SoitΩun ouvert deC, on identifieCàR2parx+iy≂(x,y). Soitf: Ω-→Cune fonction etz0?Ω. On dit quefest dérivable enz0si la limite lim z→z0f(z)-f(z0) z-z0 existe. Cette limite sera notéef?(z0)et est appelée la dérivée defenz0.

Exemple 1.1

1. La fonctionfndéfinie surC, pour toutn?N?, parfn(z) =znest dérivable surCet

f ?n(z) =nzn-1(Formule de Binôme).

2. La fonctiongdéfinie surCparg(z) =

zn"est dérivable en aucun point deC. De plus, en tant que fonction de deux variables réelles, la fonctiongest linéaire donc elle est de classeC∞. Théorème 1.2SoitΩun ouvert deC,z0?Ωetf: Ω-→C,(x,y)?-→P(x,y) +iQ(x,y). Alorsfest dérivable enz0= (x0,y0)si et seulement sifest différentiable en(x0,y0)et vérifie les conditions de Cauchy

1-Riemann2suivantes

?∂P ∂x(x0,y0) =∂Q∂y(x0,y0) ∂P ∂y(x0,y0) =-∂Q∂x(x0,y0).

1.Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux (Hauts-de-Seine) le 23 mai

1857, est un mathématicien français, membre de l"Académie des sciences et professeur à l"école polytechnique. Il

fut l"un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, quoique devancé par Leonhard Euler et Paul

Erdos, avec près de 800 parutions et sept ouvrages; sa recherche couvre l"ensemble des domaines mathématiques

de l"époque. On lui doit notamment en analyse l"introduction des fonctions holomorphes et des critères de

convergence des suites et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie

des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.

2.Georg Friedrich Bernhard Riemann, né le 17 septembre 1826 à Breselenz, état de Hanovre, mort le

20 juillet 1866 à Selasca, hameau de la commune de Verbania, Italie, est un mathématicien allemand. Influent

sur le plan théorique, il a apporté une contribution importante à l"analyse et à la géométrie différentielle.

3

4Chap.1 Fonctions holomorphes

Démonstration.Sifest dérivable enz0alors la formule de Taylor donne pourh= (h1,h2) =h1+ih2 (P+iQ)(x0+h1,y0+h2)-(P+iQ)(x0,y0) = (h1+ih2)f?(x0+iy0) + (h1+ih2)[?1(h) +i?2(h)]. Donc ?P(x0+h1,y0+h2)-P(x0,y0) =ah1-bh2+h1?1(h)-h2?2(h)

Q(x0+h1,y0+h2)-Q(x0,y0) =ah2+bh1+h2?1(h) +h1?2(h)

avecf?(x0,y0) =a+ib. DoncPetQsont différentiables etdf(x0,y0)?h1 h 2? =?a-b b a?? h1 h 2? Définition 1.3Une fonctionf: Ω-→Cest dite holomorphe surΩet on notef? H(Ω)si fest dérivable en tout point deΩ.

Exemple 1.4Soitf(z) =?

n≥0a +∞alorsf? H(D(z0,R))et on af?(z) =+∞? n=1na n(z-z0)n-1. Propriétés 1.5SoitΩun ouvert deC,z0?Ωetf, g: Ω-→Cdérivables enz0. Alors

1. La fonctionf+λgest dérivable enz0et on a(f+λg)?(z0) =f?(z0) +λg?(z0)pour tout

λ?C.

2. La fonctionfgest dérivable enz0et on a(fg)?(z0) =f?(z0)g(z0) +f(z0)g?(z0).

3. Si de plusf(z0)?= 0alors1

fest dérivable enz0et on a?1f? (z0) =-f?(z0)(f(z0))2.

4. SoitΩun domaine (ouvert connexe) deCetf? H(Ω). Alorsf?est identiquement nulle

surΩsi et seulement sifest identiquement constante surΩ.

Démonstration.Pour 3., on a en fait1

fest bien définie au voisinage dez0; en effetfest dérivable enz0doncf(z0+h)-f(z0) =f?(z0)h+h?(h)avec?(h)-→h→00.Ce qui donne quefest continue enz0. En particulier, commef(z0)?= 0, il existeη >0tel que|z-z0|< ηdonne|f(z)-f(z0)|<|f(z0)| 2; par suite|f(z)| ≥|f(z0)|

2>0pour toutz?D(z0,η).?

Théorème 1.6Soitfune fonction holomorphe sur un domaineΩdeC. Alors on a équivalence entre les assertions suivantes :

1.fest constante surΩ.

2.?efest constante surΩ.

3.?mfest constante surΩ.4.|f|est constante surΩ.

5. fest holomorphe surΩ.

6.f(Ω)est inclue dans une droite.

Démonstration.En exercice.?

Proposition 1.7SoitΩetWdeux ouverts deCetf: Ω-→Wune fonction bijective continue surΩet dérivable enz0?Ωtel quef?(z0)?= 0. Alorsg:=f-1, la fonction réciproque def, est dérivable enw0:=f(z0)dès qu"elle est continue enw0et on a dans ce casg?(w0) =1 f?(z0).

AU 2015/2016 MRMa1 FSG Noureddine Ghiloufi

5Chap.1 Fonctions holomorphes

Démonstration.Pourw?W, w=f(z)oùz?Ωde plus commefetgsont continues enz0etw0 respectivement alors lim w→w0g(w)-g(w0) w-w0=g cont.limz→z0z-z0f(z)-f(z0)=1f?(z0). Propriétés 1.8Soitf: Ω-→Wune fonction dérivable enz0?Ωetg:W-→Cune

fonction dérivable enf(z0)alorsg◦fest dérivable enz0et on a(g◦f)?(z0) =g?(f(z0)).f?(z0).

1.2 Étude d"un exemple

Soitexp :C-→Cdéfinie parexp(z) =+∞?

n=0z n n!la somme d"une série entière de rayon de convergenceR= +∞doncexpest une fonction holomorphe surC(fonction entière).

•exp?(z) =+∞?

n=1nzn-1 n!= exp(z).

•Pour toutx?R, on aexp(x) =ex.

•Pour toutz, ξ?C, on a

exp(z+ξ) = exp(z).exp(ξ).

En effet,

exp(z+ξ) =+∞? n=0(z+ξ)n n!=+∞?n=01n!n k=0? n k? z kξn-k=+∞? n=0n k=0z kk!ξ n-k(n-k)! n=0z n n!?? +∞?n=0ξ nn!? =exp(z).exp(ξ) comme produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes.?

•Pour toutz?C,exp(z)?= 0et1

exp(z)= exp(-z). D"après ce qui précède,exp(z)exp(-z) = exp(z-z) = exp(0) = 1.? •(Formule de Moivre) Pour toutx+iy?Con aexp(x+iy) =ex(cos(y) +isin(y)).

En effet, on aexp(x+iy) =exexp(iy); de plus

exp(iy) =+∞? n=01 n!(iy)nconv. abs.=+∞? n=0(iy)2n(2n)!++∞? n=0(iy)2n+1(2n+ 1)!=+∞? n=0(-1)ny2n2n!+i+∞? n=0(-1)ny2n+1(2n+ 1)! = cos(y) +isin(y). •Injectivité :On aexp(z) = exp(ξ)??z=ξ+ 2ikπ, k?Z.

Doncexpn"est pas injective deCdansC?.

Pourα?R, on poseBα:={x+iy?C;x?R, α-π < y < α+π}.Bαest un ouvert deCsur

lequelexpest injective doncexp|Bα:Bα-→Ωα:= exp(Bα)est bijective et est holomorphe,

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6Chap.1 Fonctions holomorphes

exp?(z)?= 0,?z?Bα. Pour appliquer la proposition 1.7, il suffit de montrer quelogα:= exp-1 |Bαest continue surΩα. Pour ceci, on remarque que dexp(x,y) =?excos(y)-exsin(y) e xsin(y)excos(y)?

donc|dexp(x,y)|=e2x?= 0. D"après le théorème d"inversion local,exp|Bαest un difféomor-

phisme local, or elle est injective, donc elle est un difféomorphisme globale deBαdans son image. D"après la proposition 1.7,logαest holomorphe surΩα(qui est en fait un ouvert deC doncexpest une application ouverte). log α(w) = ln(|w|) +iarg]α-π,α+π[(w),?w?Ωα. Définition 1.9On dira qu"une application?est une determination du logarithme sur un ou- vertΩdeCsiexp(?(z)) =z,?z?Ω. On définie alors une determination du puissance parza:= exp(a?(z))pour touta?C. Proposition 1.10SoitΩun domaine (ouvert connexe) deC. AlorsΩadmet une determina- tion continue du logarithme si et seulement si l"applicationz?-→1 zadmet une primitive surΩ (i.e. il existe une fonctiong? H(Ω)telle queg?(z) =1 z,?z?Ω).

Démonstration.

" =?"Soitfune determination continue du logarithme surΩalorsexp(f(z)) =z?z?Ωdonc f ?(z)exp(f(z)) = 1ainsif?(z) =1 z.fest une primitive de1z. "?= "Soitgune primitive de1 zsurΩ. On a(zexp(-g(z)))?= exp(-g(z))(1-z1z) = 0. CommeΩ est connexe, alorszexp(-g(z)) =c?= 0. Si on notec=r0eiθ0alorsexp(g(z) + ln(r0)+iθ0) =z. Ainsi g(z) + ln(r0) +iθ0est une determination continue du logarithme.?

AU 2015/2016 MRMa1 FSG Noureddine Ghiloufi

Chapitre 2Intégrale curviligne2.1 Définitions et propriétésDéfinition 2.1Un cheminC1-par morceaux d"un ouvertΩdeCest une applicationγ:

[a,b]-→ΩC1-par morceaux ([a,b]?R) :

1.γest continue sur[a,b].

2. Il existex0=a < x1< ... < xn=bune subdivision de[a,b]telle queγ?coincide sur

]xj,xj+1[avec la restriction d"une fonctiongjcontinue sur[xj,xj+1].

Exemple 2.2[0,1]-→C, t?-→⎷

tn"est pasC1-par morceaux.

Définition 2.3

1.•γ(a)s"appelle l"origine deγetγ(b)est l"extremité deγ.

γ-: [a,b]-→Ω

t?-→γ(a+b-t)est le chemin opposé deγ.

•γ?:={γ(t);t?[a,b]}est l"image deγ.

2. Un lacet est un cheminC1-par morceaux tel que l"extremité coincide avec l"origine.

3. Soitγ1: [a,b]→Ωetγ2: [c,d]→Ωdeux chemins tels queγ1(b) =γ2(c). La juxtaposition

deγ1etγ2est le cheminγ1?γ2: [a,b+d-c]-→Ωdonnée par t?-→?γ1(t)si t?[a,b]

2(t+c-b)si t?[b,b+d-c]

4. Soitγ: [a,b]→Cun cheminC1-par morceaux etf:γ?→Cune fonction continue.

L"intégrale defle long deγest?

f(z)dz:=? b a f(γ(t))γ?(t)dt.

Propriétés 2.4

1.? (f+λg)(z)dz=? f(z)dz+λ? g(z)dzpour toutfetgcontinues surγ?etλ?C. 2. -f(z)dz=-? f(z)dzsifest continue surγ?(par le changement de variablet?→ a+b-t). 7

8Chap.2 Intégrale curviligne

3.?

1?γ2f(z)dz=?

1f(z)dz+?

2f(z)dzpour toutfcontinue sur(γ1?γ2)?.

Exemple 2.5Sif(z) =1

z-z0et (z0,r): [0,2π]-→C t?-→z0+reit l"application cercle de centrez0et de rayonr(γ?(z0,r)=C(z0,r)) alors (z0,r)f(z)dz=? 2π 0ire it reitdt= 2iπ. Lemme 2.6Soitγ: [a,b]→Ωun cheminC1-par morceaux etf: Ω→Cune fonction qui admet une primitiveFsurΩ. Alors f(z)dz=F(γ(b))-F(γ(a)).

Démonstration.SiγestC1alors?

f(z)dz=? b a Sinon, il existe une subdivisionx0=a < x1< ... < xn=bde[a,b]telle queγestC1sur]xj,xj+1[.

Dans ce cas on a

f(z)dz=n-1? j=0? xj+1 x jF?(γ(t))γ?(t)dt=n-1? j=0F(γ(xj+1))-F(γ(xj)) =F(γ(b))-F(γ(a)).

Corollaire 2.7La fonctionz?→1

zn"admet pas de primitive sur tout ouvertΩqui contient un cercleC(0,r). Par conséquent tout ouvert qui contient un cercle centré en 0, n"admet pas une détrmination continue du logarithme.

En effet, si elle admet une primitiveFalors

2iπ=?

(0,r)dz z=F(γ(0,r)(2π))-F(γ(0,r)(0)) = 0 ce qui est absurde.? Définition 2.8Soitγ: [a,b]→Ωun cheminC1-par morceaux. La longueur deγest L b a |γ?(t)|dt.

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9Chap.2 Intégrale curviligne

Exemple 2.9Cas du segment : siA,B?Calors[A,B] : [0,1]→C, t?→A+t(B-A)et L [A,B]=? 1 0 |B-A|dt=|B-A|.

Cas du cercle :Lγ(z0,r)=?

2π 0 |ireit|dt= 2πr. Lemme 2.10Soitγun cheminC1-par morceaux etfune fonction continue surγ?. Alors f(z)dz????

ξ?γ?|f(ξ)|.

Démonstration.Siγ: [a,b]→Ωalors

f(z)dz???? b a f(γ(t))γ?(t)dt???? b a

ξ?γ?|f(ξ)|?

b a |γ?(t)|dt. Définition 2.11Soitγun lacet deCetz?C ?γ?. L"indice dezpar rapport àγ, est Ind

γ(z) :=1

2iπ?

γdξξ-z.

Exemple 2.12Indγ(z0,r)(z0) = 1. Que vaut la valeurIndγ(z0,r)(z)pour toutz?C ?C(z0,r)? La proposition suivante donne une réponce complète à cette question. Proposition 2.13Soitγun lacet deC. AlorsIndγ:z?→Indγ(z)est une fonction définie, continue surC ?γ?à valeur dansZ; donc elle est constante sur chaque composante connexe deC ?γ?. En outre elle est nulle sur la composante connexe non bornéedeC ?γ?.

Comme application on aura

Ind

γ(z0,r)(z) =?1si|z-z0|< r

0si|z-z0|> r.

Démonstration.Soitγ: [a,b]-→Cun lacet. Il existe une subdivisionx0=a < x1< ... < xn=b telle queγsoit continue sur[xj,xj+1]et de classeC1sur]xj,xj+1[. Pourz?C ?γ?on considère la fonctionΨdéfinie sur[a,b]par

Ψ(s) = exp?

?s aγ ?(t)

γ(t)-zdt?

=?Ψ?(s) =γ?(s)γ(s)-zΨ(s),?s?[a,b]?{x0,...,xn}.

Ainsi, sur chaque]xj,xj+1[, on a

?(s)(γ(s)-z)-γ?(s)Ψ(s) = 0

AU 2015/2016 MRMa1 FSG Noureddine Ghiloufi

10Chap.2 Intégrale curviligne

doncΨ(s)γ(s)-zest constante sur]xj,xj+1[, par continuité, on obtientΨ(xj)γ(xj)-z=Ψ(xj+1)γ(xj+1)-z; en

particulier on obtient

Ψ(a)

γ(a)-z=Ψ(b)γ(b)-z. Par suiteΨ(b) = Ψ(a) = 1c"est-à-dire exp ?b aγ ?(t)

γ(t)-zdt?

= 1 ce qui donne b aγ ?(t)

γ(t)-zdt= 2ikπ, k?Z. D"oùIndγ(z)?Z.

SoitOune composante connexe deC ?γ?. On aIndγest continue surC ?γ?(comme intégrale simple dependant d"un paramètre) doncIndγ(O)est un connexe deZ; or les connexes deZsont les singletons; ainsiIndγ(O) ={kO}.

Soit maintenantO∞la composante connexe non bornée deC ?γ?etk∞=Indγ(z),?z? O∞. Soit

M:= max?

sup t?[a,b]|γ(t)|,sup t?[a,b]|γ?(t)|? alors pour|z|> M, on a

2π?

b aM|z| -Mdt-→|z|→+∞0.

2.2 Formules de Cauchy

Théorème 2.14SoitΩun domaine deCetf: Ω-→Cune fonction continue surΩ. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. la fonctionfadmet une primitive surΩ. 2. L"intégrale defsur tout lacet deΩest

nulle. Démonstration." =?"Sifadmet une primitiveFsurΩalors pour toutγ: [a,b]→Ωon a f(z)dz=F(γ(b))-F(γ(a)) = 0. "?= "On suppose que l"intégrale defsur tout lacet est nulle. Soitz0?Ωfixé; commeΩest connexe par arc, pour toutz?Ωil existe un cheminγzd"originez0et d"extremitéz. On pose alors

F(z) =?

zf(ξ)dξ. La fonctionFest bien définie; en effet, siγ1etγ2sont deux chemins d"origine z

0et d"extremitéz,γ1?γ-2est alors un lacet donc par hypothèse,?

1?γ-

2f(ξ)dξ= 0ce qui donne

1f(ξ)dξ=?

2f(ξ)dξ.

Pourz?Ω, il exister >0tel queD(z,r)?Ω. Si|h|< ralors

F(z+h)-F(z)

h=1h? z+hf(ξ)dξ-? zf(ξ)dξ?

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11Chap.2 Intégrale curviligne

Δ0=?

Δ1

Figure2.1 - Subdivision du triangleΔ0

CommeF(z+h)est indépandente du choix du chemin qui jointz0àz+h, on aF(z+h) =? z?[z,z+h]f(ξ)dξdonc 1 h? z+hf(ξ)dξ-? zf(ξ)dξ? 1h? 1 0 f(z+th)hdt-→h→0f(z)

D"oùF?(z) =f(z).?

Théorème 2.15(de Goursat1) SoitΔun triangle contenu (ainsi que son intérieur) dans un ouvertΩdeC. Sifest une fonction holomorphe surΩalors? ∂Δf(z)dz= 0. sommets deΔ0soit les milieux des cotés deΔ0(voir figure 2.1).

Il est simple de voir que

∂Δ0f(z)dz=4? j=1? ∂Δj0f(z)dz. ∂Δj10f(z)dz????? ≥1

4?????

∂Δ0f(z)dz????

On pose alorsΔ1:= Δj10puis on itère l"opération, on construit ainsi une suite(Δn)nde triangles

vérifiant :

1.?????

∂Δnf(z)dz???? ≥1

4??????

∂Δn-1f(z)dz????? ≥...≥14n????? ∂Δ0f(z)dz????

1.Jean-Baptiste édouard Goursat, né le 21 mai 1858 à Lanzac, mort le 25 novembre 1936 à Paris, est

un mathématicien français dont le Cours d"analyse a longtemps fait école.

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12Chap.2 Intégrale curviligne

3.Δn?Δn-1.

2nL∂Δ0-→n→+∞0etΔn?Δn-1. CommeC=R2

est complet, alors d"après le théorème de Baire, il existez0?Δtel que{z0}=∩n?NΔn.

fest holomorphe sur un voisinage dez0. Donc au?(z0), on a f(z) =f(z0) +f?(z0)(z-z0) + (z-z0)ε(z-z0). Pour? >0il existen0?Ntel que pour toutz?Δn0on a d"une part|ε(z-z0)|< ?et d"autre part ∂Δn0f(z)dz=? ∂Δn0f(z0)dz+? ∂Δn0f ?(z0)(z-z0)dz+? ∂Δn0(z-z0)ε(z-z0)dz ∂Δn0(z-z0)ε(z-z0)dz car les deux premières fonctions admettent des primitives.Ainsi on a 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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